高等數(shù)學(xué)：9-2 二重積分的計(jì)算法

1、1利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分小結(jié)思考題小結(jié)思考題 作業(yè)作業(yè)利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分double integral二重積分的換元法二重積分的換元法第二節(jié)第二節(jié) 二重積分二重積分的計(jì)算法的計(jì)算法第九章第九章 重積分重積分2本節(jié)介紹計(jì)算二重積分的方法本節(jié)介紹計(jì)算二重積分的方法:二重積分化為二重積分化為累次積分累次積分( (即兩次定積分即兩次定積分).).二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法3(1) 積分區(qū)域積分區(qū)域?yàn)椋簽椋? bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy aDX型型,ba在區(qū)間在區(qū)間 上連

2、續(xù)上連續(xù).二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分xOyxOy)(1xy )(2xy Dba4的值等于的值等于)0),(d),( yxfyxfD 計(jì)算截面面積計(jì)算截面面積),(yxfz ( 紅色部分即紅色部分即A(x0) )二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法以以D為底為底,以曲面以曲面為頂?shù)那斨w的體積為頂?shù)那斨w的體積.應(yīng)用計(jì)算應(yīng)用計(jì)算“平平行截面面積為行截面面積為已知的立體求已知的立體求體積體積”的方法的方法.用二重積分的幾何意義說明其計(jì)算法用二重積分的幾何意義說明其計(jì)算法是區(qū)間是區(qū)間)(),(0201xx 為曲邊的曲邊梯形為曲邊的曲邊

3、梯形.),(0yxfz 為底為底,曲線曲線 xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xAab1( )yx0 x5是區(qū)間是區(qū)間 為底為底,)(),(0201xx 曲線曲線 為曲邊為曲邊 的曲邊梯形的曲邊梯形.),(0yxfz )(01x ,bax yyxfxAxxd),()()()(21 有有: DyxfV d),( baxxAd)(xbad 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法)d),()()(21 xxyyxf )(02x yyxfxAd),()(00 先對(duì)先對(duì)y后對(duì)后對(duì)x的二次積分的二次積分稱為稱為累次積分累次積分. . Dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d xy

4、zO),(yxfz D)(2xy )(0 xA1( )yxa0 xb6(2) 積分區(qū)域積分區(qū)域?yàn)椋簽椋?dyc )()(21yxy D)(2yx cd)(1yx Y型型 Dyxf d),(先對(duì)先對(duì)x后對(duì)后對(duì)y的二次積分的二次積分也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d Dyxf d),(二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法其中函數(shù)其中函數(shù) 、)(1y )(2y ,dc在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),( xyxf)(1y )(2y 7特殊地特殊地 Dbadcyyxfxyxfd),(dd),( 如如D是上述矩形域是上述矩形域, )()()

5、,(21yfxfyxf 且且得得 yxyfxfDdd)()(21即等于兩個(gè)定積分的乘積即等于兩個(gè)定積分的乘積.注注D為矩形域?yàn)榫匦斡?則則則則axb,cyd baxxfd)(1yyfdcd)(2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法 yyfxfdcd)()(21 12( ( )( )dbdacf xfyyxd) ba(xd)d( , )ddbcayf x yx8穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直線軸的直線穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸的直線軸的直線abdc 計(jì)算結(jié)果一樣計(jì)算結(jié)果一樣.又是又是Y型型:(3)積分區(qū)域積分區(qū)域D既是既是X型型:, bxa )()(21xyx , dyc )(

6、)(21yxy X型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn):Y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn):與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).但可作出但可作出適當(dāng)選擇適當(dāng)選擇.二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法xyO9(4) 若區(qū)域如圖若區(qū)域如圖,在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式. D(用積分區(qū)域的可加性質(zhì)用積分區(qū)域的可加性質(zhì))D1、D2、D3都是都是X型區(qū)域型區(qū)域則則必須分割必須分割. 321DDD二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法xyO3D2D1D10 xyO例例解解 Dyxyxdd)(2xxxxxxd)(2

7、1)(42102 .14033 積分域既是積分域既是X型又是型又是Y型型 22xyyx yyxd)(2 10dx法一法一)0 , 0(),1 , 1(所圍平面閉區(qū)域所圍平面閉區(qū)域.和和是拋物線是拋物線其中其中求求22,dd)(xyDyxyxD 2yx 兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)2xx二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法2xy 2yx )1 , 1( 11先對(duì)先對(duì)x后對(duì)后對(duì)y的積分的積分 Dyxyxdd)(214033 10dy法二法二 xyxd)(22yy二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法 Dyxyxdd)(2xyO2xy 2yx )1 , 1( 12例例yyxxdsind1012 siny2 對(duì)對(duì)y

8、的積分的積分而它對(duì)而它對(duì)x的積分的積分交換積分次序交換積分次序的方法是的方法是:改寫改寫D為為:oxy 分析分析所以將所以將二次積分二次積分先先將所給的積分域?qū)⑺o的積分域(1)(2) 畫出積分域的草圖畫出積分域的草圖(3)計(jì)算二次積分計(jì)算二次積分不能用基本積分法算出不能用基本積分法算出,xy )1 , 1(可用基本積分法算出可用基本積分法算出.交換積分次序交換積分次序. .用聯(lián)立不等式表示用聯(lián)立不等式表示 D:, 10 x1 yx, 10 yyx 0二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法13yyxxdsind1012 yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102dsin21yy )

9、1cos1(21 xyydsin02 10dyoxyxy )1 , 1(, 10: yDyx 0二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法14例例 交換積分次序：交換積分次序：解解 積分區(qū)域積分區(qū)域: xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式= 10dyy 2 xyxfd),(211y 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法22xxy xy 2xyO1215例例axy2 22xaxy 22yaax 解解原式原式= xyxfd),(交換積分次序：交換積分次序： axxaxayyxfx22202d),(d)0( a yday22xyxfd),( 22yaa 0aa222yaa yd

10、0a xyxfd),( yda2ay22a2a二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法xyOaa2aa2ayx22 16交換積分次序的步驟交換積分次序的步驟 (1) 將已給的二次積分的積分限得出相將已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域,(2) 按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分.并畫出草圖并畫出草圖;二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法17二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法二次積分一定能交換次序二次積分一定能交換次序答答 不一定不一定!例如例如: .0, 0,0,)(),(222222222時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)yxyxyxyxyxf,d ),(d10

11、101yyxfxI 由于由于 22yxyy故故 yyxfd),(10 102d11xx yyxfxId ),(d10101所以所以,4 ),(yxf10arctan x yyxyyd1022 1022yxy;112 x18二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法例如例如: .0, 0,0,)(),(222222222時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)yxyxyxyxyxf yyxfxId ),(d10101,4 ,d ),(d10102xyxfyI 由于由于 22yxxx故故 xyxfd),(10 yy102d11所以所以.4 xyxfyId ),(d10102 yyxfxd ),(d1010.d ),(d1010

12、 xyxfy ),(yxf xyxxxd1022 1022yxx;112y 10arctan y 說明說明: :當(dāng)當(dāng)f (x, y)在所考慮的區(qū)域上連續(xù)時(shí)在所考慮的區(qū)域上連續(xù)時(shí),二次積分可以交換積分次序二次積分可以交換積分次序.191990 年研究生考題年研究生考題, 填空填空, 3分分)(dd2202 yexxy)1(214 exy xoy22解解yexxydd2202 xeyyydd0202 2222000ddyyyexyyey)(d212202yey )1(214 e二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法交換積分次序交換積分次序20又是能否進(jìn)行計(jì)算的問題又是能否進(jìn)行計(jì)算的問題. .計(jì)算二重積分

13、時(shí)計(jì)算二重積分時(shí), , 恰當(dāng)?shù)倪x取積分次序恰當(dāng)?shù)倪x取積分次序十分重要十分重要, , 它不僅涉及到計(jì)算繁簡問題它不僅涉及到計(jì)算繁簡問題, , 而且而且凡遇如下形式積分凡遇如下形式積分: :,dsinxxx ,d2xex ,lnd xx等等等等, ,一定要放在一定要放在后面積分后面積分. .,dsin2xx ,dcos2xx ,d2xex ,dxexy 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法21例例 求證求證 axaxxfxayyfx000d)()(d)(d 左邊的累次積分中左邊的累次積分中,積分域積分域可表為可表為提示提示 xayyfx00d)(d ayaxyfyd)(d0 ayyfya0d)()(

14、axxfxa0d)()(定積分與積分變量的記法無關(guān)定積分與積分變量的記法無關(guān)不能具體計(jì)算不能具體計(jì)算.所以所以,)(yf是是y的抽象函數(shù)的抽象函數(shù),)0( a,0ax xy 0,0ay axy aayyxyf0d)(證畢證畢.先交換積分次序先交換積分次序. .二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法axyOa),(aa 22例例 求兩個(gè)底圓半徑為求兩個(gè)底圓半徑為R,且這兩個(gè)圓柱面的方程且這兩個(gè)圓柱面的方程分別為分別為 及及222Ryx .222Rzx 解解 d DyxRd22 332R 313168RVV d),(1 DyxfV22xRy 222Rzx 立立體體頂頂部部222Ryx 立體底部立體底部求

15、所圍成的求所圍成的立體的體積立體的體積.xoyzoxyDR22xR 22xR 0 xd0R二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法22xRz 曲曲頂頂還有別的做法嗎還有別的做法嗎23二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法2002 年研究生考題年研究生考題, 7分分計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,dd,max22 Dyxyxe其中其中.10 , 10),( yxyxDxyO 解解 112D1D設(shè)設(shè), 10),( 1 xyxDxy 0, 10),( 2 xyxD1 yx Dyxyxedd,max22 122dd,maxDyxyxe 222dd,maxDyxyxe 12ddDxyxe 22ddDyyxe xxyex01

16、0dd2 yyxey010dd2. 1 e xxyex010)dd2(2或或24解解 121d)(xeexxee2183 xeyxeyIyyxyyxydddd121212141 計(jì)算積分計(jì)算積分xexyd 不能用初等函數(shù)表示不能用初等函數(shù)表示,先交換積分次序先交換積分次序.yexyd x2x xd I211二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法112141xy 2xy 21Oxy25i ii i iiii )2(21iiiii 2)(iii 兩相鄰弧半徑平均值兩相鄰弧半徑平均值. i 內(nèi)取圓周內(nèi)取圓周上一點(diǎn)上一點(diǎn)其直角坐標(biāo)其直角坐標(biāo), ii),(ii iii 2)(21ii 221則則設(shè)為設(shè)為二重積

17、分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分OADi ii i ),(ii i26得得 iiinif ),(lim10即即 Dyxf d),( Dyxyxfdd),(也即也即 dd極坐標(biāo)系中的面積元素極坐標(biāo)系中的面積元素cos,siniiiiii iiii Df dd)sin,cos( Df dd)sin,cos( nif1(,cosii iii )sinii 0lim 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法27 )(1 )(2 Df dd)sin,cos(1) 積分區(qū)域積分區(qū)域D:, )()(21 AO)(1 )(2 D d)(1 d)sin,cos(f)(2

18、 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法OAD28D )(0d)sin,cos(d f(2)積分區(qū)域積分區(qū)域D(曲邊扇形曲邊扇形):, )(0 Df dd)sin,cos(AOAO 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法D ( ) ( ) 29 Df dd)sin,cos( )(020d)sin,cos(d f極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系下區(qū)域的下區(qū)域的面積面積 D dd(3) 積分區(qū)域積分區(qū)域D:,20 )(0 DoA)( 注注一般一般,在極坐標(biāo)系下計(jì)算在極坐標(biāo)系下計(jì)算:積分積分再對(duì)再對(duì)先對(duì)先對(duì) 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法30解解 sincosyx Dyxyxfdd),( d)sin,cos(df例例 寫出積

19、分寫出積分的的極坐標(biāo)二次積分極坐標(biāo)二次積分 Dyxyxfdd),(其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域形式形式,10 ,11),(2 xxyxyxD在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下圓方程為圓方程為1 直線方程為直線方程為 sincos1 1 cossin1 02 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法yxO11122 yx1 yxD31解解yxeDyxdd22 ae020dd2 )1(2ae a例例 計(jì)算計(jì)算,dd22yxeDyx 其中其中D是由中心在原點(diǎn)是由中心在原點(diǎn),半徑為半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下:D,20 a 0二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法xOy32R2解解0

20、, 0,| ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD0 ,0| ),(RyRxyxS 022 yxe Syxyxedd22 222ddDyxyxe求反常積分求反常積分20d .xex例例顯然有顯然有21DSD 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法 122ddDyxyxeR1DS2DyxO33 Rxxe0d220)d(2 Rxxe)1(2Re yxeDyxdd22 )1(2ae 222:ayxD 又又yxeISyxdd22 yxeIDyxdd1221 yxeIDyxdd2222 )1(422Re 4 Ryye0d2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法0, 0,|

21、 ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD對(duì)稱性對(duì)稱性質(zhì)質(zhì)0 ,0| ),(RyRxyxS 34,41 I42 I,4 I21III )1(4)d()1(4222220RRxRexee 概率積分概率積分夾逼定理夾逼定理,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) R,時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng) R即即220(d )4xex所求反常積分所求反常積分20d2xex),1(421ReI )1(4222ReI ,)d(202 RxxeI二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法3503 yx解解32 61 sin4 sin2 yxyxDdd)(22 dd2)32(15 03 xy計(jì)算計(jì)算,dd)(22yxyxD 為由圓

22、為由圓其中其中D所圍成的平面閉區(qū)域所圍成的平面閉區(qū)域.例例yyxyyx4,22222 及直線及直線, 03 yx03 xy sin4 sin26 3 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法xOyyyx222 yyx422 36解解)(2)(222222yxayx 222ayx 雙紐線雙紐線求曲線求曲線)0()(2)(222222 ayxayx222ayx 和和所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積.例例根據(jù)對(duì)稱性有根據(jù)對(duì)稱性有14DD 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下1Da 2cos2a 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法xyO由由 aa 2cos2得交點(diǎn)得交點(diǎn))6,( aA yxdd)33(2 a Dyxdd

23、 2cos20dd46aa41D面積面積A37將將直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系下累次積分下累次積分: 22240214110d),(dd),(dxxxyyxfxyyxfx化為化為極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系下的下的累次積分累次積分.oxy解解 2120d)sin,cos(df原式原式=2 r21 r1二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法381994年研究生考題年研究生考題, 填空填空, 3分分yxbyaxRyxDDdd,2222222 則則為圓域?yàn)閳A域設(shè)設(shè))( yxbyaxDdd2222 解解 dsincosd20222220 Rba 2241141baR 極坐標(biāo)極坐標(biāo)二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法39計(jì)算二重積分

24、計(jì)算二重積分,dd)sin(22)(22 DyxyxyxeI 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法2003年研究生考題年研究生考題(數(shù)學(xué)三、四數(shù)學(xué)三、四)計(jì)算計(jì)算, 8分分其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域.),( 22 yxyxD答案答案).1(2 eI 404 計(jì)算計(jì)算16:22 yxD因被積函數(shù)因被積函數(shù)422 yx4:221 yxD164:222 yxDD2 d)4(221yxID d)4(222 yxD極坐標(biāo)極坐標(biāo) d|4|22 DyxI例例分析分析故故 80 422 yx的的在積分域內(nèi)變號(hào)在積分域內(nèi)變號(hào).2xoyD1二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法41 計(jì)算計(jì)算,dd|)|(| Dyxyx0,

25、1|:| xyxD解解 積分區(qū)域積分區(qū)域D關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱,被積函數(shù)關(guān)于被積函數(shù)關(guān)于y為偶函數(shù)為偶函數(shù).原式原式=記記D1為為D的的y0的部分的部分. yxyxdd|)|(| 1dd)(2Dyxxy xyxyx1001d)(d2則則21D32 xyoD111 1 yx1 1 yx二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法42 二重積分的計(jì)算規(guī)律二重積分的計(jì)算規(guī)律再確定再確定交換積分次交換積分次1. 交換積分次序交換積分次序:先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域D的的不等式不等式, 并畫并畫D的草圖的草圖;序后的積分限序后的積分限;2. 如被積函數(shù)為如被積函數(shù)為圓環(huán)域時(shí)圓環(huán)域時(shí),

26、或積分域?yàn)榛蚍e分域?yàn)?,(22yxf ),(22yxf ),(xyf)(arctanxyf圓域、扇形域、圓域、扇形域、則用極坐標(biāo)計(jì)算則用極坐標(biāo)計(jì)算;二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法43 3. 注意利用對(duì)稱性質(zhì)注意利用對(duì)稱性質(zhì),數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào).以便簡化計(jì)算以便簡化計(jì)算;4. 被積函數(shù)中含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí)被積函數(shù)中含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí), 應(yīng)應(yīng)將積分域分割成幾個(gè)子域?qū)⒎e分域分割成幾個(gè)子域, 使被積函數(shù)在使被積函數(shù)在每個(gè)子域中保持同一符號(hào)每個(gè)子域中保持同一符號(hào), 以消除被積函以消除被積函二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法44例例 計(jì)算計(jì)算,d)1(2322 DyxyI10 , 10: yxD

27、 分析分析 從被積函數(shù)看從被積函數(shù)看,用極坐標(biāo)系要簡單些用極坐標(biāo)系要簡單些,但從積分域但從積分域D的形狀看的形狀看為宜為宜.用卻又以直角坐標(biāo)系用卻又以直角坐標(biāo)系在兩者不可兼得的情況下在兩者不可兼得的情況下,應(yīng)以應(yīng)以D的形狀的形狀來決定用什么坐標(biāo)系來決定用什么坐標(biāo)系,此題用直角坐標(biāo)系此題用直角坐標(biāo)系.xyo)1 , 0()0 , 1(D二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法45 101021 d)1(2322 DyxyIxyxd11101022 xxxd)1121(2102 3122ln 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法xyo)1 , 0()0 , 1(xd232222)1()1(dyxyx 46二重

28、積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法2003年研究生考題年研究生考題(數(shù)學(xué)三、四數(shù)學(xué)三、四)填空填空, 4分分 , 0, 10,)()(, 0其它其它若若設(shè)設(shè)xaxgxfa而而D表示全平面表示全平面,則則).(dd)()( DyxxygxfI2a47三、三、二重積分的換元法二重積分的換元法設(shè)被積函數(shù)設(shè)被積函數(shù)),(yxf在區(qū)域在區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù),若變換若變換),(),(vuyyvuxx 滿足如下條件滿足如下條件:(1)的點(diǎn)的點(diǎn)平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域?qū)?DuOv一對(duì)一地變?yōu)橐粚?duì)一地變?yōu)镈上的點(diǎn)上的點(diǎn);(2),(),(vuyvux上上在在 D有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且雅可比行列式且雅可

29、比行列式 ),(),(vuyxJvyuyvxux Dyxf d),(0 f D),(vux),(vuy| Jvudd二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法48,1的形狀的形狀于積分區(qū)域于積分區(qū)域作什么變換主要取決作什么變換主要取決D基本要求基本要求. 2 注意注意變換后定限簡便變換后定限簡便,的形式的形式同時(shí)也兼顧被積函數(shù)同時(shí)也兼顧被積函數(shù)),(yxf的性質(zhì)的性質(zhì)J ),(),(vuyxJ),(),(1yxvu 求積容易求積容易二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法49例例解解,dd12222yxbyaxD 計(jì)計(jì)算算 20, 0, 0, 0 ba其其中中 sincosbyax在這變換下在這變換下所圍成的閉

30、區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.12222 byaxD20,10),( rD D二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法xyO其中其中D為橢圓為橢圓作作廣義極坐標(biāo)廣義極坐標(biāo)變換變換50 ),(),( yxJ,0處處為為零零內(nèi)內(nèi)僅僅當(dāng)當(dāng)在在 rDJ yxbyaxDdd12222ab 32 ab sincosbyax yyxx故換元公式仍成立故換元公式仍成立, DDvuJvuyvuxfyxyxfdd),(),(dd),(21 ab dd D 10220d1d ab極坐標(biāo)極坐標(biāo)二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法 DxyO51例例解解軸和軸和軸、軸、由由其中其中計(jì)算計(jì)算yxDyxeDxyxy,dd ,2uvx Dxyo2

31、yx Duvo0 y2 yx.2所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域直線直線 yx,xyu 令令xyv 則則2uvy 即即0 xvu vu vu 2 vvu 2 vDD二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法52),(),(vuyxJ ,21 Dxyxyyxedd vvvuuevdd2120 201d)(21vvee1 ee2,2uvyuvx 21212121 vyuyvxux uvovu vu 2 v D Dvue故故vudd21 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法53,)( 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)設(shè)設(shè)tf證明證明 Daattatfyxyxfd|)|)(dd)().0(2| ,2| aayaxD常數(shù)常數(shù)為矩形域

32、：為矩形域：其中其中xoy證證2ax 2a2a2a 法一法一 Dyxyxfdd)( 2222d)(daaaayyxfxtyx 22daaxtydd 2ax 2a ttfd)(交換積分次序交換積分次序xot2a 2a2a2a xttfdd)( xttfdd)(0a 2a 2at 2at 0a2a累次積分累次積分D二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法54 xttfdd)( xttfdd)(0a 2a 2at 2at 0a2a 0d)(atattf atattf0d)( aattatfd|)|)( Daattatfyxyxfd|)|)(dd)(:證明證明 0d)|)(atattf atattf0d)|)

33、(二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法55aa a a,)( 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)設(shè)設(shè)tf證明證明 Daattatfyxyxfd|)|)(dd)().0(2| ,2| aayaxD常數(shù)常數(shù)為矩形域：為矩形域：其中其中法二法二xoy2a2a2a 2a D令令, yxu yxv 則則 DD: D,avua auva ),(),(vuyxJ D21),(),(1 yxvuuov二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法56故故 Dyxyxfdd)( Dvuufdd21)(21 J, yxu . yxv aa a auov對(duì)稱性對(duì)稱性 00dd)(21auavuuf Davu avu auavuuf00dd)(21

34、 2 0d)()(auufua auufua0d)()( 0d)(|)|(auufua auufua0d)(|)|( aattatfd|)|)(二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法 DDvuJvuyvuxfyxyxfdd),(),(dd),(57二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算公式二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算公式 (注意使用對(duì)稱性注意使用對(duì)稱性)二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法四、小結(jié)四、小結(jié)(注意正確選擇積分次序注意正確選擇積分次序, 掌握交換積分次序掌握交換積分次序的方法的方法)恰當(dāng)選擇坐標(biāo)系計(jì)算二重積分恰當(dāng)選擇坐標(biāo)系計(jì)算二重積分(注意選擇的原則注意選擇的原則)58思考題思考題11995年考研數(shù)學(xué)年考研數(shù)學(xué)(一一)5分分 10,d)(,1 , 0)(Axxfxf并設(shè)并設(shè)上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè).d)()(d110yyfxfxx 求求解解 xyyfxxf010d)(d)(令令yyfxfxIxd)()(d110 不能直接積出不能直接積出, 1d)(xyyf改變積分次序改變積分次序. yxyfxfy010d)()(dx