橢圓雙曲線定點(diǎn)弦的一組有趣性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上橢圓雙曲線定點(diǎn)弦的一組有趣性質(zhì)湖南省冷水江市第六中學(xué)（）鄧贊武在對(duì)橢圓、雙曲線的定點(diǎn)弦的研究中，筆者發(fā)現(xiàn)以下一組有趣性質(zhì)。我們先約定：橢圓（或雙曲線）的方程為ax2+by2=1（a、b為常數(shù)），它的弦AB過定點(diǎn)T（m、n）性質(zhì)1：若弦AB的中點(diǎn)為Q，則Q點(diǎn)的軌跡所在曲線的方程為：ax2+by2=amx+bny證明：（圖示僅以交點(diǎn)在x軸上的橢圓為例，其余從略）如圖（1）設(shè)A（x1、y1） B（x1、y2）Q（x，y）則x1+x2=2x，y1+y2=2y 由ax12+by12=1，ax22+by22=1兩式相減可得AB所在直線的斜率為：=-=-，又由A、B、Q、T四點(diǎn)共線

2、知=，故得-=，即ax2+by2=amx+bny為點(diǎn)Q的軌跡所在曲線方程。性質(zhì)2：若過弦的兩端A、B作橢圓（或雙曲線）的切線則兩切線交點(diǎn)P的軌跡所在曲線方程為amx+bny=1證明：如圖（2）設(shè)A（x1、y1）B（x1、y2），P（x0，y0）因切線PA、PB所在直線方程分別為axx1+byy1=1 axx2+byy2=1，而P（x0，y0）為它們的交點(diǎn)故ax0x1+by0y1=1 ax0x2+by0y2=1,故弦AB所在直線方程為ax0x+by0y=1，又弦AB過點(diǎn)T（m，n）所以amx0+bny0=1，即點(diǎn)P（x0，y0）所在曲線方程為amx+bny=1。性質(zhì)3：若過弦AB的兩端點(diǎn)的切線交

3、于P，弦AB的中點(diǎn)為Q，橢圓（或雙曲線）的中心為O，則O、Q、P三點(diǎn)共線。證明：如圖（3）設(shè)A（x1、y1）B（x1、y2），P（x0，y0）Q（xQ，yQ）若弦AB|x軸，由對(duì)稱性質(zhì)知y0=0 yQ=0顯然O、Q、P三點(diǎn)共線。若弦AB不平行于x軸因切線PA、PB所在直線方程分別為axx1+byy1=1,axx2+byy2=1，所以ax0x1+by0y1=1,ax0x2+by0y2=1，兩式聯(lián)立解得：x0=，y0=，即OP所在直線的斜率KOP=-，又由于Q為AB的中點(diǎn)（x1+x2=2xQ，y1+y2=2yQ）以及A、B兩點(diǎn)在曲線ax2+by2=1上，故ax12+by12=1，ax22+by22

4、=1兩式相減可得=-故OQ所在直線斜率KOQ=-KOP=KOQ即O、Q、P三點(diǎn)共線。性質(zhì)4：若OP所在的直線交橢圓（或雙曲線）于點(diǎn)M，Q為AB中點(diǎn)，則OQOP=OM2證明：如圖（4），設(shè)P（xP，yP）Q（xQ，yQ）M（xM、yM）并設(shè)=t1，則xP=t1xQ，yP=t1yQ，而P（xP，yP）滿足amxP+bnyP=1 所以amxQ+bnyQ=又設(shè)=t2，則xM=t2xQ，yM=t2yQ，點(diǎn)M（xM、yM）滿足方程axM2+byM2=1，所以axM2+byM2=，又點(diǎn)Q（xQ，yQ）滿足axQ2+byQ2=amxQ+bnyQ由知t1=t22即=，故OQOP=OM2特別地，當(dāng)定點(diǎn)T處于橢圓（或雙曲線）的焦點(diǎn)位置，直線amx+bny=1為橢圓（或雙曲線）的相應(yīng)準(zhǔn)線，P為該準(zhǔn)線與橢圓（或雙曲線）的對(duì)稱軸的交點(diǎn)。推論（i）：若點(diǎn)M在橢圓（或雙曲線）ax2+by2=1上，點(diǎn)P在直線amx+bny=1上，OQOP=OM2，則點(diǎn)Q的軌跡方程為ax2+by2=amx+bny證明：設(shè)P（xP，yP）Q（xQ，yQ）M（xM、yM），則axM2+byM2=1，amxP+bnyP=1，設(shè)=t，由OQOP=OM2得=t2所以xM=txQ，yM=tyQ，xP=t2xQ，yP=t2yQ，代入得t2（axQ2+by