線性代數(shù)課件：5-3 正定二次型

1、5.3 正定正定二次型二次型一、一、慣性定理慣性定理二、正二、正(負(fù)負(fù))定二次型的概念定二次型的概念三、正三、正(負(fù)負(fù))定二次型的判別定二次型的判別 一個(gè)實(shí)二次型一個(gè)實(shí)二次型, 既可以通過正交變換法化為標(biāo)既可以通過正交變換法化為標(biāo)準(zhǔn)形準(zhǔn)形, 也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形. 用不同的方法其標(biāo)準(zhǔn)形的表達(dá)式一般來說是用不同的方法其標(biāo)準(zhǔn)形的表達(dá)式一般來說是不同的不同的, 但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的,其項(xiàng)其項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩數(shù)等于二次型的秩, 而且正系數(shù)的項(xiàng)數(shù)和負(fù)系數(shù)的而且正系數(shù)的項(xiàng)數(shù)和負(fù)系數(shù)的項(xiàng)數(shù)也分別相等項(xiàng)數(shù)也分別相等. 實(shí)二

2、次型的這個(gè)性質(zhì)常稱為慣性定理實(shí)二次型的這個(gè)性質(zhì)常稱為慣性定理 下面我們限定所用的變換為實(shí)變換下面我們限定所用的變換為實(shí)變換, 來研究二來研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì).一、慣性定理一、慣性定理定理定理5.3 (慣性定理慣性定理) 設(shè)有實(shí)二次型設(shè)有實(shí)二次型 f = xTAx, 其秩為其秩為r, 有兩個(gè)有兩個(gè)可逆變換可逆變換 x = Cy, x = Qy, 分別使分別使 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形:則則 k1, k2, , kr 中與中與 m1, m2, , mr 中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等. , )0( ,2222211 irrkykykykf, )0( ,22222

3、11 irrmzmzmzmf二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的中正系數(shù)的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)稱為二次型的稱為二次型的正慣正慣性指數(shù)性指數(shù),負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù). 若二次型若二次型 f 的秩為的秩為r,正慣性指數(shù)為正慣性指數(shù)為 p , 則則f 的規(guī)范形為的規(guī)范形為:.221221rppyyyyf 二、正二、正(負(fù)負(fù))定二次型的概念定二次型的概念定義定義5.4 設(shè)有二次型設(shè)有二次型 f = xTAx, 若對(duì)任何非零向量若對(duì)任何非零向量 x 0, 都有都有 f (x)0 (顯然有顯然有 f (0 )=0), 則稱則稱 f 為為正定二次型正定二次型 , 并稱并稱對(duì)稱陣對(duì)稱陣 A

4、 是正定的是正定的. (或稱或稱 A 是正定陣是正定陣).若對(duì)任何若對(duì)任何 x 0, 都有都有 f (x)0 ,則稱則稱 f 為為負(fù)定二次型負(fù)定二次型 ,并并稱稱對(duì)稱陣對(duì)稱陣 A 是負(fù)定的是負(fù)定的. (或稱或稱 A 是負(fù)定陣是負(fù)定陣).,164),(222zyxzyxf f 為正定二次型為正定二次型.例如例如:,3),(2221321xxxxxf 若若則則 f 不為正定二次型不為正定二次型.注意注意例例1 1 設(shè)設(shè) A, B 均為正定陣均為正定陣, 證明證明 A+B 亦為正定陣亦為正定陣.三、正三、正(負(fù)負(fù))定二次型的判別定二次型的判別定理定理5.4 實(shí)二次型實(shí)二次型 f = xTAx 為正定

5、的充要條件是為正定的充要條件是: 其標(biāo)準(zhǔn)形的其標(biāo)準(zhǔn)形的 n 個(gè)系數(shù)全為正個(gè)系數(shù)全為正,即正慣性指數(shù)為即正慣性指數(shù)為 n . 二次型二次型 f = xTAx 為正定等價(jià)于其矩陣為正定等價(jià)于其矩陣 A 為正定為正定.故判別二次型故判別二次型 f = xTAx 是否正定亦可轉(zhuǎn)化為判別是否正定亦可轉(zhuǎn)化為判別其矩陣其矩陣 A是否是否正定正定.推論推論1 對(duì)稱陣對(duì)稱陣 A 正定的充要條件是正定的充要條件是 A 的特征值全為的特征值全為正正.推論推論2 對(duì)稱陣對(duì)稱陣 A 正定的充要條件是正定的充要條件是 A均與單位陣均與單位陣E合合同同.例例2 2 判定二次型判定二次型的正定性的正定性.3123222132

6、14542),(xxxxxxxxf 解解f 的矩陣為的矩陣為:,502040202 A, 0)5)(4)(2(| EA由由, 6, 4, 1:321 得特征值得特征值故故 A 是正定陣是正定陣, 從而從而 f 是正定二次型是正定二次型.)., 2 , 1( ,212222111211nkaaaaaaaaakkkkkkk 定義定義5.5 對(duì)于對(duì)于 n 階矩陣階矩陣 A=(aij), 行列式行列式稱為方陣稱為方陣 A 的的 k 階順序主子式階順序主子式. 定理定理5.5 (霍爾維茨定理霍爾維茨定理)(1) 對(duì)稱陣對(duì)稱陣 A 為正定的充要條件是為正定的充要條件是 A 的各階順序主的各階順序主子式為正

7、子式為正. )., 2 , 1( , 0nkk 即即(2) 對(duì)稱陣對(duì)稱陣 A 為負(fù)定的充要條件是奇數(shù)階順序主子式為負(fù)定的充要條件是奇數(shù)階順序主子式為負(fù)為負(fù), 偶數(shù)階正偶數(shù)階正. )., 2 , 1( , 0)1(nkkk 即即例例3 3 判定二次型判定二次型的正定性的正定性.yzxzxyzyxzyxf48455),(222 解解f 的矩陣為的矩陣為:,524212425 A它的順序主子式它的順序主子式:, 0511 a, 01122522211211 aaaa, 01| A故故 A 是正定陣是正定陣, 從而從而 f 是正定二次型是正定二次型.例例4 4 判定二次型判定二次型的正定性的正定性.xzxyzyxzyxf44465),(222 解解f 的矩陣為的矩陣為:,402062225 A它的順序主子式它的順序主子式:, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 0104| A故故 A 是負(fù)定陣是負(fù)定陣, 從而從而 f 是負(fù)定二次型是負(fù)定二次型.100010041A例例5,問二次型問二次型AxxfT 是否正定？是否正定？例例6 6 t 取何值時(shí)取何值時(shí), 二次型二次型正定正定.yzxztxyzyxf422