微積分課件：5-3 平面與直線

1、二、直線二、直線 第三節(jié)第三節(jié) 平面與直線平面與直線一、平面一、平面三、小結(jié)三、小結(jié)xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法向量法向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一非零向量垂直于平面內(nèi)的任一非零向量已知已知),(CBAn ),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點為設(shè)平面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面一、平面1、平面的點法式方程、平面的點法式方程n),(0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點法式方程平面的點法式方程 其中法向量其中法向量

2、),(CBAn 已知點已知點).,(000zyx例例 1 1 求過三點求過三點)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程.解解)6, 4, 3( AB)1, 3, 2( AC取取ACABn ),1, 9,14( 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量).,(CBAn 2、平面的一般方程、平面的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方

3、程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標原點；平面通過坐標原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標面；坐標面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.例例 2 2 求過點求過點)1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.),1 , 1, 1(1 n)12, 2, 3(2 n取法向量取法向量21nnn ),5,15,10( , 0)1(5)1(15)1(10

4、 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例 3 3 設(shè)平面過原點及點設(shè)平面過原點及點)2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA),2 , 1, 4( n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解另另解解: :利利用用點點法法式式方方程程例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中

5、0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點坐標代入得將三點坐標代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA),(1111CBAn ),(222

6、2CBAn 3、兩平面的夾角、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA (3)重重合合例例5 5 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面

7、相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos )2(),1 , 1, 2(1 n)2, 2, 4(2 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合. ),(1111zyxP10n10d |Prj P P |P Pnn 1PNn0P 10010101P Pxx ,yy ,zz 解解 nA,B,C 010101222222222A(xx )B(yy )C(zz )dABCABCABC00011122

8、2AxByCz(AxByCz ),ABC 0111 DCzByAx)(1 P.|222000CBADCzByAxd 點到平面距離公式點到平面距離公式設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點點，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L二、二、 直線直線1、空間直線的一般方

9、程、空間直線的一般方程xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱一條已知直線，這個向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/),(pnms ),(0000zzyyxxMM 2、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程pzznyymxx000 直線的對稱式方程直線的對稱式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的余弦稱為方向向量的余弦稱為直線的直線的方向余弦方向余弦.直線的

10、參數(shù)方程直線的參數(shù)方程例例1 1 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線043201zyxzyx解解在直線上任取一點在直線上任取一點),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點坐標點坐標),2, 0 , 1( 因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ),3, 1, 4( 對稱式方程對稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx解解因因為為直直線線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點為所以交點為),0, 3, 0( B取取BAs ),4, 0, 2( 所求直線方程

11、所求直線方程.440322 zyx定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式3、兩直線的夾角、兩直線的夾角兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L),0, 4, 1(1 s),1 , 0 , 0(2 s, 021 ss,21ss 例如，

12、例如，.21LL 即即(3)異異面面例例 3 3 求過點求過點)5, 2, 3( 且與兩平面且與兩平面34 zx和和152 zyx的交線平行的直線方程的交線平行的直線方程.解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為),(pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ),1, 3, 4( .153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程例例 4 4 求過點求過點)3 , 1 , 2(M且與直線且與直線12131 zyx垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程.解解先作一過點先作一過點M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直

13、線與該平面的交點再求已知直線與該平面的交點N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交點交點)73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN)373, 1713, 272( ),724,76,712( 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx5:x+7y+2z+2x+7y+2z+2例例求求點點(2,3,1)(2,3,1)在在直直線線=上上的的投投影影點點. .123123( 5,2,4) tztytxzyxN32,22,7),(:1 則則設(shè)投影點設(shè)投影點解解MN tttMNSMN33,25,9, 而而0

14、)33(3)25(29 ttt2 t)4 , 2 , 5( N投影點投影點4:2 見例見例解解6:例例求求點點(1,-2,3)(1,-2,3)關(guān)關(guān)于于平平面面x+4y+z-14=0 x+4y+z-14=0的的投投影影點點及及對對稱稱點點. .投投影影點點(2,2,4),(2,2,4),對對稱稱點點(3,6,5)(3,6,5)定義定義,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx),(pnms ),(CBAn 2),(ns4、直線與平面的夾角、直線與平面的夾角L直直線線 與與平平面面的的法法線線之之間間的的夾夾角角的的余余角角222222| AmBnCp|ABCmnp 直線與平面的夾角

15、公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm cossin2 5 、過直線的平面束方程過直線的平面束方程(7x7y2z10)11112222A xB yC zD0A xB yC zD0 11112222Ax By Cz D(Ax By Cz D) 0 的的平平面面方方程程。交交線線且且過過點點：求求過過例例)3 , 2 , 1(032 , 01280Mzyxzyx 9( x+y-z-1=0 x+y-z-1=0例例 求求直直線線L:L:在在平平面面:x+y+z=0:x+y+z=0上上的的投投影影x-y+z+1=0 x-y+z+1=0直直線線方方程程.page34.page34例例5)5)平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角.點到平面的距離公式點到平面的距離公式.點法式方程點法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意兩平面的（注意兩平面的位置位置特征）特征）三、小結(jié)三、小結(jié)空間直線的一般方程空