追本溯源,從含義入手提高簡(jiǎn)算能力

1、追本溯源，從含義入手提高簡(jiǎn)算能力江蘇省無錫崇寧路實(shí)驗(yàn)小學(xué) 張懿菁簡(jiǎn)算，也就是簡(jiǎn)便運(yùn)算。顧名思義，也就是使枯燥的計(jì)算更為簡(jiǎn)便。按理說，計(jì)算變簡(jiǎn)便了，正確率自然就會(huì)提高。但比較尷尬的是，學(xué)生對(duì)一些枯燥的計(jì)算能做到穩(wěn)扎穩(wěn)打，對(duì)這些“簡(jiǎn)便”的計(jì)算卻是錯(cuò)誤百出，摸不著門道。問題究竟出在哪里？要想找出原因，首先要搞清簡(jiǎn)便運(yùn)算的原理。所謂簡(jiǎn)便運(yùn)算，應(yīng)該是靈活、正確、合理地運(yùn)用各種定義、定律、性質(zhì)、法則等等，改變?cè)械倪\(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算，使復(fù)雜的計(jì)算變得簡(jiǎn)單，大幅度地提高計(jì)算速度及正確率。簡(jiǎn)便運(yùn)算本來的目的是化繁為簡(jiǎn)，提高計(jì)算的速度、正確率和靈活性。但如果學(xué)生沒有理解運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)的本質(zhì)，簡(jiǎn)便運(yùn)算就是無本之

2、木、無源之水，只能是照葫蘆畫瓢。掌握得不到位，計(jì)算過程自然錯(cuò)誤不斷。同時(shí)，簡(jiǎn)算還成了一部分學(xué)生的“負(fù)擔(dān)”。練習(xí)簡(jiǎn)算后，每到做題學(xué)生都要問：“老師，一定要簡(jiǎn)算嗎?”學(xué)生為了簡(jiǎn)算而簡(jiǎn)算，而不是通過掌握簡(jiǎn)算的本領(lǐng)，對(duì)自己的計(jì)算提供幫助，可以說并沒有體會(huì)到簡(jiǎn)算的真正價(jià)值。為此，我采用多種方法讓學(xué)生體會(huì)簡(jiǎn)算的作用，幫助學(xué)生解決為什么要進(jìn)行簡(jiǎn)算的問題，提高學(xué)生學(xué)簡(jiǎn)算、用簡(jiǎn)算的意識(shí)和積極性。但我發(fā)現(xiàn)：在老師教的時(shí)候，學(xué)生對(duì)老師的講解聽得津津有味，并且很快就能弄懂，可一讓學(xué)生自己做就“找不著北”了。尤其是怎樣利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算、湊整時(shí)該加還是該減，性質(zhì)、定律的推廣使用等，都成了簡(jiǎn)算中的“攔路虎”， 錯(cuò)誤率

3、很高。因此，讓學(xué)生更好地理解運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)真正的內(nèi)化才是學(xué)習(xí)簡(jiǎn)便運(yùn)算的真諦。怎樣才能更好地理解運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)真正的內(nèi)化呢？我在教學(xué)中總結(jié)了一套追本溯源從運(yùn)算的含義入手，通俗易懂、形象生動(dòng)地理解簡(jiǎn)算的方法，和大家一起商榷。一、用乘法的含義來解讀運(yùn)算律中的乘法。在小學(xué)階段（四年級(jí)）主要學(xué)習(xí)的運(yùn)算律有5個(gè)：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律。初學(xué)這些運(yùn)算律，如果說學(xué)生對(duì)前四個(gè)運(yùn)算律的理解、掌握和運(yùn)用都顯得游刃有余、非常透徹的話，那么學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解和運(yùn)用可謂是似懂非懂、模糊混沌。時(shí)而把乘法分配律的式題看成了連乘，錯(cuò)誤地運(yùn)用乘法結(jié)合律來做，時(shí)而找不到正

4、確地該乘和該加的數(shù)，時(shí)而再加上乘法分配律豐富多樣的變換形式，使一些同學(xué)看到這類題就如臨大敵、不知所措。出現(xiàn)這些情況與多方面因素有關(guān)：有的同學(xué)對(duì)僅通過幾個(gè)算式發(fā)現(xiàn)的共同規(guī)律無法進(jìn)行抽象化、實(shí)現(xiàn)真正理解；有的同學(xué)只會(huì)基本模式的運(yùn)用，無法進(jìn)行變通；有的同學(xué)通過短時(shí)記憶，當(dāng)時(shí)懂了，時(shí)間久了又混淆起來了等。以下介紹我在教學(xué)“運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算”時(shí)幫助學(xué)生理解的幾種方法：1、（a±b）×c型如：（58）×125，根據(jù)正常的運(yùn)算順序，可以先算出括號(hào)中的結(jié)果是13，最終要算的是13×125，即13個(gè)125（相加）（注：以下簡(jiǎn)略為“幾個(gè)幾”），而為了追求計(jì)算的簡(jiǎn)便，我

5、們可以把13個(gè)125拆成是5個(gè)125和8個(gè)125分別計(jì)算后再加起來。對(duì)難以理解這一敘述的同學(xué)，還可以以這樣的一串算式說明它的算理和前后內(nèi)在聯(lián)系：（58）×125=13×125=125125125125125125125125125125125125125=（125125125125125）（125125125125125125125125）=5×1258×125有了這樣透徹了理解，就避免了學(xué)生不知乘誰、不知怎么乘、不知乘幾遍的苦惱了。在換成其它數(shù)據(jù)時(shí)，括號(hào)中的結(jié)果可暫且稱為“若干個(gè)”，就可以把原題思考為：“若干個(gè)c”可以分成“a個(gè)c”加（減）“b個(gè)c”，

6、即a×c±b×c。2、a×c±b×c型有的老師認(rèn)為這一種題型只是在上一種的基礎(chǔ)上前后交換一下，不必再多作贅述。表面上看的確如此，但這必須建立在學(xué)生已經(jīng)能正確地找到前后兩個(gè)乘法算式中的相同因數(shù)的基礎(chǔ)上，也就是誰是“（a±b）×c”中的誰是“c”的問題。如：32×768×7這個(gè)算式中，最好是能理解為32個(gè)7加上68個(gè)7，前后乘式中都出現(xiàn)的公共因數(shù)7就是要確定下來的“c”。而不是理解為7個(gè)32和7個(gè)68等其他情況。這并不是每個(gè)學(xué)生都能做到的。當(dāng)然如果要求學(xué)生先觀察前后乘式中的公共因數(shù)，就比較容易做對(duì)了

7、。但也會(huì)“遭遇”變形的問題。有時(shí)a×c±b×c會(huì)變換為a×c±c，這時(shí)必須讓學(xué)生透徹理解后面的“c”就是“1個(gè)c”的意思。如：99×4999，先找到前后乘式中的公共因數(shù)99，然后把該式理解為49個(gè)99再加上1個(gè)99。又如：99×101 99和10199×101，這兩題看似相同，實(shí)際思考和計(jì)算時(shí)有著很大的區(qū)別。前者公共因數(shù)是99，101個(gè)99減去1個(gè)99，即100個(gè)99；后者公共因數(shù)是101，99個(gè)101再加上1個(gè)101，即100個(gè)101。要想仔細(xì)辨別清它們之間的異同，一定要有扎實(shí)、不動(dòng)搖的理解方法。有時(shí)a×

8、;c±b×c還會(huì)變換為a×c±c×c。如：75×2525×25，這時(shí)要把后面一個(gè)乘式看成25個(gè)25，切不可混淆兩者扮演的不同角色。3、兩數(shù)相乘，其中一個(gè)乘數(shù)接近整百數(shù)（或整十?dāng)?shù)、整千數(shù)）型。如199×71，有的同學(xué)在寫下原題等于“（2001）×71”后，經(jīng)常不知接下來該寫什么，往往又會(huì)回到原題上，產(chǎn)生許多前后反復(fù)的錯(cuò)亂。如果能跳過這一步，直接把原題理解為199個(gè)71就是200個(gè)71減去1個(gè)71，即200×7171，這樣就不太容易出錯(cuò)了。既做到理解上簡(jiǎn)明清晰，又做到書寫上簡(jiǎn)單明了。又如102

9、15;56可以直接分成100×562×56。在初學(xué)乘法的時(shí)候，我們都知道：求幾個(gè)相同加數(shù)的和是可以用乘法來計(jì)算的。乘法是加法的一種特殊形式，是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。久而久之，熟練了乘法計(jì)算的同學(xué)們就把這乘法的基本含義和最初的加法形式給淡忘了?？梢钥闯觯涸谝陨线@幾類運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算的解答過程中，都緊緊地抓住了乘法的含義，讓乘法再次以“幾個(gè)幾（相加）”的基本模式出現(xiàn)在孩子的思維中。使抽象的乘法分配律在乘法最基本的含義面前“遁出了原形”。這樣的思考方法時(shí)間用久了，學(xué)生看到這樣的算式，在心里讀的時(shí)候就把算式中的“幾乘幾”讀成“幾個(gè)幾”雖然是一字之差，卻讓學(xué)生距離含義更進(jìn)了一步、距離

10、理解更進(jìn)了一步、距離正確地解題和篤定的自信也更進(jìn)了一步。我相信有了這樣的理解，學(xué)生就不難應(yīng)付以下這些“偽裝”得更巧妙的變形了。如：乘法分配律與乘法結(jié)合律的辨析：（1256）×8與（125×6）×8；找不到公因數(shù)的乘法分配律：32×1864×41；多項(xiàng)乘式相加減的乘法分配律：39×5142×393939×8；乘法分配律在除法中的推廣拓展：（a±b）÷c和a÷c±b÷c，如：1375÷ 251125÷25；（注：此式亦可用除法的基本含義平均分中的包含

11、分來解讀）二、用加減法的含義來解讀湊整中的調(diào)整。在簡(jiǎn)算中，學(xué)生常常會(huì)碰到一些需要湊整的情況。如：576298。學(xué)生往往在把298看成300之后，不知該繼續(xù)2還是2，甚至有的同學(xué)出現(xiàn)5762982這樣的錯(cuò)誤。出現(xiàn)這些錯(cuò)誤，歸根結(jié)底是沒有對(duì)湊整中進(jìn)行調(diào)整的加減法含義理解透徹。有些同學(xué)對(duì)上課時(shí)總結(jié)的“多加則減，多減則加；少加再加，少減再減”并不能靈活運(yùn)用，原因也不外乎是對(duì)“多加、多減、少加、少減”的概念不清晰，甚至不排除對(duì)這饒舌的口訣記不清的情況。因此掌握的關(guān)鍵還是在于對(duì)變化規(guī)則的理解實(shí)現(xiàn)真正的內(nèi)化。對(duì)于這樣的加法題，學(xué)生較易接受的做法是在不改變總和的情況下，進(jìn)行內(nèi)部調(diào)整。如：思考576298時(shí)，就

12、從576中送一個(gè)2給298（注意：不是借，說“借”這個(gè)詞語比較容易讓學(xué)生想到還要還），變成574300，這樣清晰形象的內(nèi)部調(diào)整頗受學(xué)生的歡迎。加法的含義是把幾部分合并起來，“內(nèi)部調(diào)整”的方法是把調(diào)整過的兩個(gè)部分合起來，而“多加則減、少加再加”的方法則分成了三部分來處理，思維自然變復(fù)雜了。減法的含義是從總數(shù)中去掉一部分，為了使減法含義更形象，可假設(shè)情景深入理解。如在思考500297時(shí)，可先假設(shè)一個(gè)購(gòu)物付款時(shí)的情景?？诖杏?00元錢，先要付款297元，該怎樣付呢？學(xué)生都能立刻想到先付300元給營(yíng)業(yè)員，然后營(yíng)業(yè)員再找回3元放入口袋。這時(shí)，口袋中有原來剩下的200元和后來找入的3元，共203元。在假

13、設(shè)完情景后，最重要的是把情景再現(xiàn)，并邊再現(xiàn)情景，邊把情景中的實(shí)際操作轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)來表示。付出300元即300；找回3元即3，這樣原題就寫成了5003003。三、減法的性質(zhì)、除法的性質(zhì) 深入地掌握運(yùn)算的含義，還可以用來理解和靈活運(yùn)用一些平時(shí)不常見的特殊的簡(jiǎn)算方法。如減法的性質(zhì)abc=a（bc）；除法的性質(zhì)a÷b÷c=a÷（b×c）；同級(jí)運(yùn)算中運(yùn)算順序的合理調(diào)整abc=acb，a×b÷c=a÷c×b等；以及以上所有運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)的推廣情況等。例如：1462369631=1462（369631）；583（249283）=583283249；810÷18=810÷9÷2；700÷4÷25=700÷（4×25）；34368143=34343681；124×