極值點偏移1-4-第2招--含參數(shù)的極值點偏移問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上極值點偏移1-4-第2招-含參數(shù)的極值點偏移問題含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元的基礎(chǔ)上，又多了一個參數(shù)，故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù).例1. 已知函數(shù)有兩個不同的零點，求證：. 不妨設(shè)，記，則， 因此只要證明：，再次換元令，即證構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，得在上遞增， 所以，因此原不等式獲證.例2. 已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，證明：法二：利用參數(shù)作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)： 不妨設(shè)，欲證明，即證.，即證，原命題等價于證明，即證：，令，構(gòu)造，此問題等價轉(zhuǎn)化成為例1中思路

2、2的解答，下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：設(shè)，則，反解出：， 故，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略.專心-專注-專業(yè)例3.已知是函數(shù)的兩個零點，且.（1）求證：； （2）求證：. (2) 要證：，即證：，等價于，也即，等價于，令等價于，也等價于，等價于即證：令，則，又令，得，在單調(diào)遞減，從而，在單調(diào)遞減，即證原不等式成立.【點評】從消元的角度，消掉參數(shù)，得到一個關(guān)于的多元不等式證明，利用換元思想，將多元不等式變成了一元不等式，并通過構(gòu)造函數(shù)證明相應(yīng)不等式. 例4.已知函數(shù)，若存在，使，求證：.KS5UKS5UKS5U再證：.，而，.證畢.【招式演練】設(shè)函數(shù)的圖像與軸交于兩點，（1）證明：；（2）求證：.（

3、2）證明：由，易知且，從而，令，則，由于，下面只要證明：，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像可知，只需證：兩點連線的斜率要比兩點連線的斜率小即可，又因為，即證：，令，則，在上單調(diào)遞減， 原不等式成立.設(shè)函數(shù)，其圖像在點處切線的斜率為.當(dāng)時，令，設(shè)是方程的兩個根，是的等差中項，求證：(為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.設(shè)函數(shù)，函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，且是的圖像上不同的兩點，滿足，線段中點的橫坐標(biāo)為，證明：【解析】，又依題意，得在定義域上單調(diào)遞增，所以要證，只需證，即不妨設(shè)，注意到，由函數(shù)單調(diào)性知，有， 構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，從而不等式式成立，故原不等式成立. 已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在上的零點個數(shù)；（2）若有兩零點（

4、），求證：.【點評】1.方程的變形方向：是函數(shù)的兩個零點，1是該函數(shù)的極值點.是函數(shù)的兩個零點，是該函數(shù)的極值點.2.難點的證明依賴?yán)梅趴s.已知函數(shù) .（）討論的單調(diào)性；（）設(shè)，證明：當(dāng)時， ；（）設(shè)是的兩個零點，證明 .【答案】（）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（）當(dāng)時，；（）證明過程見解析（）令，則 .求導(dǎo)數(shù)，得 ，當(dāng)時，在上是減函數(shù).而， ，故當(dāng)時， （）由（）可知，當(dāng)時，函數(shù)至多有一個零點，故，從而的最小值為，且，不妨設(shè)，則， ，由（）得 ， 從而，于是，由（）知， . 點晴:本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性.不等式比較大小，函數(shù)的零點問題：在（）中通過求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號，分別討論的取值，

5、確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（）通過構(gòu)造函數(shù)，把不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，求函數(shù)當(dāng)時的最大值小于零即可（）要充分利用（）（）問的結(jié)論.已知函數(shù)（）.（）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若函數(shù)，對于曲線上的兩個不同的點，記直線的斜率為，若，證明：.【答案】（1）（2）見解析 由題設(shè)得 .又 ， .不妨設(shè)， ，則，則 .令 ，則，所以在上單調(diào)遞增，所以， 故.KS5UKS5U.KS5U又因為，因此，即.又由知在上單調(diào)遞減，所以，即.已知函數(shù)，（）求過點且與曲線相切的直線方程；（）設(shè)，其中為非零實數(shù)，有兩個極值點，且，求的取值范圍；（）在（）的條件下，求證：【答案】（1）（2）見解析KS5UKS5U.KS5U，解得切線的斜率為，切線方程為（） ， 當(dāng)時，即時， ， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得， ， ，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得， ， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時， 有兩個極值點，即， ，即的范圍是點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時，；（2）若函數(shù)有兩個零點， （， ），證明： .【答案】（1）詳見解析