一元二次方程基礎(chǔ)知識(shí)

1、05212 xx)(013422 yx)(032cbxax)(0214 )()(xx0152aa)(1262 )(m)(1)(4)(6例題講解 方程（方程（2a4）x2 2bx+a=0, 在什么條在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？件下此方程為一元一次方程？ 解：當(dāng)解：當(dāng)a2a2時(shí)是一元二次方程；當(dāng)時(shí)是一元二次方程；當(dāng)a a2 2，b0b0時(shí)是一元一次方程；時(shí)是一元一次方程；1.下列方程中下列方程中,無(wú)論無(wú)論a為何值為何值,總是關(guān)于總是關(guān)于x的一元的一元二次方程的是二次方程的是( )A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.

2、ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=02.當(dāng)當(dāng)m為何值時(shí)為何值時(shí),方程方程 是關(guān)于是關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程.0527) 1(24mxxmmD探究新知探究新知4.（1）下列哪些數(shù)是方程）下列哪些數(shù)是方程260 xx的根？從中你能體會(huì)根的作用嗎？的根？從中你能體會(huì)根的作用嗎？ 4，3，2，1，0，1，2，3，4 （2）若）若x2是方程是方程 的一個(gè)的一個(gè) 2450axx根，你能求出根，你能求出a的值嗎？的值嗎？根根的作用：的作用：可以使等號(hào)成立可以使等號(hào)成立.例例 解方程：解方程：(1) x2x = 0(2) 2 x2+13x 7= 0鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)(

3、1) x2 = 2x。一元二次方程化為一般形式一元二次方程化為一般形式ax2+bx+c=0 (a0)后，如果它的左邊的二次三項(xiàng)式能因式分解，后，如果它的左邊的二次三項(xiàng)式能因式分解，那么就可以用因式分解法解這個(gè)方程那么就可以用因式分解法解這個(gè)方程例例 解方程：解方程：(1) x2x = 0(2) 2 x2+13x 7= 0鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)(1) x2 = 2x(2) 3 x227 = 0(1) x2x = 0解解:把方程左邊分解因式把方程左邊分解因式,得得 x(x) = 0 x = 0 或或x x 3 = 03 = 0原方程的根是原方程的根是x1=0 , x2=3一一元元二二次次方方程程(2)

4、2 x2+13x 7= 0解解:把方程左邊分解因式把方程左邊分解因式,得得(2x -)(x) = 0 2x -1 = 0 , x =0.5或或 x +7 = 0, x = -原方程的根是原方程的根是x1=0.5 , x2= -7一一元元二二次次方方程程第（第（1）題答案：）題答案：x2 = 2xx2 2x = 0 x(x 2) = 0 x1=0 , x2=2一一元元二二次次方方程程第（第（2）題答案：）題答案：3x2 27=0 x2 9 = 0 (x+3)(x 3) = 0 x1=3 , x2=3x+3 = 0 或或x 3 = 0=第（第（3）題答案：）題答案：(x+4)(x 3) = 0 x

5、1=4 , x2=3x+4= 0 或或x 3=0一一元元二二次次方方程程第（第（4）題答案：）題答案：(3x+1)(2x 1) = 0 x1=? , x2=?3x+1= 0 或或2x 1=0一一元元二二次次方方程程例例 解方程：解方程：(1) x2x = 0(2) 2 x2+13x 7= 0鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)(1) x2 = 2x(2) 3 x227 = 0(3) x2+x 12= 0一一元元二二次次方方程程例例1: 用配方法解方程用配方法解方程0762 xx解解:配方得：配方得：開(kāi)平方得：開(kāi)平方得：762xx 3736222 xx 43x16)3( 2x即7 , 1 21xx移項(xiàng)得：移項(xiàng)得：原

6、方程的解為：原方程的解為：心動(dòng) 不如行動(dòng)例例2: 你能用配方法解方程你能用配方法解方程 嗎？嗎？0622 xx解解:配方得：配方得：開(kāi)平方得：開(kāi)平方得：3212xx )41(3)41(21222 xx 4741x范例研討運(yùn)用新知范例研討運(yùn)用新知1649)41( 2x即03212xx移項(xiàng)得：移項(xiàng)得：原方程的解為：原方程的解為：化二次項(xiàng)系數(shù)為1得：23 , 2 21xx例例2: 你能用配方法解方程你能用配方法解方程 嗎？嗎？反饋練習(xí)鞏固新知反饋練習(xí)鞏固新知1、用配方法解下列方程、用配方法解下列方程:(1)x2+8x-15=0(2)x2-5x-6=0(3)2x2-5x-6=0(4) x2+px+q=

7、0(p2-4q 0) 配方法配方法小結(jié)：小結(jié)：（2）移項(xiàng)）移項(xiàng)（3）配方）配方 （4）開(kāi)平方）開(kāi)平方（5）寫(xiě)出方程的解）寫(xiě)出方程的解2、用、用配方法配方法解一元二次方程解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的的步驟步驟：1、配方法： 通過(guò)配方通過(guò)配方,將方程的左邊化成一個(gè)含未將方程的左邊化成一個(gè)含未知數(shù)的知數(shù)的完全平方式完全平方式,右邊是一個(gè)右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)非負(fù)常數(shù),運(yùn)用直接運(yùn)用直接開(kāi)平方求出方程的解的方法。開(kāi)平方求出方程的解的方法。(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為化二次項(xiàng)系數(shù)為1用配方法解一般形式的一元二次方程用配方法解一般形式的一元二次方程20axbxc 把方程兩邊都除以把方程兩邊都除以 2

8、0bcxxaa 解解: :a移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得2bcxxaa 配方，得配方，得22222bbcbxxaaaa 即即222424bbacxaa (a0)2422bbacxaa 即即即即222424bbacxaa 因?yàn)橐驗(yàn)閍0,所以所以4 0a2式子式子的值有以下三種情況：acb42044, 04) 1 (222abbacac這時(shí)此時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根此時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根aacbaacbbxbx242422212422bbacxaa 即即即即222424bbacxaa 因?yàn)橐驗(yàn)閍0,所以所以4 0a2式子式子的值有以下三種情況：acb42044, 04)2(222abbacac這時(shí)此時(shí)

9、，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根此時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根abxx2210即即222424bbacxaa 因?yàn)橐驗(yàn)閍0,所以所以4 0a2式子式子的值有以下三種情況：acb42044, 04)3(222abbacac這時(shí)而而x取任何實(shí)數(shù)都不可能使取任何實(shí)數(shù)都不可能使 ，因此方程無(wú)實(shí)數(shù)根因此方程無(wú)實(shí)數(shù)根0)2(2abx一般地，式子 叫做方程根的判別式，通常用希臘字母表示它，即acb42acb4220axbxc20axbxc 242bbacxa 一元二次方程的一元二次方程的求根公式求根公式(a0)當(dāng)當(dāng)0時(shí)，方程時(shí)，方程的實(shí)根可寫(xiě)為的實(shí)根可寫(xiě)為用求根公式解一元二次方程的方法用求根公式解一元二次方程的方法叫

10、做叫做公式法。公式法。例例 1 解方程：解方程：27180 xx 解：解：即即 ：1292xx 242bbacxa 1718abc 22474 118121bac （）（ ）0方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根242bbacxa 211712121)7(用公式法解一元二次方程的一般步驟：用公式法解一元二次方程的一般步驟：242bbacxa 3、代入求根公式、代入求根公式 :2、求出、求出 的值，的值，24bac 1、把方程化成一般形式，并寫(xiě)出、把方程化成一般形式，并寫(xiě)出 的值。的值。a b、 c c4、寫(xiě)出方程的解：、寫(xiě)出方程的解：12xx、特別注意特別注意:當(dāng)當(dāng) 時(shí)無(wú)解時(shí)無(wú)解240

11、bac242bbacxa 例例 2 解方程：解方程：232 3xx化簡(jiǎn)為一般式：化簡(jiǎn)為一般式：22 330 xx這里這里1a 、 b=-2 3、b=-2 3、 c=3c=3解：解：2242 34 1 30032 12bacx （）（- -2 2 3 3 ）2 2 3 3即即 ：123xx1、 m取什么值時(shí)，方程取什么值時(shí)，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解 思考題思考題2、關(guān)于、關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)。 當(dāng)當(dāng)a，b，c 滿足什么條件時(shí)，方程的兩根為滿足什么條件時(shí)，方程的兩根為互為相反數(shù)？互為相反數(shù)？一元二次方程

12、根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系( (韋達(dá)定理）韋達(dá)定理）acxxabxxxxacbxax212121200,)(則的兩根為若方程qxxpxxxxqpxx21212120,則：，的兩根為若方程特別地：推論推論1 1一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系( (韋達(dá)定理）韋達(dá)定理）012121221xxxxxxxx）（）是方程（二次項(xiàng)系數(shù)為為根的一元二次以兩個(gè)數(shù),推論推論2 2acxxabxxxxacbxax212121200,)(則的兩根為若方程3 3、如果、如果 是方程是方程2X X2 2+mX+3=0+mX+3=0的一個(gè)的一個(gè)根，求它的另一個(gè)根及根，求它的另一個(gè)根及mm的值的值. .214、已知關(guān)于、已知關(guān)于x的方程的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的兩根的平方和比兩根之積的的兩根的平方和比兩根之積的3倍少倍少 10，求，求k的值的值.1 1、如果、如果-1-1是方程是方程2X X2 2X+m=0X+m=0的一個(gè)根，則另的一個(gè)根，則另 一個(gè)根是一個(gè)根是_，m =_m =_。2 2、設(shè)、設(shè) X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的兩個(gè)根，則的兩個(gè)根，則 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( = ( X1+X2)2 - -