解析式未給定函數(shù)變形方法種種

1、解析式未給定函數(shù)變形方法種種涉及未給定解析表達(dá)式的函數(shù)的相關(guān)問題通常較難，對同學(xué)的基本數(shù)學(xué)素質(zhì)要求較高，除了要掌握函數(shù)的基本性質(zhì)之外，還要掌握一定的代數(shù)變形方法。本文精選幾例給同學(xué)們閱讀，以期提高同學(xué)們的閱讀、概括能力，掌握這類問題的解決方法?！纠?】函數(shù)對任意、R，都有，并且當(dāng)時(shí)，。（1）求證：是R上的增函數(shù)；（2）若，解不等式。解：設(shè)、R，且，則，。即，是R上的增函數(shù)。（2），。不等式即為，是R上的增函數(shù)，于是，解之得。【例3】已知定義在R上的函數(shù)對任意、R都有成立，且方程有最小正根c存在。求證：（1），且是偶函數(shù)；（2），且是周期函數(shù)；（3），即是有界函數(shù)。證明：（1）在條件式中令，得解

2、得或。若，在條件式中令，得，方程的解是任意實(shí)數(shù)，與“有最小正根”矛盾，。在條件式中令，可得，。是偶函數(shù)。（2），又，而，是周期函數(shù)。（3）假設(shè)存在R，有成立，則（*）但是，與（*）式矛盾.。對任意R，即是有界函數(shù)。【例4】函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對任意，R，有，且當(dāng)時(shí)，。（1）證明：是奇函數(shù)；（2）證明：在R上是減函數(shù)；（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值。（1）證明：由，得，。又，從而有，是奇函數(shù)。（2）證明：任取，R，且，則，即，從而在R上是減函數(shù)。（3）解：由于在R上是減函數(shù)，故在上的最大值是，最小值是。由于，。從而最大值是6，最小值是?！纠?】設(shè)函數(shù)定義在R上，對任意實(shí)數(shù)，恒有，且當(dāng)時(shí)，。（1

3、）求證：，且當(dāng)時(shí)，；（2）求證：在R上遞減；（3）設(shè)集合，若，求的取值范圍。（1）證明：在中，令，得，。設(shè)，則，令，代入條件式有，而，。（2）證明：設(shè)，則，。令，則代入條件式，得，即，在R上單調(diào)遞減。（3）解：由，又由（2）知為R上的遞減，點(diǎn)集表示圓的內(nèi)部。由得點(diǎn)集表示直線。，直線與圓相離或相切。于是。【例6】已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)，都有，。（1）若為自然數(shù)，試求的表達(dá)式；（2）滿足條件的所有整數(shù)能否構(gòu)成等差數(shù)列？若能構(gòu)成等差數(shù)列，求出此數(shù)列，若不能構(gòu)成等差數(shù)列，請說明理由；（3）若為自然數(shù)，且時(shí)，恒成立，求的最大值。解：（1），。當(dāng)為自然數(shù)時(shí)，的解析式為，。（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在中，令，知，得，當(dāng)時(shí)，由，得，綜上所述