利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題

1、無(wú)建立數(shù)學(xué)模型利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、 最小值的實(shí)際問(wèn)題，主要有以下幾個(gè)方面：1、與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問(wèn)題；3、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問(wèn)題；4、效率最值問(wèn)題。一一解決優(yōu)化問(wèn)題的方法解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：首先是需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過(guò)創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問(wèn)題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得以解決，在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具二利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：二利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題

2、的基本思路：解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題的答案優(yōu)化問(wèn)題的答案三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例例例 1 1（體積最大問(wèn)題體積最大問(wèn)題）用長(zhǎng)為 18m 的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2:1，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？解：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為(m)x，則長(zhǎng)為2 (m)x，高為18 1234.53 (m) 042xhxx故長(zhǎng)方體的體積為22323( )2(4.53 )96(m ) 02V xxxxxx從而2( )181818 (1)V xxxxx令( )0V x，解得

3、0 x （舍去）或1x ，因此1x 當(dāng)01x時(shí)，( )0V x；當(dāng)312x時(shí)，( )0V x故在1x 處( )V x取得極大值，并且這個(gè)極大值就是( )V x的最大值從而最大體積233(1)9 16 13(m )VV ，此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2m，高為1.5m答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2m，寬為1m，高為1.5m時(shí)，體積最大，最大體積為33m點(diǎn)評(píng)：用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般首確定自變量，選定了自變量，要搞清自變量的范圍，再列出關(guān)系式，對(duì)關(guān)系式進(jìn)行求導(dǎo)，最后求出最值來(lái)。例例 2 2（帳篷設(shè)計(jì)問(wèn)題）（帳篷設(shè)計(jì)問(wèn)題）請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為 1m 的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為 3m 的正六棱錐。

4、試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心1o的距離為多少時(shí)，帳無(wú)篷的體積最大？解 ： 設(shè) OO1為 xm, 則 由 題 設(shè) 可 得 正 六 棱 錐 底 面 邊 長(zhǎng) 為 （ 單 位 ： m ）2223(1)82xxx于是底面正六邊形的面積為：2222233 33(1)6( 82)(82)42xxxxxm2帳篷的體積為233 313( )(82)(1) 1(16 12)232V xxxxxxm3求導(dǎo)數(shù)，得23( )(123)2V xx令( )0V x解得 x=-2(不合題意，舍去),x=2.當(dāng) 1x2時(shí)，( )0V x,V(x)為增函數(shù)； 當(dāng) 2x4 時(shí)，( )0V x,V(x)為減函數(shù)。 所以當(dāng) x=2 時(shí)

5、,V(x)最大。即當(dāng) OO1為 2m 時(shí)，帳篷的體積最大。點(diǎn)評(píng)： 本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)， 以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 求解關(guān)鍵是設(shè)法構(gòu)建函數(shù)關(guān)系， 將實(shí)際問(wèn)題如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)求解.例例 3 3（瞬時(shí)速度問(wèn)題瞬時(shí)速度問(wèn)題）若已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 S(t)=12tat，要使在 t0, +上的每一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的絕對(duì)值都不大于 1，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。解： S(t)=att12.| S(t)|1，|1|2att1，111122attatt，即. 11, 1122ttatta當(dāng) t0,+時(shí)， （112tt）min=1，a1.當(dāng) t+時(shí)，

6、112tt，且12tt連續(xù)遞增，所有值都小于 1，a0.故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 0a1。點(diǎn)評(píng)： 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程S(t)的導(dǎo)數(shù)S(t)的物理意義就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度. 利用導(dǎo)數(shù)的物理意義列出不等式,根據(jù)不等式在 t0, +上恒成立， 求出 a 的取值范圍.例例 4 4（容器的容積最大）（容器的容積最大）用長(zhǎng)為 90cm，寬為 48cm 的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊形翻轉(zhuǎn)90角，再焊接而成問(wèn)該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？解：設(shè)容器高為 xcm，容器的容積為)(xVcm3，則)(xV= x(902x)(482x) = 4x3276

7、x24320 x (0 x24)無(wú)求)(xV=12x2552x4320 = 12(x246x360) = 12(x10)(x36)令)(xV= 0，得 x1= 10，x2= 36 (舍去)，當(dāng) 0 x10 時(shí)，)(xV0，那么)(xV為增函數(shù)；當(dāng) 10 x24 時(shí)，)(xV0，那么)(xV為減函數(shù)因此，在定義域(0，24)內(nèi)，函數(shù))(xV只有當(dāng) x = 10 時(shí)取得最大值，其最大值為：)10(V= 10(9020)(4820) = 19600(cm3)所以當(dāng)容器的高為 10cm 時(shí)，容器的容積最大，最大容積為 19600cm3點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的應(yīng)用題主要存在于用料最省、造價(jià)最低、利潤(rùn)最大等最優(yōu)化問(wèn)題

8、中，由于函數(shù)的應(yīng)用性問(wèn)題是一種最廣泛， 實(shí)用性又極強(qiáng)的問(wèn)題，并且利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算工具簡(jiǎn)化了運(yùn)算量，所以函數(shù)應(yīng)用題已成為高考的一大熱點(diǎn)例例 5 5（水庫(kù)的蓄水量問(wèn)題水庫(kù)的蓄水量問(wèn)題）水庫(kù)的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫(kù)的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為124(1440)50,010,( )4(10)(341)50,1012.xttetV tttt （）該水庫(kù)的蓄求量小于 50 的時(shí)期稱為枯水期.以1iti 表示第 1 月份（1,2,12i ）,同一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？（）求一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量（取2.7e 計(jì)算）.解： （）當(dāng)

9、010t 時(shí)，124( )(1440)5050 xV ttte ，化簡(jiǎn)得214400tt,解得4t ，或10t ，又010t ，故04t .當(dāng)1012t 時(shí)，( )4(10)(341)5050V ttt，化簡(jiǎn)得(10)(341)0tt,解得41103t ，又1012t ,故1012t .綜合得04t ,或1012t ；故知枯水期為 1 月，2 月，3 月，11 月，12 月共 5 個(gè)月.()()知：V(t)的最大值只能在（4，10）內(nèi)達(dá)到.由V（t）=),8)(2(41)42341(41241ttcttctt無(wú)令V(t)=0,解得t=8(t=-2 舍去).當(dāng)t變化時(shí)，V(t) 與V(t)的變化

10、情況如下表：t(4,8)8(8,10)V(t)+0-V(t)極大值由上表，V(t)在t8 時(shí)取得最大值V(8)8e2+50-108.52(億立方米).故知一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量是 108.32 億立方米點(diǎn)評(píng)：本題以水庫(kù)蓄水為背景，考查了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識(shí)，同時(shí)還考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求最值和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生產(chǎn)生活實(shí)際問(wèn)題的能力.例例 6（磁盤(pán)的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題磁盤(pán)的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題）計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤(pán)上。磁盤(pán)是帶有磁性介質(zhì)的圓盤(pán)，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。 磁道上的定長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁

11、化與否可分別記錄數(shù)據(jù) 0 或 1，這個(gè)基本單元通常被稱為比特（bit） 。為了保障磁盤(pán)的分辨率，磁道之間的寬度必需大于m，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于n。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤(pán)格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。問(wèn)題：?jiǎn)栴}：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤(pán)，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形區(qū)域（1）是不是r越小，磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大？（2）r為多少時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？解：由題意知：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù)。設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于r與 R 之間，由于磁道之間的寬度必需大于m，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)Rrm。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大

12、存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)2 rn。所以，磁盤(pán)總存儲(chǔ)量( )f r Rrm2 rn2()r Rrmn.（1）它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大（2）為求( )f r的最大值，計(jì)算( )0fr2( )2frRrmn，令( )0fr，解得2Rr ，當(dāng)2Rr 時(shí)，( )0fr；當(dāng)2Rr 時(shí)，( )0fr因此2Rr 時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為224Rmn。例例 7（飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響問(wèn)題）飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響問(wèn)題）無(wú)（1）你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲

13、料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？【背景知識(shí)】 ： 某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料 瓶子的制造成本是20.8 r分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售 1 mL 的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm問(wèn)題： （）瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？（）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最??？解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是 332240.20.80.8,0633ryf rrrrr令 20.8 (2 )0frrr解得2r （0r 舍去）當(dāng)0,2r時(shí)， 0fr；當(dāng)2,6r時(shí)， 0fr當(dāng)半徑2r 時(shí)， 0fr它表示 f r單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑2r 時(shí)， 0fr它表示 f r單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低（1）半徑為2cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí) 20f，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還