2020屆北京市西城區(qū)高三診斷性考試(二模)數學試題(解析版)_第1頁
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文檔簡介

1、可得出結論第 1 1 頁共 2020 頁2020屆北京市西城區(qū)高三診斷性考試(二模)數學試題一、單選題1 1 .設集合A XIx3,B xx 2k,k Z,則AI B()A A.0,2B B.2,2C C.-2,0,2D D.2, 1,0,1,2【答案】C C【解析】求出集合A,利用交集的定義可得出集合AI B. .【詳解】Q A XIx 3 x 3 x 3,B x x 2k,k Z,因此,AI B 2,0,2故選:c.c.【點睛】本題考查交集的計算,涉及了絕對值不等式的求解,考查計算能力,屬于基礎題. .2 2 .若復數 z z 滿足z i 1 i,則在復平面內 Z Z 對應的點位于()A

2、A .第一象限B B.第二象限C C .第三象限D D .第四象限【答案】A A【解析】 利用復數的除法運算將復數 z z 表示為一般形式,進而可判斷出復數z z 在復平面內對應的點所在的象限. .【詳解】因此,復數 z z 在復平面內對應的點位于第一象限. .故選:A.A.【點睛】本題考查復數對應的點所在象限的判斷,涉及復數除法運算的應用,考查計算能力,屬 于基礎題. .3 3 下列函數中,值域為R且區(qū)間0,上單調遞增的是()A A.yx3B B.y x xc c.y x1D D.y、x【答案】B B【解析】 求出各選項中函數的值域,并判斷出各函數在區(qū)間0,上的單調性,由此第2 2頁共 20

3、20 頁對于 C C 選項,函數y x1的值域為X X 0,且在區(qū)間0,上單調遞減; 對于 D D 選項,函數y ,X的值域為0,,且在區(qū)間0,上單調遞增 故選:B.B.【點睛】本題考查基本初等函數值域的求解,同時也考查了函數單調性的判斷,考查推理能力, 屬于基礎題. .4 4拋物線x24y的準線方程是().Ay 1B.y 1Cx 1Dx 1【答案】B B【解析】Q拋物線x24y是焦點在y軸,開口向上的拋物線,且2p 4衛(wèi)12準線方程為y 1故答案選B5 5在VABC中,若 a:b:ca:b:c 4:5:64:5:6 ,則其最大內角的余弦值為()1133A A . -B B. 一C C.D D

4、 .84105【答案】A A【解析】 先根據大邊對大角定理判斷出VABC的最大角,再利用余弦定理求解即可【詳解】對于 A A 選項,函數yx3的值域為R且區(qū)間0,上單調遞減;對于 B B 選項,y x xx2,x 0,222,當x 0時,y x20;當x 0時,yx20. .x ,x 0【詳解】所以,函數y xx的值域為R,且在區(qū)間0,上單調遞增;第3 3頁共 2020 頁Q a:b:c 4:5:6,則C為VABC的最大內角,設a 4tt 0,則b 5t,c 6t,2 2 24t 5t 6t 12 4t 5t8故選:A.A.【點睛】由余弦定理得cosC2 2 2a b c2ab第4 4頁共 2

5、020 頁本題考查利用余弦定理求角的余弦值,涉及大邊對大角定理的應用,考查計算能力,屬于基礎題 6 6 .設a30.2,b log32,c log0.23,則()A A.acbB B. a a b b c cC C.bc aD D .b a c【答案】 B B【解析】利用指數函數、對數函數的單調性結合中間值法可得出a、b、c的大小關系【詳解】指數函數y3x為R上的增函數,貝U a 30.2301;對數函數ylog3x為0,上的增函數,則log31 log32log33,即0 b 1;對數函數ylog0.2x為0,上的減函數,貝UC1043log/0. .因此,a ab b c.c.故選:B B

6、【點睛】值法來比較,考查推理能力,屬于基礎題7 7 某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是(B B. 4 4【答案】D D【解析】作出幾何體的直觀圖,可知該幾何體為四棱錐,求出四棱錐的底面積和高,可 求得該四棱錐的體積 【詳解】 作出幾何體的直觀圖如下圖所示:本題考查指數式與對數式的大小比較,般利用指數函數、對數函數的單調性結合中間D0M第5 5頁共 2020 頁可知,該幾何體為四棱錐P ABCD,且底面ABCD為直角梯形,其面積為1 2 2S3,2四棱錐P ABCD的高為h PD 2,11因此,該幾何體的體積為VPABCD-Sh - 3 22. .33故選:D.D.【點睛】本題考查利用

7、三視圖計算幾何體的體積,一般要將幾何體的直觀圖作出來,考查空間想象能力與計算能力,屬于中等題 8 8 .若圓 x x2y y24x4x 2y2y a a 0 0 與x軸,y軸均有公共點,貝 U 實數a的取值范圍是()A A .(,1B B.(,0C C.0,)D D.5,)【答案】A A【解析】將圓的方程化為標準方程,根據題意得出關于a的不等式組,即可解得實數a的取值范圍 【詳解】將圓的方程化為標準方程得x 22y 125 a,由于該圓與x軸、y軸均有公共點,5 a 0則 盯2,解得a 1,因此,實數a的取值范圍是,1. .1故選:A.A.【點睛】本題考查利用直線與圓的位置關系求參數,同時也要

8、注意利用一般方程表示圓時的等價第6 6頁共 2020 頁條件,考查計算能力,屬于中等題r rr9 9 .若向量a與b不共線,則ar a是”O(jiān)r17的第7 7頁共 2020 頁C C .充要條件D D .既不充分也不必要條件【答案】A A【解析】 根據平面向量數量積的運算結合充分條件、必要條件的定義判斷即可【詳解】r r由于向量a與b不共線,當r r ra b a,本題考查充分不必要條件的判斷,涉及平面向量數量積的應用,考查推理能力,屬于中 等題 x 1 ex,若關于x的不等式 f f X X axax 1 1 有且僅有一個整數解,則正數a的取值范圍是()2A A.0,eB B.0,e【答案】D

9、 D【解析】利用導數分析函數yx的單調性與極值,作出函數yy ax 1的圖象,根據圖象和整數解的個數得出關于實數a的不等式組,即可求得實數a的取值范圍. .【詳解】Q f x x 1 ex,f x xex,令f x 0,得x 0,列表如下:x,00 00,f x0 0A A .充分而不必要條件B B 必要而不充分條件r2a同理可得r r右 a ab b,rbr a”o rb Jar r2r2r rr2r2rr rJa ba 2a b b aa,則a ba,同理r br br aHI二理同所以,2 ar a2是o rb aa b”的充分不必要條件1010 設函數f x2r b睛占第8 8頁共 2

10、020 頁f x極小值Z所以,函數y f x的單調遞減區(qū)間為,0,單調遞增區(qū)間為0,則函數y f x在x 0處取得極小值,且極小值為f 01,如下圖所示:1當 a a 0 0 時,由于直線y ax 1與x軸的負半軸交于點,0,a1當x -時,關于x的不等式 f f x x axax 1 1 有無數個整數解,不合乎題意a綜上所述,實數a的取值范圍是故選:D.D.【點睛】本題考查利用函數不等式整數解的個數問題求參數,考查數形結合思想的應用,屬于中等題 、填空題當a 0時,若關于x的不等式fx x axax1有且僅有一個整數解,則f 1 a 1f 2 2a1解得1 a1 e22第9 9頁共 2020

11、 頁1111.設平面向量a 1, 2,b k,2滿足 a a b b,則b_.【答案】2 5【解析】利用垂直向量的坐標表示求出實數k的值,利用向量模的坐標公式可求得b的故答案為:2、5. .【點睛】本題考查利用向量垂直求參數,同時也考查了利用坐標計算向量的模,考查計算能力, 屬于基礎題. .2 21212 若雙曲線 篤紅1 a 0經過點2,0,則該雙曲線漸近線的方程為 _ .a 16【答案】y 2x【解析】將點2,0的坐標代入雙曲線的方程,求出實數a的值,進而可得出該雙曲線的漸近線方程 【詳解】一4將點2,0的坐標代入雙曲線的方程得1,Q a 0,可得a 2,a2 2所以,雙曲線的方程為 I

12、1,因此,該雙曲線的漸近線方程為y 2x. .416故答案為:y 2x. .【點睛】本題考查利用雙曲線的標準方程求漸近線方程,考查計算能力,屬于基礎題. .1313 甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽,有兩人獲獎 在比賽結果揭曉之前,四人的猜測如下表,其中v表示猜測某人獲獎,x表示猜測某人未獲獎,而C則表示對某人是否獲獎未發(fā)表意見 已知四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的,那么兩名獲 獎者是. .甲獲獎乙獲獎丙獲獎丁獲獎2rbrk k 4 40 0,得k 4,則b 4,2-52匕止因第1010頁共 2020 頁甲的猜測VXXV乙的猜測XOOV丙的猜測XVXV丁的猜測OOVX【答案】乙、丁【解析

13、】本題首先可根據題意中的 四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目分為四種情況,然后對四種情況依次進行分析,觀察四人所猜測的結果是否沖突,最后即 可得出結果 【詳解】從表中可知,若甲猜測正確,則乙,丙,丁猜測錯誤,與題意不符,故甲猜測錯誤;若 乙猜測正確,則依題意丙猜測無法確定正誤,丁猜測錯誤;若丙猜測正確,則丁猜測錯 誤;綜上只有乙,丙猜測不矛盾,依題意乙,丙猜測是正確的,從而得出乙,丁獲獎 所以本題答案為乙、丁 . .【點睛】本題是一個簡單的合情推理題, 能否根據四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的 ”將 題目所給條件分為四種情況并通過推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關鍵,考查推

14、理能力,是簡單題 1414 .在四棱錐P ABCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD ,PA AB 4,E、F、H分別是棱PB、BC、PD的中點,對于平面EFH截四棱錐P ABCD所 得的截面多邊形,有以下三個結論:1截面的面積等于4、.6;2截面是一個五邊形;3截面只與四棱錐P ABCD四條側棱中的三條相交.其中,所有正確結論的序號是 _.【答案】【解析】取CD的中點G,PA的四等分點I,順次連接E、F、G、H、I,則平 面EFGHI即為過E、F、H的平面截四棱錐P ABCD所得截面, 計算出截面面積,根據截面形狀可判斷命題 的正誤 第1111頁共 2020 頁【詳解】 取CD的中點

15、G,PA的四等分點I,順次連接E、F、G、H、I,則平面EFGHI即為過E、F、H的平面截四棱錐P ABCD所得截面,如下圖所示:在四棱錐P ABCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,PA AB 4,1 1 QE、F分別為PB、BC的中點,EF/PC且EF PC 2.3,2Q EF平面EFH,PC平面EFH,PC/平面EFH,Q PC平面PCD,平面PCD I平面EFH GH,GH /PC,AQ H為PD的中點, G G 為CD的中點,GH - PC23,同理可得EH/BD/FG,且EH FG - BD 2.2,2Q PA平面ABCD,BD平面ABCD,BD PA,所以,截面面積為4

16、 6.65.6,命題錯誤;該截面是一個五邊形,命題 正確;由圖可知,截面與四棱錐P ABCD側棱PA、PB、PD相交,命題 正確 故答案為: 【點睛】本題考查的知識點是棱錐的幾何特征,與棱錐相關的面積和體積計算,確定截面的形狀是解答的關鍵,考查推理能力與計算能力,屬于中等題QPAIACA,BD平面PAC,Q PC平面PAC,BD PC,則EFEH,所以,四邊形EFGH為矩形,其面積為EF EH2 3 2 2 4 6,設FG I ACM,BD IACN,則M為CN的中點,N為AC的中點,1Q四邊形ABCD為正方形,則BD AC,VIEH的邊EH上的高為IM MJ 33 2 33,IJVIEH的面

17、積為SVIEH-EH IJ - 2、236. .2 2第1212頁共 2020 頁三、 雙空題. 21515 .設函數f x sin2x 2cos x,則函數f x的最小正周期為 _ ;若對于任意x R,都有f X m成立,則實數m的最小值為 _.【答案】2 1【解析】利用三角恒等變換思想化簡函數y f x的解析式,利用正弦型函數的周期公式可求得該函數的周期,求出函數y f x的最大值,可求得實數m的最小值. .【詳解】f x sin 2x 2cos2x sin 2x cos2x 14所以,函數y f x的周期為T ,2函數y f x的最大值為f x. 21,由于對于任意x R,都有f x m

18、成立,則m f x42 1. .max因此,實數m的最小值為21. .故答案為:;、.、2 1. .【點睛】本題考查正弦型函數周期的計算,同時也考查了利用不等式恒成立求參數,解答的關鍵就是利用三角恒等變換思想化簡函數y f x的解析式,考查計算能力,屬于中等題四、 解答題1616 .如圖,在幾何體ABCDEF中,底面ABCD是邊長為2的正方形,DE平面ABCD,DE/BF,且DE 2BF 2.第1313頁共 2020 頁(I)求證:平面BCF /平面ADE;(H)求鈍二面角D AE F的余弦值.1【答案】(I )詳見解析;(n)丄.3【解析】(I )推導出BF/平面ADE,BC/平面ADE,利

19、用面面平行的判定定理可證明出平面BCF/平面ADE;【詳解】同理,得BC/平面ADE.ADE;則D 0,0,0、E 0,0,2、ujivuuv所以AE 2,0,2,AFF 2,2,1、A 2,0,0,DE兩兩垂直,(n)分別以DA、DC、DE為x軸、y軸、z z 軸建立空間直角坐標系,利用空間向量法可計算出鈍二面角D AE F的余弦值.(I )因為DE/BF,DE平面ADE,BF平面ADE,所以BF/平面ADE.又因為BCI BF B,BC平面BCF,BF平面BCF,所以平面BCF/平面第1414頁共 2020 頁0,2,1,第1515頁共 2020 頁平面ADE的一個法向量rm0,1,0/

20、v vm n11cos(m, nrmn1 33,因此, 鈍1面角DAE F的余弦值為13【點睛】算能力,屬于中等題這三個條件中任選一個,補充到下面的問題中,并完成解答. 在數列耳中,a11,,其中n N*.(I)求an的通項公式;(n)若a1,an,am成等比數列,其中m,n N,且m n 1,求m的最小值. 【答案】 選擇:(I)an2n1 (n N*);( n ) 5 5.選擇:(I ) a an3n3n 2 2(n n N N ) ; ( n ) 6 6. 選擇:(I)an2n 1(n N*); ( n ) 5 5.【解析】(I)選擇,由a1S)求得P的值,再由an的通項公式;選擇,可知

21、數列an是等差數列,求出公差d的值,進而可求得數列an的通項公 式;(n )由a2a1am可得出m關于n的表達式,進而可求得m的最小值.【詳解】選擇:(I)當n 1時,由a S 1 P 1,得P 0. .2當n 2時,由題意,得snn 1,所以anSnSi12n 1 n 2.經檢驗,ai1符合上式,所以an2n 1 n N;設平面AEF的法向量vx,y,z,由uuvvAE nuuvvAF n0,得2x 2z 00 2y z 0令y1,則z 2,x 2,得v2,1, 2本題考查面面同時也考查了利用空間向量法求解二面角的余弦值,考查計21717 從前n項和 S Snn np p (p(p R)R)

22、,ana. i3,a611且2an iana. 2,SnSh1n 2可求得數列an選擇,可知數列an是以3為公差的等差數列,進而可求得數列an的通項公式;第1616頁共 2020 頁2(n)由ai、an、am成等比數列,得a:,即2n 11 2m 1.“ /2121化簡,得m 2n 2n 12 n -一,2 2因為m、n是大于1的正整數,且m n,所以當n 2時,m有最小值5.選擇:(I )因為anan 13,所以an 1an3.所以數列an是公差d 3的等差數列. .所以ana一n 1 d 13 n 1 3n 2 n N;2(n)由a1、an、am成等比數列,得a;a,即3n 21 3m 2

23、.2化簡,得m 3n24n 23 n22,33因為m、n是大于1的正整數,且m n,所以當n 2時,m取到最小值6;選擇:(1)由2an1anan2,得an 1anan 2an 1,所以數列an是等差數列,設等差數列an的公差為d,又因為印1,a印5d 11,所以d 2. .所以務a一n 1 d 2n 1 n N;22(n )因為a1、an、am成等比數列,所以a.a,即2n 11 2m 1.“ / 2121化簡,得m 2n 2n 12 n -,2 2因為m、n是大于1的正整數,且m n,所以當n 2時,m有最小值5.【點睛】本題考查等差數列通項公式的求解,同時也考查了等差數列基本量的計算,考

24、查計算能力,屬于中等題 1818 .某花卉企業(yè)引進了數百種不同品種的康乃馨,通過試驗田培育,得到了這些康乃馨種子在當地環(huán)境下的發(fā)芽率,并按發(fā)芽率分為8組:0.486,0.536、0.536,0.586、L、0.836,0.886加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖企業(yè)對康乃馨的種子進行分級,將發(fā)芽率不低于0.7360.736 的種子定為“A級”,發(fā)芽率低于 0.7360.736 但不低于0.6360.636 的種子定為B B 級”,發(fā)芽率低于 0.6360.636 的種子定為“C級”第1717頁共 2020 頁(n)該花卉企業(yè)銷售花種,且每份“A級”、B級”、C級”康乃馨種子的售價分別 為2

25、0元、15元、10元某人在市場上隨機購買了該企業(yè)銷售的康乃馨種子兩份,共花費X元,以頻率為概率,求X的分布列和數學期望;(川)企業(yè)改進了花卉培育技術,使得每種康乃馨種子的發(fā)芽率提高到原來的1.1倍,那么對于這些康乃馨的種子,與舊的發(fā)芽率數據的方差相比,技術改進后發(fā)芽率數據的方差是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,是變大了還是變小了?(結論不需要證明)【答案】(I )0.8; ( n )分布列詳見解析,數學期望為3131; (m )方差變大了.直方圖以及對立事件的概率公式可求得所求事件的概率;(n)由題意可知,隨機變量X的可能取值有20、25、30、3535、40,計算出隨機變量X在不同取值下的概率,由此

26、可列出隨機變量X的分布列,進而可求得隨機變量X的數學期望;(m )根據離散型隨機變量方差的性質可得出結論【詳解】(I )設事件M為:從這些康乃馨種子中隨機抽取一種,且該種子不是C級”種子”由圖表,得0.4 1.2 a 4.0 6.0 4.4 1.2 0.40.05 1,解得a 2.4,由圖表,知C級”種子的頻率為0.4 1.2 2.40.05 0.2,故可估計從這些康乃馨種子中隨機抽取一種,該種子是C級”的概率為0.2因為事件M與事件 從這些康乃馨種子中隨機抽取一種,且該種子是C級”種子”為對立事件,C級”種子的概率;【解析】(I)利用頻率分布直方圖中矩形面積之和為1,求出a的值,再結合頻率分

27、布第1818頁共 2020 頁所以事件M的概率P M 1 0.2 0.8;(n )由題意,任取一顆種子,恰好是“A級”康乃馨的概率為第1919頁共 2020 頁4.4 1.2 0.40.05 0.3,恰好是B級”康乃馨的概率為4.0 6.0 0.05 0.5,恰好是C級”的概率為0.4 1.2 2.40.05 0.2.隨機變量X的可能取值有20、25、30、3535、40,且P X 200.220.04,P X 252 0.5 0.2 0.2,P X300.522 0.3 0.2 0.37,P X 350.3 0.5 2 0.3,P X400.320.09. .所以X的分布列為:X202530

28、353540P0.040.20.370.30.09故X的數學期望E X 20 0.04 25 0.2 30 0.37 35 0.3 40 0.09 31.(川)與舊的發(fā)芽率數據的方差相比,技術改進后發(fā)芽率數據的方差變大了.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用,同時也考查了離散型隨機變量分布列及數學期望的計算,考查計算能力,屬于中等題 . .1b 0的離心率為一,右焦點為F,點A a,0,2且AF 1.(I)求橢圓C的方程;(n)過點F的直線I(不與x軸重合)交橢圓C于點M、N,直線MA、NA分別與直線x 4交于點P、Q,求PFQ的大小.2 2【答案】(I ) 1; ( n)PFQ 90o.43

29、【解析】(I)由已知條件求得a、c的值,進而可得出b的值,由此可得出橢圓C的方程;1,設點M人,、N X2,y2,將直線l的方程與2 2x y1919 .已知橢圓C21 aa b(n)設直線|的方程為x ty90,i第 i i2020頁共 2020 頁橢圓C的方程聯立,列出韋達定理,并求出點P、Q的坐標,計算出FP、背的坐標,uuu uuur并計算出FP FQ,由此可得出PFQ的大小. .【詳解】c(i)由題意得a|AF,解得a 2,c i,從而b,a2acyxi,yi、N X2,y2,2所以橢圓C的方程為x聯立x2ty i2y3,消去x得3t24 y2i6ty 90,則144 t2i 0恒成

30、立,由韋達定理得yiy26t3t242一;,yiy2設點P 4,muuur,AMxi2,yityi923t24uuui,yi,AP 2,m,,uuuu,uuuu UUIUUUIU 由AMAM / APAP得2yityi可得m2yii,即點P4, ,彩彩同理可得點Q4uuuFPtyiiuuurFQ3,嚴嚴,ULUFPuuuFQ9沁tyii ty24yM2t %y2t yiy219t23t24363t246t23t24因此,PFQ90o. .90,i第 i i2121頁共 2020 頁第2222頁共 2020 頁【點睛】本題考查橢圓方程的求解,同時也考查了橢圓中角的計算,涉及平面向量數量積以及韋達

31、定理設而不求法的應用,考查計算能力,屬于中等題X2020 .設函數f x ae cosx,其中a R.(I)已知函數f x為偶函數,求a的值;當x 0時,(n)若 a a1 1,證明:當x0時,f x 2;(川)若fx在區(qū)間0,內有兩個不同的零點,求a的取值范【答案】(I )0 0 ; ( n)詳見解析;(川)34【解析】(I )利用偶函數的定義f xx,化簡后可得實數a的值;(n )利用導數分析函數y f x在0,上的單調性,進而可證得f x(川)令f x 0得acosx,令h xecos x-,利用導數分析函數ye區(qū)間0,上的單調性與極值,利用數形結合思想可求得實數a的取值范圍 【詳(I

32、)函數x為偶函數,所以f xxx,即ae cos xxae整理得a e0對任意的x R恒成立,(n )當 a a 1 1 時,excosx,sinx,Q x 0,則1 si nx 1,sinx所以,函數fcosx在0,上單調遞增,第2323頁共 2020 頁(川)由f xxaecosx 0,得acosxx,e設函數h xcos xxe0,sin x cosx2 sin x,令hx 0,得隨著x變化,h h x x 與h x的變化情況如下表所第2424頁共 2020 頁x0,343434,h h x x0 0h xZ極大值3所以,函數y h x在0,上單調遞增,在4求解函數的零點個數問題,考查推理能力與數形結合思想的應用,屬于中等題兩個條件:1對任意 x x 0,1000,100,存在k使得 X X I Ik;2對任意 k k 1,2,L,N1,2,L,N,存在 X X 0,1000,100,使得 x x I Ii(其中i 1,2,L ,k 1,k 1,L ,N).k k34上單調遞減.又因為h 01,h3e,h e4厶即,且he:2h 0,如下圖所內有兩個不同解,因此,所求實【點睛】利用導數證明函數不等式,同時也考查了利用導數2121 .設N為正整數,區(qū)間I Ika,aa,ak11(其中 a akR R ,k 1,2,L , N

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