2019-2020學(xué)年選修2-32.6正態(tài)分布學(xué)案

1、1了解正態(tài)密度函數(shù)的概念.2理解正態(tài)密度函數(shù)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義.3掌握運(yùn)用正態(tài)分布解決實(shí)際問(wèn)題的方法.煉1.正態(tài)密度曲線(xiàn)1(x 11 )2函數(shù) P(x)=-e, x R，其中實(shí)數(shù) 和b為參數(shù)，P(x)的圖象為正態(tài)寸 2 冗廳密度曲線(xiàn)(如圖所示).2. 正態(tài)分布正態(tài)分布完全由參數(shù) 和b確定，因此正態(tài)分布記作 N(y,b2).如果隨機(jī)變量 X 服從 正態(tài)分布，記為 XN(仏b2).3. 正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)(1)當(dāng)x卩時(shí)，曲線(xiàn)下降；當(dāng)曲線(xiàn)向左右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x軸為漸近線(xiàn)；(2) 正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn) x= 對(duì)稱(chēng)；(3)b越大，正態(tài)曲線(xiàn)越扁平；b越小，正態(tài)曲線(xiàn)越尖陡；(4) 在正態(tài)曲線(xiàn)下方和 x 軸

2、上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1.4.正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值落在區(qū)間(b,口+b上的概率約為 68.3%,落在區(qū)間(2b口+ 2b上的概率約為 95.4% ,落在區(qū)間(3b口+ 3b上的概率約為 99.7%.、自我嘗試1 判斷(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)函數(shù) p(x)中參數(shù) 仏6的意義分別是樣本的均值與方差.(2)正態(tài)曲線(xiàn)是單峰的，其與x 軸圍成的面積是隨參數(shù)(3)正態(tài)曲線(xiàn)可以關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng).(答案：(1)X(2)X(3)V答案：D1C.3答案：D為_(kāi)，標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)答案：0：2n探究案”費(fèi)餡過(guò)探究點(diǎn) 正態(tài)分布密度函數(shù)與正態(tài)曲線(xiàn)若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大

3、值為(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式;求正態(tài)總體在(4, 4上的概率.【解】(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng),即尸 0.,11e由=，得尸 4.2n.j2n4故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是(2)P(4XW4)=P(04XW0+4)=Pg(X C)，則3.已知隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布N(3,62),則 P(Xv3)=(1B.41D.24.已知正態(tài)分布密度函數(shù)為P(x)=1x2e，x2n4n(-m,)，則該正態(tài)分布的均值x( m ,要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個(gè)參數(shù)值，其中決定曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的位置，(則與曲線(xiàn)的

4、形狀和最大值有關(guān).求證：P(x)是偶函數(shù);求 P(x)的最大值;(3)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明P(x)的增減性.1解：證明：對(duì)任意 x R，有 P( x)=-e2n為偶函數(shù).x2(2) 令 t = ，當(dāng) x= 0 時(shí)，t= 0, et= 1.因?yàn)?J 是關(guān)于 t 的增函數(shù)，當(dāng) x豐0 時(shí)，t0, et1.2x所以當(dāng) x= 0,即卩 t = 0 時(shí)，e2= et取最小值.1x21所以當(dāng) x= 0 時(shí)，P(x)= 尸 e取得最大值 .2n2p2n(3) 任取 X10, x20，且 X1x2，x2x2,22xiX2所以 e 2e .所以 P(X1)P(X2)，即當(dāng) x0 時(shí)，P(x)遞減.探究點(diǎn) 2

5、正態(tài)分布的計(jì)算CE 設(shè) XN(6 , 1)，求 P(4X5).【解】 由已知尸 6,(y= 1,因?yàn)?P(5X7) = Pg(X 葉 o)= 0.683,P(4X8) = Pg 2(X 葉 2百=0.954,P(4X5) + P(7X8) = P(4X8) P(5X7) = 0.271.1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是P(x) =2X2(x R)-1(x)22專(zhuān)=P(x),所以 P(x)值，其中決定曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的位置，(則與曲線(xiàn)的形狀和最大值有關(guān).如圖，由正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知P(4X5) = P(7X8),1所以 P(4X5) = 2【P(4X8) P(5X7)1=2 0.271 = 0.13

6、5 5.(1)充分利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和曲線(xiàn)與 x 軸之間的面積為 1 ；正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn) x=卩對(duì)稱(chēng)，從而在關(guān)于 x=卩對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相等.2已知 曠 N(0,(r2)，且 P(爐2)= 0.2，貝UP(0 二 2)=_解析：因?yàn)橹?N(0,o2),所以 P(E2) = 0.2,1P( E2)212X0.2取 設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)EN(110, 202)，且知滿(mǎn)分 150 分，這個(gè)班的學(xué)生共 54 人，求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于 90 分)的人數(shù)和 130 分以上的人數(shù).【解】 因?yàn)镹(110, 202),所以尸 110,o= 20.所以 P(110 20W110+

7、 20) = 0.683.1所以 爐 130 的概率為 2(1 0.683)= 0.158 5.所以 驢 90 的概率為 0.683 + 0.158 5= 0.841 5.所以及格人數(shù)為 54X0.841 545(人)，130 分以上的人數(shù)為 54X0.158 5 9(人).答案：0.3冷；弄點(diǎn)正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用2=0.3.正態(tài)分布是最常見(jiàn)、應(yīng)用最廣泛的一種分布，人的身高、體重，學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，產(chǎn)品的尺寸等一般都服從正態(tài)分布，在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合三個(gè)特殊概 率的值求概率.魚(yú)丑麺田 3若一批白熾燈共有 10 000 只，其光通量E服從正態(tài)分布，其概率密度1( x 209)2

8、函數(shù)是 P(x) = e-, x R .試求光通量在下列范圍內(nèi)的燈泡的個(gè)數(shù).6p2n72(1) 209 6209+ 6;(2) 209 18 209 + 18.解：由于E的概率密度函數(shù)為1(x209)2P(x)=eT2-62n所以尸 209,o= 6.所以 卩一0=2096,口+ 0=209+6.口3o=2096X3=20918,葉 3o=209+6X3=209+18.因此光通量E的取值在區(qū)間(209 6, 209+ 6, (209 18, 209 + 18內(nèi)的概率應(yīng)分別是 0.683和 0.997.(1) 光通量E在 209 6209 + 6 范圍內(nèi)的燈泡個(gè)數(shù)大約是 10 000X0.683

9、= 6 830.(2) 光通量E在 209 18209 + 18 范圍內(nèi)的燈泡個(gè)數(shù)大約是 10 000X0.997= 9 970.素養(yǎng)提升正態(tài)分布的再認(rèn)識(shí)(1) 參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；0是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).尸 0,0= 1 的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.(2) 正態(tài)分布定義中的式子實(shí)際是指隨機(jī)變量X 的取值區(qū)間在(a, b上的概率等于總體密度函數(shù)在a, b上的定積分值.從正態(tài)曲線(xiàn)可以看出，對(duì)于固定的卩而言，隨機(jī)變量在(廠(chǎng)o口+0上取值的概率隨著o的減小而增大.這說(shuō)明o越小，X 取值落在區(qū)間(廠(chǎng)o口+0的概率越大

10、，即 X 集中在周?chē)母怕试酱?對(duì)于固定的和o隨機(jī)變量 X 取值區(qū)間越大，所對(duì)應(yīng)的概率就越大，即 3o原則.(3)正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法:熟記 P (卩一 cXw 3+() , P (3 2(XW 3+2a, P (3 3 cXWa+ 3 的值.P(Xa),P(X 3+a),若 b3,貝UP(Xb)=1P( 3-bXaC.313,a1vaD.3132,a1 a答案：A1易誤防范匚隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N(0, 1)，如果 P(Xv1)= 0.841 3，求 P(- 1vXV0).【解】如圖所示，因?yàn)?P(XV1) = 0.841 3 ,所以P(X 1) = 1所以 P( 1V

11、XV0) = 0.5 0.158 7= 0.341 3.(1)錯(cuò)因：XN(0, 1),則正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，應(yīng)結(jié)合圖象找出各區(qū)間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系.(2)正態(tài)密度曲線(xiàn)的性質(zhì)可以用來(lái)求參數(shù)和a具體方法如下:正態(tài)曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x=卩對(duì)稱(chēng)由此性質(zhì)結(jié)合圖象可求卩正態(tài)曲線(xiàn)在x=口處達(dá)到峰值由此性質(zhì)，結(jié)合圖象可求(X1.設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(3,a2)(a 0)和 N(3,a2)(a 0)的密度函數(shù)圖象如圖所示,2設(shè)隨機(jī)變量1XN(20, 32),若 P(X a)= ?,貝 V a=2A. 10B. 9解析：由正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于 x=u對(duì)稱(chēng)可知 a= 20.答案：203._ 已知隨機(jī)變量 x 服從正態(tài)分布(

12、3, 1),且 P(24)=_1 1 解析：P(x4)=尹P(2wx1) = 0.5,則實(shí)數(shù) a 的值為()A. 1B. . 3C. 2D. 4解析：選 A.因?yàn)殡S機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N(a, 4),所以 P(Xa) = 0.5.由 P(X1) = 0.5,可知 a= 1.4 .某班有50 名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X 服從正態(tài)分布 N(105 , 102)，已知2. 設(shè)有(x 10)28正態(tài)總體，它的概率密度曲線(xiàn)是函數(shù)則這個(gè)正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是A . 10 與 8C. 8 與 10解析：選 B.由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知，總體的均值(單位：毫米)服從正態(tài)分布)3. 已知某批零件的

13、長(zhǎng)度誤差其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3, 6)內(nèi)的概率為(附：若隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布 N(u,V卩+ 2 & 95.4%.)A. 4.56%C. 27.18%解析：選 B.由正態(tài)分布的概率公式知1f(x)的圖象，且 f(x)=枷，。(x)=-e /8 n( )B. 10 與 2D . 2 與 10卩=10,方差(? = 4，即 卩=2.N(0, 32)，從中隨機(jī)取一件，/),貝VP(卩V V葉 & 68.3% , P(卩2 VEB. 13.55%D. 31.74%P( 3V V3)& 0.683, P( 6V V6)& 0.954,故P(3V EV6)=P(6VV6)

14、P(3V V3)20.954 =0.135 5 = 13.55%，故選 B.C. 8D. 7P(95wxw105) = 0.32，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?15 分以上的人數(shù)為()解析：選 B.因?yàn)榭荚嚨某煽?jī) X 服從正態(tài)分布 N(105, 102)，所以正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于x= 1051對(duì)稱(chēng).因?yàn)?P(95WXW105) = 0.32,所以 P(X 115) = qX(1 - 0.32X2) = 0.18.所以該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?115 分以上的人數(shù)為 0.18X50= 9.15設(shè)隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布 Ng,d2)，且二次方程 x2+ 4x+ = 0 無(wú)實(shí)根的概率為-,貝 y =_.解析：因?yàn)榉匠?

15、X2+ 4x+E=0 無(wú)實(shí)根，所以= 16-4 氏 0,所以&4,1即 P(&4) = 2 = 1 P(葺 4).皿 1故 P(葺 4) = 2.所以尸 4.答案：46.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果E服從正態(tài)分布 N(1 ,d2)( Q0).若E在(0, 1)內(nèi)取值的概率為 0.4,則E在(2,+ )上取值的概率為 _ .1 1解析：由正態(tài)分布的特征易得P( &2) = 2X1 2P(0氏 1) = 2X(1 0.8) = 0.1.答案：0.17.為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1 000 名年齡在 17.5 歲至19 歲的高三男生的體重情況，抽查結(jié)果表明他

16、們的體重X(kg)服從正態(tài)分布 N(卩，22)，且正態(tài)分布密度曲線(xiàn)如圖所示，若體重大于58.5 kg 小于等于 62.5 kg 屬于正常情況，則這 1 000名男生中屬于正常情況的人數(shù)約為 _ .解析：依題意可知，口= 60.5, 尸 2,故 P(58.5vXW62.5) = PgoX 計(jì)d= 0.683 , 從而屬于正常情況的人數(shù)為1 000X0.683= 683.C. 8D. 7答案：683& 一批燈泡的使用時(shí)間X(單位：小時(shí))服從正態(tài)分布 N(10 000, 4002)，求這批燈泡中“使用時(shí)間超過(guò) 10 800 小時(shí)”的概率.所以成績(jī)?cè)?70 , 90內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的95.

17、4%.解：依題意尸 104,(r= 400,所以 P(104 800XW104+ 800)=P( j 2 oXW葉 2 c)=0.954.由正態(tài)分布性質(zhì)知P(X104+ 800),故 2P(X10 800) + P(104 800X10 800)=1 =0.023.解：由圖易知，該正態(tài)密度曲線(xiàn)關(guān)于尸 72.(X 72)2、1200 廠(chǎng) /P(x)=. e,x( ,10 寸 2n總體隨機(jī)變量的期望是尸 72,方差是 /= 100.B 能力提升1.某一部件由三個(gè)電子元件按如圖所示方式連接而成，元件 元件 3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命1 或元件 2 正常工作，且(單位：小時(shí))

18、均服從正態(tài)分布 N(1 000, 502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò)1 000 小時(shí)的概率為_(kāi).x = 72 對(duì)稱(chēng)，最大值為所以正態(tài)密度函數(shù)的解析式是解析：由三個(gè)電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1 000, 502)得：三個(gè)電子元件的1使用壽命超過(guò) 1 000 小時(shí)的概率為 p= 2，超過(guò) 1 000 小時(shí)時(shí)元件 1 或元件 2 正常工作的概率33p1= 1 (1 p)2= 4,那么該部件的使用壽命超過(guò) 1 000 小時(shí)的概率為 p2= p1xp= 8.3答案：312工廠(chǎng)制造的某機(jī)械零件尺寸X 服從正態(tài)分布 N 4,-，則在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000 個(gè)

19、零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3 , 5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有 _ 個(gè).1 1解析：因?yàn)?XN 4, 9，所以尸 4,尸所以不屬于區(qū)間(3, 5)的概率為P(XW3)+P(X5)=1P(3vXv5)=1P(41VXV4+1)=1 P (卩3(VXV3 c)=1 0.997= 0.003.1 000X0.003 = 3(個(gè)).即不屬于(3, 5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有 3 個(gè).答案：33在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布N(80, 52)，現(xiàn)已知該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?8085 分(包括 85 分，但不包括 80 分)的有 17 人，試計(jì)算該班成績(jī)?cè)?0 分以上的同學(xué)有多少人？解：因?yàn)槌煽?jī)服從正態(tài)分布N(80, 52),所以 尸 80,c= 5,口一 =