2020屆湖南省長沙市一中高三上學期第二次月考數(shù)學(理)試題(解析版)

1、C.充要條件D .既不充分也不必要條件第 1 頁共 20 頁2020 屆湖南省長沙市一中高三上學期第二次月考數(shù)學（理）試題一、單選題1 設(shè)集合A ,y|y =log2X,0：x乞8?，集合B=x|2x.1，則A B等于（）A.0,3B.0,3丨C. -：,3 1D.R【答案】B【解析】 分別求出集合A，集合B，由此能求出AR B【詳解】因為A =| y =log2x,0：x込8y |y込3,B-x|2X0,所以AI B = 0,3.【點睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.f兀）2.若，0，則復數(shù)z=cos“isinr（i為虛數(shù)單位）對應的點在

2、（）I 2丿A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】由已知角的范圍可得COST0,sinv：0,則答案可求.【詳解】Q,0Q2cos：0,sin v : 0-復數(shù)z =cos is in v對應的點在第四象限【點睛】本題考查三角函數(shù)的象限符號，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.3.已知偶函數(shù) f（x）在0：）上單調(diào)遞增，則對實數(shù)a、b,“a|b|”是“f（a） f（b） ”第2頁共 20 頁的（）A .充分不必要條件B.必要不充分條件第3頁共 20 頁【答案】A 【解析】 本道題結(jié)合偶函數(shù)滿足f X二二f -X以及單調(diào)遞增關(guān)系，前后推導，即可 【詳解】結(jié)合偶

3、函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)=f(_x), ,而當a,_a f (1 ),但是-3f(b)無法得到a”b,故a b是f a f b的充分不必要條件，故選 A.【點睛】本道題考查了充分不必要條件的判定，關(guān)鍵結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)關(guān)系，判定，即可, ,屬于較容易的題. .4 .若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則 c 等于( () )13A. - a+ b2231C. a- b2 2【答案】Bx y = -1居設(shè)C= =xa+yb,于是有x-y=2,解得13即 c= a- b.【解第4頁共 20 頁225.函數(shù)f xi=ex-2x-1的圖象大致為(13B. a- b2231D

4、.- a+ b2 2【答案】C第5頁共 20 頁【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，排除選項B，通過函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可排除選項A, D，從而可得結(jié)果【詳解】函數(shù)f x =ex-2 x -1是偶函數(shù)，排除選項B；當x 0時，函數(shù)f x二ex-2x -1，可得f x = ex- 2，當XEO,In2時，f x：0,函數(shù)是減涵數(shù)，當x l n2時，函數(shù)是增函數(shù)，排除項選項A,D，故選 C.【點睛】函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.從函數(shù)的特征點，排除不合

5、要求的圖象6 執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出x的值是()【答案】D【解析】易知當y =1024時，循環(huán)結(jié)束；再尋找x的規(guī)律求解【詳解】 計算過程如下:A.1B.21C.-2D. -1第6頁共 20 頁x21122-1-1y012341024y c1024是是是是是是否當x =1024時，循環(huán)結(jié)束，所以輸出x - -1.故選 D.【點睛】本題考查程序框圖，選擇表格計算更加簡潔當循環(huán)次數(shù)較多時，要注意尋找規(guī)律7已知a b 0,x=a beb,y = b aea,z = b aeb，則（）AX Z yB.Z X yC.z：y xD.y z x【答案】A【解析】利用作差法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得結(jié)果

6、【詳解】bab-X =a be,y =b ae,z =b ae, y _ z = a ea_eb又a b 0, e1, eaebyzzx二ba亠a -b eb二a -beb1,又a b 0, eb1- zx綜上：x：z”：y故選：A【點睛】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查作差法，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ) 知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.第7頁共 20 頁【答案】A【解析】把函數(shù)f x;=cos 2x -二：0向右平移一個單位后得到g x，根47兀據(jù)g x在x取得最大值可求得12【詳解】【解析】 設(shè)F、F分別是橢圓的左右焦點，作出以PF為直徑的圓和以長軸為直徑的圓x2ya2,設(shè)PF

7、的中點為M,連結(jié)PF,利用三角形中位線定理與橢圓的定義,1 1證出|OM IRPF |=a-?|PF |，得到兩圓的圓心距等于它們半徑之差，從而得到兩圓 的位置關(guān)系是相內(nèi)切.【詳解】2 28 .已知函數(shù)f x = cos 2x七-扌”0向右平移寸個單位后得到g x，當7 -x時，函數(shù)g x取得最大值，則g的值為(6A.BW11C. 一一D.-22，即可求g的值。62x由2時，函數(shù)g x取得最大值,2冗且-二：0，得即=3，(nsi nl.3【點本題主要考查正、余弦函數(shù)的圖象的特征，誘導公式，函數(shù) 換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.9 已知P是橢圓上一點，F(xiàn)是橢圓的一個集點，則以線段 軸為直徑的圓的位置關(guān)系是

8、()A.相離B.內(nèi)切C.內(nèi)含【答案】By = AsinX 的圖象變PF為直徑的圓和以橢圓長D.相交第8頁共 20 頁設(shè)橢圓的方程為 篤占=1(a b 0),F、F分別是橢圓的左右焦點,a b作出以線段PF為直徑的圓和以長軸為直徑的圓x2* y2二a2，如圖所示.設(shè)PF中點為M，連結(jié)PF ,1 1.OM是.；PFF的中位線，可得|OM | PF，即兩圓的圓心距為 -| PF|根據(jù)橢圓定義，可得| PF | | PF 2a ,111.圓心距 |OM| |PF | (2a_|PF|)=a| PF |，222即兩圓的圓心距等于它們半徑之差，因此，以PF為直徑的圓與以長半軸為直徑的圓x2ya2相內(nèi)切.故

9、選：B.【點睛】本題給出橢圓以一條焦半徑為直徑的圓和以長軸為直徑的圓，求兩圓的位置關(guān)系. 著重考查了圓與圓的位置關(guān)系及其證明、橢圓的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題.10 .已知數(shù)列:an抑滿足印二1，且an, an 1是函數(shù)f (x) =X2- bnX 2n的兩個零點，則 Do 等于()A . 24B. 32C. 48D . 64【答案】D【解析】試題分析：依題意可知，an anbn,anan1=2n,an d-an 2= 2n 1，所a“-1 an -2an t2以-=2.即an .2=2an,故a3=2印,a2a4a1,anan 1ana?=2a7= 16a1.a 1，所以a9=16

10、，又可知910a9310= 2512,.aw= 32.a1o 011= 21024廠an = 32，故bio= a an= 64.第9頁共 20 頁【考點】函數(shù)的零點、數(shù)列的遞推公式f兀）111.已知函數(shù)f x =sin 2x，若方程f x在區(qū)間0,二內(nèi)的解為I 4丿3X1,X2為X2，則sin為X2=（）第10頁共 20 頁【答案】D【點睛】 本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)以及三角恒等變換，屬于中檔題。12 已知球0是正三棱錐(底面為正三角形，頂點在底面的射影為底面中心)A-BCD的外接球，底邊BC =3,側(cè)棱 AB =2 3，點E在線段BD上，且BD =3BE,過點E作球0的截面，則所得截面圓面積

11、的取值范圍是(【答案】B【解析】設(shè) BDC 的中心為Oi，球0的半徑為R，連接01D，0D，OiE，0E，可得 R =3，(3 -R)，解得R = 2，過點E作圓0的截面，當截面與0E垂直時，截面的 面積最小，當截面過球心時，截面面積最大，即可求解.【詳解】 如圖，設(shè).BDC 的中心為Oi，球0的半徑為R,1A.-31B.2c._乜2【解析】由題意可得X3兀X2，得Xi- X24=2捲-土，通過計算4JI2 Xi的范圍,4利用三角恒等變化可求cos2xi的值，即可得出sin x1-x2?！驹?二k二3二2xkc. . x即函數(shù)f x的對稱軸為x =428282八icQf x=-在區(qū)間0,二內(nèi)的

12、解為/必x23xx23 :2 -3兀.x2x-i43:sin %x2=sin工捲cos 12 XiI4丿V -又因為 Xi :X2 ,TL3兀X2Xi，所以Xi：4883:31所以2xi -4二 二2 2%，所以cos2為蔦二一3， 所以sinx2竽A.57,47：B.2 ,4二C.9兀T，47：JID.丄,4二IL 4第11頁共 20 頁連接OiD, OD ,O1E,0E,貝V OD =3si n60空=：、；3,AQ = AD2_DOf=3,在Rt OOQ 中，R 3 (3 R)，解得R=2,；BD =3BE,DE=2在.DEOi中,OiE = .3 4 23 2 cos30=1OE=QE

13、2OO2$2過點E作圓O的截面， 當截面與OE垂直時， 截面的面積最小, 此時截面圓的半徑為.22二(2)2=2，最小面積為2 當截面過球心時，截面面積最大，最大面積為4 二故答案為2 二，4 二【點睛】本題考查了球與三棱錐的組合體，考查了空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，解題關(guān)鍵是要確定何時取最值，屬于中檔題.二、填空題13 某年級有 100 名學生，一次數(shù)學測試成績N(105,102)，P(95剟105) = 0.34，則該年級學生數(shù)學成績在 115 分以上的人數(shù)大約為 _ .【答案】16 人【解析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，求得115分以上的概率，由此求得115分以上的人數(shù).【詳解】第12頁共 20

14、頁“1 2x Pf95 W 蘭105 1_2x034Pj：115訐 所以人數(shù)大約為100 0.16 =16人故填：16 人【點睛】本小題主要考查根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求概率，屬于基礎(chǔ)題r r r14.已知平面向量a,b滿足b fa +b )=3，且|a |=1, |b|=2，則|a + b|=_【答案】,3【解析】利用b a b =3化簡求得a b一1,然后利用a.b卜7122a b b2計_ .4呻算出|a b|.【詳解】-b (a b3, -b a b2=3，又ia1,衛(wèi)“,2 2 | a b 1= a 2a b b .1-24故填：.3 【點睛】本小題主要考查平面向量數(shù)量積運算，考查平面向

15、量模的求解策略，屬于基礎(chǔ)題15在ABC中，角A,B , C所對的邊分別為a, b,c,若3a2-b2 3abcosC =0,【答案】2i cosA cosB 【解析】利用余弦定理將3a2_b2 3abcosC = 0及c化為三角形邊的la b丿2 212關(guān)系，可得c =3a -b,再利用基本不等式可得最小值 .3【詳解】根據(jù)題意，由余弦定理得2 2 23a2-b23abcosC =3ab23aba b c9a2- b22ab 22由于滿足正態(tài)分布，故= 0.16,cos AcosBa b第13頁共 20 頁故答案為 2.【點睛】16 定義在-2三上的奇函數(shù)f x的導函數(shù)為f x，且f 1 =0

16、.當x 0時,f x tan x - f x0，則不等式f x：0的解集為【點睛】 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及解不等式問題，是一道中檔題.三、解答題17 .已知正項等比數(shù)列n匚為遞增數(shù)列，Sn為其前n項和，且S3=7,得心3-2，依據(jù)正弦定理：詈A3、._ cosAsinB+cosBsinA sinCsin(A+B)=si nCsin AsinBsin AsinBsin2Csin Asi nBc 3a b2，當且僅當ab b 3a3a-時取等號，綜上所述，答案為 2.b 3a本題主要考查了正余弦定理和基本不等式的交匯,解答本題的關(guān)鍵是將角化成邊，禾U用基本不等式求最值要驗證

17、條件一正”“定”“相JI?！敬?夕-1- 0,1【解令g(x)空，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集即可.sin x【詳當 0： ： ：x時, 由f xtan x -sinx /所以g x =在i0,上遞增，sin x I 2丿/ g x為偶函數(shù),g x在-,0上遞減，且g -1 =g 1 = = 0,I2丿sin1f xg xsinx：0二g x 0弋 一1亠g x1Oin x c 0或-sin x 0?？傻?或Ox,所以，f x 0的解集為 -0,1.第14頁共 20 頁若b3log2an2,數(shù)列 丄的前n項和為Tn,若Tn一對任意nN*恒bnbnJ【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列 玄的公比為q q

18、 j,(2) Tbn=3log2an2=3 n -1,3n -1 3n 23 3n -1 3n 2 aia?a34(1)求數(shù)列的通項公式;(2)成立，求的最小值.【答(1)n- 1an= 2.(2)【解析】(1)已知 Sn，為正項等比數(shù)列，根據(jù)1117S3 =7,二-=4構(gòu)造方程組,a2a3解得印與q,即可求出數(shù)列 an/ 的通項公式。(2)由(1)的通項公式計算出bn的通項公式,利用裂項相消法求出數(shù)量1的bnbn 1前n項和Tn，可求的最小值。則丄.丄丄丄/a2a3S3a2a32a22a22a274，得a2S3= a1a2a3解得2，或1飛(舍)，所以an=a2q=22n= 2n J3n 1

19、3n 23 2 3n 26n 4第15頁共 20 頁_ 1二，即，的最小值為6【點睛】第16頁共 20 頁(1)利用基本量法構(gòu)造方程組求數(shù)列a,的通項公式。(2)裂項相消法求和法:適用情形： 分式型數(shù)列；分母中有兩個或兩個以上的因式，且因式結(jié)構(gòu)相似裂項的基本原理：將分子視為分母兩因式之差的倍數(shù)11 1 nn1 n n1，nn 21 1 1-=-2n -1 2n 12 2n -118.如圖所示，在梯形ABCD中，AB/CD,BCD =120；，四邊形ACFE為矩形,且CF_ 平面ABCD,AD=CD=BC=CF.(1) 求證：EF_平面BCF;(2) 點M在線段EF上運動，設(shè)平面MAB與平面FC

20、B所成銳二面角為二，試求cos的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)co!| ,1 12一【解析】(1)通過證明BC _ AC.AC _ CF，轉(zhuǎn)化證明AC_平面BCF，然后推出EF_平面BCF;(2)建立空間直角坐標系，設(shè)AD二CD二BC二CF = 1，求出相關(guān)點的坐標，求出平面MAB的一個法向量，令FM二0一 一 3，由題意可得平面FCB的一個法向 量，求出兩法向量所成角的余弦值，即可求COST的取值范圍.【詳解】(1)證明：設(shè)AD =CD =BC=1 , AB/CD,BCD =120；,二AB = 2,常見的裂項公式:1anan 1(其中d為等差數(shù)列Ca/的公差，且d=0)，第17

21、頁共 20 頁二AC2=AB2BC2- 2AB BC cos60=3，二AB2= AC2BC2，貝V BC _ AC.四邊形ACFE為矩形， AC _ CF,而CF, BC平面BCF，且CF門BC =C, AC_ 平面BCF. EFJ AC, EF_ 平面BCF.(2)以C為坐標原點，分別以直線CA,CB,CF為x軸、y軸、的空間直角坐標系, 令FM0 _、3，則C 0,0,0，A .3,0,0，B 0,1,0,urn _ uuu所以AB - - . 3,1,0,BM =, -1,1,口=x, y, z為平面MAB的一個法向量,I愛0，得“3x “0,r1BM 0 x - y z = 0=1，

22、所以m = 1, 3, 3 - / i力以及計算能力z 軸建立如圖所示M ,0,1,因為urrb1,0,0是平面FCB的一個法向量所以.U1U2COS日=LT Ilin =因為0：. 3，所以當彊=0時，cosr有最小值,7直線與平面垂直的判斷定理的應用,考查空間想象能1 3J3 -$ 1本題考查二面角的平面角的求法,當，=3時，COST有最大值第18頁共 20 頁19 長沙某超市計劃按月訂購一種冰激凌，每天進貨量相同，進貨成本為每桶5 元，售價為每桶 7 元，未售出的冰激凌以每桶3 元的價格當天全部處理完畢 .根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天的需求量與當天最高氣溫（單位：C）有關(guān)，如果最高氣溫不低于2

23、5oC，需求量為 600 桶； 如果最高氣溫 （單位： ：C） 位于區(qū)間120,25， 需求量為 400 桶；如果最高氣溫低于20C，需求量為 200 桶.為了確定今年九月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年九月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫（叱）110,15)15,20 )120,25 )125,30)30,35)35,40天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率（1） 求九月份這種冰激凌一天的需求量X（單位：桶）的分布列；（2） 設(shè)九月份一天銷售這種冰激凌的利潤為丫（單位：元），當九月份這種冰激凌一天的進貨量n（單位：桶）為多少時，丫的均值取得

24、最大值？【答案】（1）見解析；（2）當n =400時，丫的數(shù)學期望E（Y）取得最大值 640。【解析】（1）由已知得，X的可能取值為 200，400, 600，記六月份最高氣溫低于20為事件 A，最高氣溫位于區(qū)間20，25）為事件A，最高氣溫不低于 25 為事件 A3，結(jié) 合頻數(shù)分布表，用頻率估計概率，能求出六月份這種冰激凌一天的需求量X（單位：桶）的分布列.（2）結(jié)合題意得當n, 200時，E（Y） =2n, 400，分別求出當200：n, 400,400：n, 600,n 600時的數(shù)學期望，由此能求出當n =400時，丫的數(shù)學期望E（Y）取得最大值 640.【詳解】（1）由已知得，X的可

25、能取值為 200, 400, 600,記六月份最高氣溫低于 20 為事件A， 最高氣溫位于區(qū)間20 , 25）為事件A，最高氣溫不低于 25 為事件A,根據(jù)題意，結(jié)合頻數(shù)分布表，用頻率估計概率，第19頁共 20 頁可知18i362362P(X =200) =P(A),P(X =400) =P(Aa),P(X =600) =P(A3)=905905905故六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列為:X200400600D122P555(2)結(jié)合題意得當n, 200時，E(Y) =2n, 400，當200：n, 400時，146E(Y) 200 2 (n-200) (-2)n 2 n 1

26、60 (400,640，555當400：n, 600時，122E(Y) 200 2 (n 200) (2)400 2 (n 400) (2)n 25552n 800 560,640)5當n 600時，122E(Y) 200 2 (n 200) (2) 400 2 (n 400) (2) 600 2 (n 600) (2) 555=1760 -2n : 560，所以當n =400時，Y的數(shù)學期望E(Y)取得最大值 640.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法及應用，考查頻率分布列的應用，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.20 .已知點M到點F 3,0的距離比它到直

27、線l :x 5=0距離小2(I)求點M的軌跡E的方程；(n)過點P m,0 m 0作互相垂直的兩條直線m，它們與(I)中軌跡E分別交于點 代B及點C,D，且G,H分別是線段AB, CD的中點，求=PGH面積的最小值.【答案】(I) y2=12x ； (n) 36【解析】(I)可知點M到點F 3,0的距離與到直線：x 3 = 0距離相等，根據(jù)拋物線定義可得方程；(n)設(shè)直線h : x ntm，與拋物線方程聯(lián)立后利用韋達定理和第20頁共 20 頁中點坐標公式可求得G點坐標，同理可求得H點坐標；從而用右，上2表示出PG , PH根據(jù)兩條直線互相垂直得到tt二-1,代入三角形面積公式，利用基本不等式可

28、求得面 積的最小值.【詳解】(I)由題意知，點M到點F 3,0的距離與到直線：x= 0距離相等由拋物線的定義知，軌跡E是以F 3,0為焦點，以直線：x3 = 0為準線的物線2.M 的軌跡E的方程為：y =12x(n)設(shè)直線l1: -t1y m聯(lián)立!x2二t+m得：y2_12t12m=0y2“2x設(shè)A為$ ,B X2, y22 2則y1y =12右,為x2=t| % y2廠2m = 12t|2m . G6tm,6h設(shè)直線l2: x =t2y m.同理可得：H 6t2 - m,6t2二PG =6訂/+,|PH =6t2|J1，易知直線h、2的斜率存在且均不為 01 1d1，即：t|t2二-1t1t

29、212二SM=1PG|PH sinNPGH =18坤2| J(1+t；X1+ ) = 18j2+t；+ Z18石=36當且僅當t=血=1時取等號 = PGH面積的最小值為36【點睛】本題考查根據(jù)拋物線的定義求解拋物線的方程、直線與拋物線綜合應用中的三角形面積的最值求解問題.求解三角形面積最值的關(guān)鍵是能夠結(jié)合韋達定理求得所需點的坐標和線段長，從而利用變量表示出三角形面積，利用基本不等式求得最值x21.已知函數(shù)f x二 - ，其中a 0,b R,e為自然對數(shù)的底數(shù).ax2+bx+1(1)若b=1，且當x-0時，f x -1總成立，求實數(shù)a的取值范圍；2 第21頁共 20 頁3(2)若b=0，且fx

30、存在兩個極值點Xi,x，求證：1fXi r- fX2 : e.2a【答案】(1)a；- iO,1; (2)詳見解析I 2【解析】(1)若b=1，且當x-0時，f(x)i總成立，分類討論，確定函數(shù)的最小值，即可求實數(shù)a的取值范圍;(2 )求出函數(shù)的導數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】1當O：a,時，f(x)_O,f x在0,上單調(diào)遞增，f(x)_f(0)=1；12a_1當a時，f(x)在0 , -上單調(diào)遞減，2a2a _1在絲二1，:)上單調(diào)遞增，a2a _1f(X)min=f() -f (0) =1，不成立，a.02 k行行X；+ X2+1卜卜X2 昇昇 + +X12-12丿

31、丿12第23頁共 20 頁4 昇昇2為為4 X21A，222a-3 i2a卷xi又又xie 亠 X2e 1r2呂呂乂 f (Xi) f(X2)Xie r2 2 -令令 h x = xe2乂乂 2 x ex0：x：1則h x1 -x ex e2-0所以h x在0,i上遞增，h x:：h i=2e，從而 f（xi） f（X2） .e3綜上可得：if x-if x2: e2a【點睛】本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題X = -2 + cos22.在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（二為參數(shù)），以坐y = si nl標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線I的極坐標方程為P COS心-少1=血I 4丿丿 . .（1）求圓C的普通方程和直線I的直角坐標方程；（2）設(shè)M是直線I上任意一點，過M作圓C切線，切點為A,B,求四邊形AMBC（點C為圓C的圓心）面積的最小值.2 2【答案】（1 ）圓C的普通