2020屆甘肅省第一次高考診斷考試數學(理)試題(解析版)

1、【詳解】第 1 1 頁共 1919 頁2020屆甘肅省第一次高考診斷考試數學(理)試題一、單選題1 1 .已知A x|x 1,B x 21，則AU B()A A .1,0B B.0,1C C.1,【答案】D D【解析】 分別解出集合A、B,然后求并集 【詳解】2 2z z 2313，故選：C C【點睛】考查復數的運算，是基礎題 rrr3 3 .已知平面向量a，b滿足a 1,A A. 3 3B B.SOC C.2 3【答案】B Br r rrD D.,1解:A x x 1 x 1 x 1B x 2x1 x x 0AUB,1故選：D D【點睛】考查集合的并集運算，基礎題2 2.已知z i 3 2i

2、，則z 2(A A . 5 5B B .【答案】 C C【解析】 先化簡復數z i3 2i,【詳解】解：zi 3 2i 2 3i;，z 2)C C. 13133i3,t，且a ab，則b()D D . 5 5再求z,最后求zz即可. .第2 2頁共 1919 頁【解析】先求出a & ,再利用a a b 0求出t,再求b. .第3 3頁共 1919 頁解：a b 1, 23,t2,t 2r由a r ab,所以rrraab0122 t20,rt 1,b3,1,bVi0故選:B B【點睛】【解析】 先求出P，再求焦點F坐標，最后求MF的斜率【詳解】解：拋物線y22px p 0經過點M 2,2

3、,22 .222p 2,P 2,F 1,0,kMF2 2, 故選：A A【點睛】 考查拋物線的基礎知識及斜率的運算公式，基礎題cos 2 x5 5 函數f x ln|x2的部分圖象大致為（）x24 4 .已知拋物線y2px p 0經過點M為（）A A 2.2B B.24【答案】A A考查向量的數量積及向量模的運算，是基礎題2,2. 2，焦點為F，則直線MF的斜率C C 手D D 22第4 4頁共 1919 頁第5 5頁共 1919 頁cos2x2是偶函數，排除 BCBC ,xcos2 0,排除 D D,故選：A.A.【點睛】考查函數的基本性質，是基礎題2y1 a 0,b0的一條漸近線經過圓b2

4、B B. ,5【答案】【詳解】故選：B B【點睛】利用a b的關系求雙曲線的離心率，是基礎題華為公司 20192019 年 8 8 月初推出了一款5G手機，現(xiàn)調查得到該款5G手機上市時間x和市場占有率y（單位：% % ）的幾組相關對應數據 如圖所示的折線圖中， 橫軸 1 1 代表 20192019 年 8 8 月，2 2 代表 20192019 年 9 9 月，5 5 代表 20192019 年 1212 月，根據數據得出y關于x的線性回歸方程為$0.042x資 若用此方程分析并預測該款手機市場占有率的變化趨勢,【答案】A A【解析】顯然f xIn xcos2xr2是偶函數，排除 BCBC,f

5、 1xcos2 0即可判斷. .【詳解】E:x22x4y0的圓心，則雙曲線C的離心率為（解:x ln x2x6 6 已知雙曲線 C:-C:-a【解求出圓心,代入漸近線方程，找到a、b的關系，即可求解解：E1,2,C:a0,b0一條漸近線y2a2 , 2 2a +b ,c2a2,e 57 7.5G網絡是一種先進的高頻傳輸技術，我國的5G技術發(fā)展迅速, 已位居世界前列第6 6頁共 1919 頁則最早何時該款5G手機市場占有率能超過 0.5%0.5% （精確到月）（）-y（m）C12Q-際A. 20202020 年 6 6 月B B. 20202020 年 7 7 月C C . 20202020 年

6、 8 8 月D D . 20202020 年 9 9 月【答案】 C C【解析】 根據圖形，計算出 x,yx,y，然后解不等式即可. .【詳解】解：x1(1 2 3 4 5)3,y - (0.02 0.05 0.1 0.15 0.18) 0.155點3,0.1在直線? 0.042x a上0.10.042 3 a,a 0.026? 0.042x 0.026令? 0.042x 0.026 0.5x 13因為橫軸 1 1 代表 20192019 年 8 8 月，所以橫軸 1313 代表 20202020 年 8 8 月, 故選：C C【點睛】 考查如何確定線性回歸直線中的系數以及線性回歸方程的實際應

7、用，基礎題8 8.設m,n是空間兩條不同的直線，是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題：若m/,n/,/ /，則mn;若，m,m，則m/；若m n,m,/，則n/；若，Il,m/,m l，則m. .其中正確的是（)第7 7頁共 1919 頁【答案】C C【解析】 根據線面平行或垂直的有關定理逐一判斷即可【詳解】解：m、n也可能相交或異面，故 錯：因為,m，所以m或m/因為m，所以m / /，故對：n/或n，故錯：如圖因為，I I，在內過點E作直線l的垂線a，A A .B B.C C .D D .則直線a,a l又因為m/，設經過m和相交的平面與又m 1，所以b l因為a l,b l,b,a所以

8、b/a/m，所以m，故對 故選：C C【點睛】基礎題 考查線面平仃或垂直的判斷，交于直線b，則m / /b9 9 .定義在R上的偶函數f x，對Xi,x21成立，已知a f In,b f e2,cf x2f x.,0，且XiX2，有 -0 x2xi1f Iog- ，則a,b,c的大小關系為6第8 8頁共 1919 頁【答案】A A【解析】根據偶函數的性質和單調性即可判斷 【詳解】f x2f x1解：對X|，X2,0，且XiX2，有0 x2xf x在x,0上遞增因為定義在R上的偶函數f X所以f x在x 0,上遞減11又因為log26 log262，1 In 2，0 e21所以b a c故選：A

9、 A【點睛】考查偶函數的性質以及單調性的應用，基礎題1010 .將函數f x sin x圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼? 2 倍，再將圖像向左6平移一個單位長度，3得到函數y g x的圖象，則函數yg x圖象的一個對稱中心為（)A .-,0B B.,0C C.,0D D.,01243【答案】 D D【解析】 根據函數圖象的變換規(guī)律可得到y(tǒng) g x解析式， 然后將四個選項代入逐一判斷即可. .【詳解】一1解：f x sin x圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼? 2 倍，得到sin x 6 261再將圖像向左平移個單位長度，得到函數g x sin x +的圖象3236B B.b c aD D.cab

10、14第9 9頁共 1919 頁g x sin x,g233故選：D D【點睛】考查三角函數圖象的變換規(guī)律以及其有關性質，基礎題n1111.若3x -的展開式中二項式系數和為256256,則二項式展開式中有理項系數之和X為（ ）C C. 5757D D. 5656最后求系數之和256256則二項式展開式中有理項系數之和為：C；+C；+c8=85故選：A A【點睛】考查二項式的二項式系數及展開式中有理項系數的確定，基礎題1212 .若函數f Xlx2e mx有且只有 4 4 個不同的零點，則實數m的取值范圍是( :2222eeeeA A .,B B.,c c.,D D., 4444【答案】B B【

11、解析】由f XIE2exmx是偶函數,則只需fxexmx在x 0,上有且只有兩個零點即可【詳解】解：顯然f xlx2emx是偶函數A A . 8585【答案】A AB B. 8484【解析】先求n :,再確定展開式中的有理項,【詳解】1n解:3x -的展開式中二項式系數和為x故2n256, n n8 88 r8 4rTr 1C8rx3xrc8x3要求展開式中的有理項，則r 2,5,814第1010頁共 1919 頁所以只需x 0,時，f x ex2xmx e2mx有且只有 2 2 個零點即可mx20，則mx第1111頁共 1919 頁exx 23x-Z經過點B時，截距最小，Z Z 最大xe ，

12、x0,2 ,g x0，遞減，且x0 ,g x2,+,gx 0,gx遞增，且x,g x0,時,xmx2ex2mx有且只有2 2 個零點,只需m故選：B B【點考查函數性質的應用以及根據零點個數確定參數的取值范圍, 基礎題二、填空題1313 .實數x,y滿足約束條件xy2y20，則x 2y的最大值為【答1010【解畫出可行域，根據目標函數截距可求【詳解：作出可行域如下:ymx20，則mx第1212頁共 1919 頁2第1313頁共 1919 頁解得B 6, 2z x 2y的最大值為 1010故答案為：1010【點睛】考查可行域的畫法及目標函數最大值的求法，基礎題. .1414 某班星期一共八節(jié)課（

13、上午、下午各四節(jié)，其中下午最后兩節(jié)為社團活動）要求為：語文、數學、外語、物理、化學各排一節(jié)，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié) 若數學必須安排在上午且與外語不相鄰（上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法有_種 【答案】13441344【解析】分四種情況討論即可【詳解】解：數學排在第一節(jié)時有：C：A C：384數學排在第二節(jié)時有：C3A4C1288數學排在第三節(jié)時有：C3A4C1288數學排在第四節(jié)時有：C4A4C1384所以共有 13441344 種故答案為：13441344【點睛】考查排列、組合的應用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎題1515 .在VABC中，角A,B,C的對邊

14、分別為a,b,c. .若cos B、3sin B且b 1，則VABC周長的范圍為 _ . .【答案】2,3【解析】先求B角，再用余弦定理找到邊a、c的關系，再用基本不等式求a即可. .【詳解】解：cosB 3si nB 20，排課c的范圍第1414頁共 1919 頁b22a2c2accos 3122a2c 2accos321小小a cac3ac 321a c2所以三角形周長a c b (2,3故答案為：2,3【點睛】考查正余弦定理、基本不等式的應用以及三條線段構成三角形的條件；基礎題 三、雙空題1616 . . 16111611 年，約翰內斯 開普勒提出了 沒有任何裝球方式的密度比面心立方與六

15、方最密堆積要高”的猜想 簡單地說，開普勒猜想就是對空間中如何堆積最密圓球的解答.2017.2017年，由匹茲堡大學數學系教授托馬斯黑爾斯(ThomasThomas HalesHales )帶領的團隊發(fā)表了關于開普勒猜想證明的論文，給這個超過三百年的歷史難題提交了一份正式的答案 現(xiàn)有大小形狀都相同的若干排球， 按照下面圖片中的方式擺放 (底層形狀為等邊三角形， 每邊4 4 個球，共 4 4 層)，這些排球共 _ 個，最上面球的球頂距離地面的高度約為_ cm(排球的直徑約為21cm)【答案】202021 1【解析】(1 1)從下往上，各層球的個數依次是：1010、6 6、3 3、1 1,所以共有

16、2020 個(2 2)連接位于四個頂點的球的球心得到一個棱長為6363cm的正四面體，易求該四面體的高，然后加上 2121 即可 【詳解】解：(1 1 )從下往上，各層球的個數依次是：1010、6 6、3 3、1 1,所以共有 2020 個2sin B2,sinB 61,B 3第1515頁共 1919 頁(2)連接位于四個頂點的球的球心得到一個棱長為6363cm的正四面體O1O2O3O4,如圖:取。3。4的中點E，VO2O3O4的重心F，連接O1F則QF平面02。3。4故答案為：2020；21 ,6+1【點睛】考查把實際問題轉化為數學問題的能力、空間想象能力以及運算求解能力；較難題四、解答題(

17、2)求數列an2n的前n項和Sn. .【解析】(1 1)根據等差中項的定義得an 11 2an，然后構造新等比數列an出an1的通項即可求(2 2)根據(1 1)的結果，分組求和即可【詳解】O2E63.32O2FOF；632213221 6所以最上面球的球頂距離地面的高度約為21 .6+1 cm. .1717 .數列an滿足a11,an是1與an 1的等差中項(1(1)證明：數列an1為等比數列，并求數列an的通項公式;【答案】(1 1)見解析,an21(2 2)Sn2n11，寫第1616頁共 1919 頁解：(1 1)由已知可得an 11 2an，即an 12an1，可化為an 11 2 a

18、n數列an1是以a11 2為首項，2 2 為公比的等比數列. .第1717頁共 1919 頁即有41a11 2n 12n(2 2) 由(1 1)知, 數列an2nSnSn212223L2nnn所以an21. .的通項為：an2n 2n2 n 1,1 3 5 L 2n 12n 1n22故Sn2n 1n22. .【點睛】考查等差中項的定義和分組求和的方法；中檔題（1 1）面出過點E且與直線AC垂直的平面，標出該平面與正方體各個面的交線（不必說明畫法及理由）（2 2）求BD1與該平面所成角的正弦值. .1【答案】（1 1）見解析（2 2）. .3【解析】（1 1）AC與平面BDC1垂直，過點E作與平

19、面BDC1平行的平面即可（2 2）建立空間直角坐標系求線面角正弦值【詳解】 解：（1 1）截面如下圖所示：其中F,G,H,I,J分別為邊C1D1,DD1,AD,AB,BB1的中點，貝y AC垂直于平面EFGHIJ. .（2 2）建立如圖所示的空間直角坐標系,1818 .如圖，正方體ABCDABGDABGD1的棱長為 2 2, E E 為棱B1G1G 的中點. .第1818頁共 1919 頁ujuu則B 2,2,0, D Di0,0,20,0,2 ,H 1,0,0,I 2,1,0,G 0,0,1,所以BD,2, 2,2,ULWHI設平面不妨取1所以BD1與該平面所成角的正弦值為3. .ujn（若

20、將AC作為該平面法向量，需證明A1C與該平面垂直）【點睛】考查確定平面的方法以及線面角的求法，中檔題1919 .某健身館為響應十九屆四中全會提出的聚焦增強人民體質，健全促進全民健身制度性舉措”，提高廣大市民對全民健身運動的參與程度，推出了健身促銷活動，收費標準如下：健身時間不超過1 1 小時免費，超過 1 1 小時的部分每小時收費標準為2020 元（不足 I I 小時的部分按 1 1 小時計算）現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨立地來該健身館健身，設甲、乙1 1健身時間不超過 1 1 小時的概率分別為 一，-，健身時間 1 1 小時以上且不超過 2 2 小時的461 2概率分別為一，一，且兩人健身時間都不會

21、超過3 3 小時. .23（1 1） 設甲、乙兩人所付的健身費用之和為隨機變量（單位：元），求 的分布列與數學期望E；（2） 此促銷活動推出后，健身館預計每天約有300人來參與健身活動，以這兩人健身費用之和的數學期望為依據，預測此次促銷活動后健身館每天的營業(yè)額【答案】（1 1）見解析，4040 元（2 2） 60006000 元【解析】（1 1）甲、乙兩人所付的健身費用都是0 0 元、2020 元、4040 元三種情況，因此甲、乙兩人所付的健身費用之和共有9 9 種情況，分情況計算即可2 2）根據（1 1）結果求均值 unr1,1,0,HG1,0,1. .EFGHIJ的一個法向量為n x,y,

22、z，則ruuuu rn 1, 1,1,則cos BD1, n2,3 3第1919頁共 1919 頁第2020頁共 1919 頁【詳解】解: ( (1 1)由題設知可能取值為0 0, 2020, 4040, 6060, 8080,則111P046 2412111P20436241112115P4046236412，11121P6026434111P804 624故的分布列為:0 0202040406060808011511P2441242411511所以數學期望E 020 4060 8040(元)244124241(2 2)此次促銷活動后健身館每天的營業(yè)額預計為：40 3006000(元)2【點

23、睛】考查離散型隨機變量的分布列及其期望的求法，中檔題被橢圓截得的弦長為2. .(1) 求橢圓C的方程；(2)過點2,0且斜率不為 0 0 的直線與橢圓C交于M,N兩點. .0為坐標原點，A為橢圓C的右頂點，求四邊形OMAN面積的最大值 2 2【答案】(1 1) = = 1 1 (2 2)最大值26 6 . .8 8 6 6【解析】(1 1)根據通徑 竺3 2和c2即可求2 220橢圓C寺y1a0的右焦點F -2,0，過點F且與x軸垂直的直線第2121頁共 1919 頁(2)設直線MN方程為x my 2，聯(lián)立橢圓，利用S四邊形OMANSvoAMSv OAN，用S四邊形OMANS/OAMSVOAN

24、，用t 3m 2換兀，【詳解】0時取得等號,即四邊形OMAN面積的最大值 2 2 屆.【點睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題12121 .已知函數fx ax a 1 l nx2 a R. .x(1) 討論函數f x單調性；含m的式子表示出可得S四邊形OMAN2，最后用均值不等式求解7解：(1 1 )依題意有22，b 6，所以橢圓的方程為21=1.1=1.6 6(2)設直線MN的方程為xmy 2，聯(lián)立x26my3m24y212my 120. .所以y1y212m23m24y2所以&邊形OMANSvoAMSvOAN123m2412,22y1y24y2.212m3m

25、24123m248、3.3m223m24令t3 m22，則t所以邊形OMAN8. 3t83t222，因t 2，則ttt2 _ _2-2，所以S四邊形OMAN2 6，當且僅當第2222頁共 1919 頁1(2) 當a 2時，求證：f x ex2x. .x【答案】(1 1)見解析(2 2)見解析【解析】(1 1)根據f x的導函數進行分類討論f x單調性第2323頁共 1919 頁1(2)欲證f xex2x ,只需證In x 2 ex，構造函數x證明gxmax0，這時需研究x的單調性，求其最大值即可【詳解：(1 1)ax a1 In1-2的定義域為0,2axa 1 x 1 ax 1 x22xxIn

26、 x ex2，所以f當0所以當當所以(2)0 0 時，由f x0得x 1，由在0,1上單調遞增，在1時，由f x 0得10,1上單調遞增，在1 111-a1 1 時,1時,10-a2時,In x因存在X00,1x 0，得單調遞減;單調遞減,1,單調遞增;2x 12x0，所以f x在1x 0，得-a上單調遞增，在欲證f0,0,上單調遞增;x 1，由f X0，得1，或xa丄,1單調遞減，在 1,1,a2x，只需證In x 2 x，則g x單調遞增. .1使得0成立，即有xoIn x0，使得g xo0成立. .x0,x0 x0Xo,g x0 0g x單調遞增g Xo單調遞減當x變化時，g的變化如第2

27、424頁共 1919 頁所以g xmaxglnx。ex02x。12x。丄2X。x。12,因為x00,1,所以X。所以g xmax2 2 0. .X。即g xln x ex2g xmax0,所以當a2時，f xxe2x1、成立. .x【點睛】考查求函數單調性的方法和用函數的最值證明不等式的方法，難題x 1 cos2222 .在平面直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數方程為：(為參數)，y sin以0為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為:2、3 sin(1) 求曲線Ci的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程；(2) 若直線l：y kx k0與曲線Ci交于o,A兩點，與曲線C2交于0,B兩點， 求 OAOA OBOB 取得最大值時直線l的直角坐標方程. .【答案】(1 1)曲線C Ci： 2cos2cos ，曲線C2: x2y、入23. . (2 2)y , 3x. .x 1 cosxcos【解析】(1 1)用和消去參數 即得C1的極坐標方程；將y sinysi