2020屆江蘇省南京師大附中高三下學期期初數學試題(解析版)

1、第1頁共 21 頁2020 屆江蘇省南京師大附中高三下學期期初數學試題一、填空題1.已知A x_ x 2.31,xRB x52x 11,x R，則AI Bx 3【答案】2,4【解析】 求出集合A、B,然后利用交集的定義可求出集合AI B.【詳解】解不等式3x 2130，得x 20，解得x 2，則A2,.解不等式2x 11，即x440，解得-3 0，所以02x-iX1x21,所以0X112f所以一X1 ,=x12mIn x12x12(x11)2x1x21 n 1【解析】先由題得所以x1X2X2X2治 + 化簡得m門X21,x,X2，02=(1x1) 2x-i In x-iXi記g(x)= (1x

2、) 2xln(0 xi)，所以g(x)1 2ln x1(x 1)2In (ex2)(x所以e41g (x)0, g(x)在(0,)單調遞減,0 ex21, I n(ex2)0In x又由洛必達法則得當x 0時，xInxx11Iim( xIn x) 0, Iimg(x) 0 g(-)x12x1 In 2 2 23-In 2,2第14頁共 21 頁第15頁共 21 頁(si n AcosB sin BcosA)cosC si nCcosA，再逆用兩角和的正弦公式并化簡，可得cosC cos A，進而可得求出sin B.【詳解】c cos A代入acosB bcos A -3所以函數 g(x)的值域

3、為In 2,0.2f x3即L的取值范圍為In 2,0.x223故答案為：一In 2,02【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的極值和取值范圍,握水平和分析推理能力意在考查學生對這些知識的理解掌二、解答題15 .已知a,b,c分別是ABC三個角A,B,C所對的邊，且滿足acosB, ccos Ab cos AcosC(1)求證:若buir uuu2,BA BC 1，求sin B的值.【答案】(1)見解析(2)sin B亠23【解析】(1)利用正弦定理將已知的邊角混合式化為uir由(1)知a c，可將BAuuuBC1可化為2 .,a cos B 1再結合2 2 ,2a c bcosB2aca2求

4、出從而求出cosB，再利用同角三角函數關系(1)由正弦定理一sin Absin Bcsi nC2R，得a 2Rsin A,b 2Rsin B,c2RsinC,cosC第16頁共 21 頁即sin (A B)cosC si n Ceos A，因為A B C，所以sin (A B) si nC,所以sin CcosC sinCcosA，又C是ABC的內角，所以 sin C所以cosC cos A,又AC為三角形的內角,【點睛】【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)由直線與平面平行的性質可得：由AD/平面 BCC1B1，有 AD/BC，同時AD 平面 ADD1A1，可得 BC/平

5、面 ADD1A1；(2)由(1)知 AD/BC ,因為 AD 丄 DB，所以 BC 丄 DB，同時由直四棱柱性質可得 DD1丄 BC,BC 丄平面 BDD1B1，可得證明.【詳解】 解：(1)因為 AD/平面 BCC1B1, AD 平面 ABCD，平面 BCC1B1Q平面 ABCD = BC,所以 AD/BC.又因為 BC 平面 ADDIAI,AD 平面 ADDiAi,(2)由(1)知，因為AC，所以a由余弦定理得cos B22, 2a c b2ac2a2a因為uirBAuuiuiu uuiBC 1，即I BA | |BC |cosB1，所以a2cosB a2所以3，所以cosB 1,因為(0

6、,)，所以sin B . 1 cos2B本題主要考查正弦定余弦定理及平面向量的數量積的運算，屬于中檔題.ABCD A1B1C1D1中，AD/ 平面 BCC1B1, AD 丄 DB.求證:(1)(2)平面 BCC1B1丄平面 BDD1B1.16 .如圖，在直四棱柱BC/平面 ADD1A1;第17頁共 21 頁所以 BC平面 ADD1A1.(2)由(1)知 AD/BC，因為 AD 丄 DB，所以 BC 丄 DB ,在直四棱柱 ABCD AIBIC1D1中 DDI丄平面 ABCD , BC 底面 ABCD ,所以 DDi丄 BC ,又因為 DDI平面 BDDiBi, DB 平面 BDD1B1, DD

7、IADB=D,所以 BC 丄平面 BDD1B1,因為 BC 平面 BCC1B1,所以平面 BCC1B1丄平面 BDD1B1【點睛】本題主要考查線面平行的性質及面面垂直的證明，熟悉相關定理并靈活運用是解題的關鍵17 如圖，圓 0 是一半徑為 10 米的圓形草坪，為了滿足周邊市民跳廣場舞的需要，現規(guī)劃在草坪上建一個廣場，廣場形狀如圖中虛線部分所示的曲邊四邊形，其中A, B 兩點在O0 上，A, B , C, D 恰是一個正方形的四個頂點 根據規(guī)劃要求，在 A, B, C,D 四點處安裝四盞照明設備，從圓心0 點出發(fā)，在地下鋪設 4 條到 A, B , C, D 四點線路 0A , OB , 0C

8、, 0D.(1) 若正方形邊長為 10 米，求廣場的面積；(2) 求鋪設的 4 條線路 0A, 0B , 0C, 0D 總長度的最小值50I【答案】(1) 10025二3(平方米)(2)20.2(米)3【解析】(1)連接 AB,廣場面積等于正方形面積加上弓形面積，計算得到答案(2)過 0 作 0K 丄 CD ,垂足為 K，過 0 作 0H 丄 AD (或其延長線)，垂足為 H，設/ 0AD=0(00 - ), 0D* 300 200.2sin 2，計算得到答案4Y4【詳解】(1)連接 AB, /AB=10,A正方形ABCD的面積為 100,又 0A= 0B = 10, A0B 為正三角形，則A

9、0B -,32第18頁共 21 頁10050而圓的面積為叫扇形AOB的面積為丁 W,150又三角形 AOB 的面積為10 53 253.二弓形面積為25.空,2350則廣場面積為 10025 3(平方米)；3(2)過 O 作 OK 丄 CD， 垂足為 K， 過 O 作 OH 丄 AD (或其延長線)， 垂足為 H , 設/ OAD =0(Ov0b0)的離心率為 一，右準線方程為 x= 4,a2b22A , B 分別是橢圓 C 的左，右頂點，過右焦點 F 且斜率為 k ( k 0)的直線 I 與橢圓 C 相交于 M ,N 兩點(其中，M 在 x 軸上方).(1)求橢圓 C 的標準方程；1(2)設

10、線段 MN 的中點為 D，若直線 OD 的斜率為 ，求 k 的值;300 200 2sin 2第19頁共 21 頁2 2生孔1uurumu43(3)設M(X1, y1) , N (X2, y2),得到NF 2FM,故22(3 2x1)( 2yJ143計算得到答案【詳解】2（1）橢圓的右準線為 x 紅 4 ,離心率 e-ca=3.所以橢圓的標準方程:代入坐標，可得1 X22*1,即X232xy22y1y22y1(3)記 AFM , BFN 的面積分別為 Si, S2，若 S2-，求 M 的坐標.22 2【答案】（1）JL y_431（2）2（3）G，手）【解析】（1）根據題意計算得到a= 2，c

11、 = 1,得到答案(2)由設 M ( X1, y1),N (X2, y2), D (xo, yo),代入橢圓相減得到y(tǒng)1y3 X1X23 Xo4?k，得到答案4 koD4 y1y24 yo1貝Ua = 2 , c= 1,所以 b2= a2 c222XL2y_1y1,兩式相減，整理得 由43y2?X1X23?些2y_X11X2y1y24 yo4331?4KDD3(- 2)3,所以 k 的值為3；422(3)設 M(X1, y1),N (X2, y2),由題意32,則2|AF2_2|BF|y2y132,所以1川1,所以V22umrNFuuurr2FM,(2)由設 M (X1, y1), N (X2

12、, y2), D (xo, yo),所以 k第20頁共 21 頁所以 M 點坐標為(,3 5)48【點睛】 本題考查了橢圓方程，點差法，根據面積關系求坐標，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力a19 .已知函數f x lnx 1, a R.x(1)若函數 f (x)在 x= 1 處的切線為 y= 2x+b，求 a, b 的值;1(2)記 g (x) = f (x) +ax，若函數 g (x)在區(qū)間(0,)上有最小值，求實數 a2的取值范圍;范圍2一 2，討論 a0 兩種情況，根據函數的單x調性求最值得到答案.(3)方程等價于 bx2Tnx - 1 = 0 有兩個不等的實數根，設h (x)= b

13、x2- lnx - 1,貝 U h11(x)=2bx，討論 b 0 兩種情況，計算 h (x)的最小值為 h (=)，計算得到答案【詳解】【答案】(1)a =- 1,b=- 2 (2)2ea (0,)(3)b(0,32【解析】(1)求導得到f( x)-a，根據切線方程公式計算得到答案x又因為 M , N 點在橢圓上，所以2x1- 4(32yyX1yyV5V57-47-43 3(3)當a= 0 時，關于x 的方程 f (x)= bx2有兩個不相等的實數根，求實數b 的取值(2) g (x)(1) T f x lnx由題意可得，f (1)a11, f (x)-xx=1 - a= 2，解得 a=-1

14、, f (1)=a+1 = 0,直線 y= 2x+b 過點(1, 0),可得 b=- 2；a1(2) g (x)= lnxax 1，則 g(x)2ax x a2x2x2 2第21頁共 21 頁f (X)單調遞增， awo不符合題意，1若 a 0,設 G (x)= ax2+x-a，則 G (x)在(0,)上單調遞增,21由題意，則應有G (0)=- av0, G (21則存在 x (0, 一)，使得 G (X0)= 0,2且當 x (0, X0)時，g，(x)v0, g (X)單調遞減，1當 x(X0,)時，g (x) 0, g (x)單調遞增，21 g (乂)在(0,)上的最小值為 g (X0

15、),22-a(0,)；3(3)由題意可知，方程 Inx+1 = bx2,即 bx2- lnx - 1 = 0 有兩個不等的實數根,1設 h (x)= bx2- lnx 1,貝Vh (x)= 2bx .x當 bwo時，h(x)v0 恒成立，h (x)單調遞減，不可能有兩個零點,若 aW0則 gf(x)2 ”1 aax12a-2x xxx0 在(0,1丄)上恒成立,2?a 10,解得 av?,423當 b 0 時，令 h (x)= 0,解得 x且當 x1(，藥時，h (x)v0, h (x)單調遞減,1當x(,2bh ( x) 0, h (x)單調遞增,- h (x)的最小值為 h (1)V2b由

16、題意，應用1h(,2b)-In* 1v0，解得 0vbve.2. 2b2第22頁共 21 頁/ h11111 ,)-In1Inb 1，設 H (b)Inb 1，貝 U H (b)bbbbb且當x (0, 1) )時，H (b)v0,H (b)單調遞減，e 0, H (b)單調遞增，21 H(b) H (1)=0,即卩 h() 0b1,1 1 1V _, 存在 X2 (,-，使得 h (X2)= 0., 2b b. 2b b綜上，b (0,)2【點睛】 本題考查了根據切線， 最值和根的個數求參數， 意在考查學生的綜合應用能力和計算能力20 .設各項均為正數的數列 an的前 n 項和為 Sn，已知

17、 a1= 1，且 anSn+1- an+1Sn= an+1-入a對一切 n N 都成立(1) 當匸1 時；1求數列an的通項公式；2若 bn=( n+1 ) an,求數列bn的前 n 項的和 Tn；(2)是否存在實數 人使數列an是等差數列如果存在，求出入的值；若不存在，說明 理由【答案】(1)an= 2n-1Tn= n?2 (2)存在；X=0an 1S11【解析】(1)化簡得到，根據累乘法計算得到Sn+1+1 = 2an+1，得到數列anSn1an是首項為 1,公比為 2 的等比數列，得到答案，再利用錯位相減法計算得到答案(2)要使數列an是等差數列，必須有 2a2= a1+ a3,解得入=

18、0,入=0,計算得到 an= 1, 得到答案【詳解】(1 ) 當 y= 1 時， anSn+1 an+1Sn= an+1 an,貝 anSi+1+an= an+1Sn+ an+1, 即(0+1+ 1 ) an=( Sn+1 ) an+1.T數列an的各項均為正數，an 1Sn 11anSn1化簡，得Sn+1+1 = 2an+1,， 當 n2 時，Sn+1 = 2an,-，得 an+1= 2an,魚？魚La?an 1anS21S31Sn 11L _S11 S21Sn1第24頁共 21 頁.當 n = 1 時，a2= 2, n= 1 時上式也成立，第25頁共 21 頁二數列an是首項為 1 公比為

19、 2 的等比數列，即 an= 2 廠1由知，bn=( n+1) an=( n+1) ?2n_1.Tn= m+ b2+bn= 2?1+3?2+ ( n+1) ?212Tn= 2?2+3?藝+ n?2n-1+ (n+1) ?2n,-Tn= n?2f.要使數列an是等差數列，必須有 2a2= a 什 a3，解得?= 0.當 =0 時，Si+1an=( Sn+1) an+1，且 a2= a1= 1.當 n2時，Sn+1( SnSn-1) = ( Sn+ 1 ) ( Sn+1 Sn),化簡，得Sn+1 = Sn+1,即 卩 an+1= 1.綜上所述，可得 an= 1, n N.心0時，數列an是等差數列

20、.【點睛】本題考查了通項公式，錯位相減法求和，根據等差數列求參數，意在考查學生對于數列 公式方法的綜合應用.2 121 .已知矩陣 M =1 2(1)求 M2;(2)求矩陣 M 的特征值和特征向量.54【答案】(1) M2=; (2)矩陣 M 的特征值為 1 , 3,分別對應一個特征向量4 511為 ，11【解析】(1)根據矩陣的乘法運算法則計算可得答案；(2)根據特征多項式求得特征值，根據特征值求出特征向量即可【詳解】兩式相減，可得-Tn= 2+2+22+2n 1-(n+1) ?2n= 22 2n1 2(n+1) ?2n=- n?2.(2)由題意，令n=1，得a2= A+1 ；令 n = 2

21、,得 a3=(?+1)整理，得2Sn1Sn+Sn= Sn+1Sn-什Sn+1，即c 1nSn 1Sn 1Sn從而1?S11 S21Sn1Sn 11$?LS2S3Sn 1第26頁共 21 頁(1)M2=2 1(2)矩陣 M 的特征多項式為 f(R=(11)(13).1 2令 f( X) =0,解得 M 的特征值為X=1, X=3.當x=1 時，2 1xxxy0=，得12yyxy01令 x= 1，貝 U y= 1,于是矩陣 M 的一個特征向量為121xxxy012yyxy01令 x= 1，則 y= 1，于是矩陣 M 的一個特征向量為11 1因此，矩陣M的特征值為1,3，分別對應一個特征向量為1，1

22、【點睛】本題考查了矩陣的乘法運算法則，考查了矩陣的特征值和特征向量, 力，屬于基礎題22 .在極坐標系（p,0）（0 中, 0）及點 M（2, 0）,動直線 l過點 M 交拋物線于 A, B 兩點，當 I 垂直于 x 軸時，AB = 4.當 L 3 時,考查了運算求解能第27頁共 21 頁(1)求 p 的值；(2) 若 I 與 x 軸不垂直，設線段 AB 中點為 C,直線 li經過點 C 且垂直于 y 軸，直線 12經過點 M且垂直于直線 I，記 li，I2相交于點 P,求證：點 P 在定直線上.【答案】(1) p = 1 (2)證明見解析【解析】(1)根據 AB = 4,知拋物線 y2= 2

23、px ( p0)過點(2, 2),代入計算得到答案(2)由題意設直線 I 的方程為：y= k (x - 2),且 k0點 A(X1,y1) , B (x2, y2),聯21立方程得到 y1+y2, y1y2=- 4,根據直線方程得到 P (1,-),得到答案kk【詳解】(1)當直線 I 過點 M (2 , 0),且垂直于 x 軸時，由 AB= 4,知拋物線 y2= 2px (p 0)過點(2 , 2),代入拋物線方程，得4 = 2p X2，解得 p= 1； (2)證明：由題意設直線 I 的方程為：y= k (x-2),且 心0點A(x1, y1) , B (X2, y2),消去 x,化簡得 ky2- 2y- 4k= 0 ,22由根與系數的關系得 y1+ y2, y1y2=- 4;k y y 11又點 C 在直線 AB 上，則