算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（2）

1、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)一、復(fù)習(xí)引入：1重要不等式：如果2定理：如果a,b是正數(shù)，那么3.我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù).成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)“當且僅當”的含義是充要條件二、講解新課：1公式的等價變形：ab，ab（）22 2（ab0），當且僅當ab時取“”號；3關(guān)于“平均數(shù)”的概念如果 則：叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)；叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)；推廣： 。語言表述：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)上述重要不等式有著廣泛的應(yīng)用，例如：證明不等式，求函數(shù)最值，判斷變量或數(shù)學(xué)式子的取值范圍等等它們涉及到的題目活，變形多，必須把握好湊形技巧

2、今天，我們就來進一步學(xué)習(xí)均值不等式的應(yīng)用三、講解范例：例1 已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：證明： 以上三式相加：例2 已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識證明：a,b,c,d都是正數(shù)，ab0，cd0，ac0，bd0得 由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得即點評：用均值不等式證明題時，要注意為達到目標可先宏觀，而后微觀；均值不等式在運用時，常需先湊形后運用；均值不等式和不等式的基本性質(zhì)聯(lián)合起來證題是常用的行之有效的方法例3某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底

3、每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得 當因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件我們應(yīng)用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理(即均值不等式)順利解決了本章引例中的問題用均值不

4、等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進行：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案例4、已知，求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的的值。解：當且僅當時，例5、已知，且的最小值。解：例6、已知，求：的范圍；的范圍。解：由已知得，由已知得四、課堂練習(xí)：1已知x0，當x取什么值時，x2的值最小?最小值是多少?分析：注意到x2是和的形式，再看x2·81為定值，從而可求和的最小值解：x0x20，0,x2218，當且僅當x2，即x±3時取“

5、”號故x=±3時，x2+的值最小，其最小值是182一段長為 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少?分析：均值不等式在實際問題中的應(yīng)用相當廣泛，解題過程中要(1)先構(gòu)造定值，(2)建立函數(shù)關(guān)系式，(3)驗證“”號成立，(4)確定正確答案解：設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長為（2x）m，其中0x，其面積Sx（2x）·2x（2x）當且僅當2x2x，即x時菜園面積最大，即菜園長m，寬為 m時菜園面積最大為 m23設(shè)0x2，求函數(shù)f(x)=的最大值，并求出相應(yīng)的x值分析：根據(jù)均值不等式：，研究的最值時，一要考慮3x與3x是否為正數(shù)

6、；二要考查式子3x（3x）是否為定值解：0x2, 3x0，3x0f（x）4當且僅當3x3x時，即x時取“”號故函數(shù)f（x）的最大值為4，此時x五、小結(jié) ：本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理及其推廣的幾個重要不等式順利解決了函數(shù)的一些最值問題在解決問題時，我們重點從以下三個方面加以考慮：一是均值不等式成立的條件(各因式或項都取正值)；二是合理尋求各因式或項的積或和為定值；三是確定等號能夠成立只有這樣，我們才能在分析具體問題的特點的過程當中合理運用公式的適當形式和具體方式，解決某些函數(shù)的最值問題六、課后作業(yè)：1解答下列各題：(1)求函數(shù)y2x（x0）的最小值(2)求函數(shù)yx2（x0）的最小值(3)，求函數(shù)的值域；(4)已知，求函數(shù)yx2（42x2）的最大值及相應(yīng)的的值；(5)若時，求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的的值。解：(1)x