2019屆河北省示范性高中高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、第1 1頁共 1818 頁2019 屆河北省示范性高中高三 4 月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1 1 .若集合血二門卜m，：；| ： :-： = r，則 的取值范圍為（）44A.丨B B.-、C C.D.D.- -【答案】C C【解析】【詳解】因為、：、*- - - -；i i，上.汎: :或.：丨：，、丨；，；，H H ,所以：.I I ,解得H、.故選：C C【點睛】本題考查并集及集合間的關(guān)系，二次不等式的解法，不等式的性質(zhì)等知識，考查運算求解，是基礎(chǔ)題.2 2已知匚、一，復(fù)數(shù)二-；-I-I, ,二二 匸，且 為實數(shù)，則（）2 2A.B B.C C. 3 3D D. -3-3【答案】A A

2、【解析】把代入，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，利用虛部為 0 0 求得 m m 值.【詳解】因為 I I -I-I：.|.|. . ：i.i.為實數(shù)，所以-r-.-r-. - - , ,解得二-：.故選：A A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.3 3設(shè)等比數(shù)列的前項和為 ，若 ,，貝 U U（）A A. 6161B B . 6262C C. 6363D D. 7575【答案】C C【解析】分析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求詳解：由題得論-二成等比數(shù)列，所以 3,123,12,成等比數(shù)列，所以 1 1J J = =三m .=-點睛：（1 1）本題主要考查等比數(shù)列的性

3、質(zhì)，意在考查學(xué)生對等比數(shù)列的性質(zhì)的掌握能力. .（2 2）等比數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即X 七.1.1 山：匚|：遼 J J 成等比數(shù)第2 2頁共 1818 頁列 本題利用這個性質(zhì)解答比較簡潔，如果直接代等比數(shù)列前 大 4 4九章算術(shù)是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，它有如下問題：今有圓堡瑽（c c o o ng,ng,周四丈八尺，高一丈一尺。問積幾何？ ”意思是 今有圓柱體形的土筑小城堡， 底面周長為4 4 丈 8 8 尺，高 1 1 丈 1 1 尺。問它的體積是（）？ ”（注：1 1 丈=10=10 尺，取.=）A A . 704704 立方尺B B. 21122112 立方

4、尺C C . 21152115 立方尺D D . 21182118 立方尺【答案】B B【解析】 根據(jù)題意，由底面圓周長，得到底面圓半徑，再由體積公式求出其體積【詳解】設(shè)圓柱體底面圓半徑為：，高為，周長為 因為匕二，所以一=二?C24S2KH所以 （立萬尺） 故選 B B 項 【點睛】本題考查圓柱的底面圓半徑、體積等相關(guān)計算，屬于簡單題5 5.已知向量：滿足卜I I 丨=：i i ,； = ;.；，且在方向上的投影是 V V, ,則實數(shù)二二（）A A.B B.C C. 2 2D D.【答案】D D【解析】先得到的坐標，然后表示出在 方向上的投影，得到關(guān)于 的方程，得到答案 【詳解】向量-,滿足

5、二F F；=門=：所以，上：mW= 7. .=,所以!丨 -1即.：-!解得山：一一二【點睛】本題考查向量的坐標運算，向量投影的表示，屬于簡單題6 6 若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（n n 項和公式，計算量有點第3 3頁共 1818 頁【答案】B B【解析】 將三視圖還原成幾何體，然后分別求出各個面的面積，得到答案【詳解】 由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示, 延長血交 ITIT 于點，其中好-以-訓(xùn)-,，所以表面積 ；- !.本題考查三視圖還原幾何體，求組合體的表面積，屬于中檔題7 7函數(shù)（其中.，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移 個單位長度，得到的圖象，則

6、下列說法正確的是（）A A 函數(shù)為奇函數(shù)B B 函數(shù)為偶函數(shù)C C 函數(shù)的圖象的對稱軸為直線D D 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：小”：二：宀：!I I【答案】D D【解析】 根據(jù)圖像，求出解析式，再得到的解析式，再分別驗證四個選項，得B B. 264264C C. 274274D D . 282282【點睛】故選 B B 項. .【詳解】第 4 4 頁共 1818 頁到答案. .【詳解】由函數(shù)；,：.：.：!.（其中 ，）的部分圖象 可知：二匚35 f心3 n由-，得2?12IE所以:=. = .=:1il代入點得 MiMi： !/!/解得：廣：:，取* =二，得:!：可得：將函數(shù)的圖象向左平移個單

7、位長度得八； ：、 ：.：|-的圖象，由函數(shù)解析式可以驗證只有 二土 J J 的單調(diào)遞增區(qū)間為K KI-I- I-I-F-正確 故選 D D 項 【點睛】本題考查由正弦型函數(shù)部分圖像求解析式，三角函數(shù)圖像的平移變換，正弦型函數(shù)的奇偶性，對稱軸和單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題 8 8 某學(xué)校對 100100 間學(xué)生公寓的衛(wèi)生情況進行綜合評比，依考核分數(shù)分為, 、四個等級，其中分數(shù)在為 等級；分數(shù)在為 等級；分數(shù)在 為 等級；分數(shù)在 肥心 為 等級. .考核評估后，得其頻率分布折線圖如圖所示，估計這 100100 間學(xué) 生公寓評估得分的平均數(shù)是（）A A . 80.2580.25B B. 80.4580.4

8、5C C . 80.580.5D D. 80.6580.65【答案】C C【解析】 根據(jù)折線圖，得到每組的頻率，利用每組的中點值計算出平均數(shù)第5 5頁共 1818 頁由折線圖可知，等級分數(shù)在I I 頻率為等級分數(shù)在|：頻率為 ，二-1717 = =二藥等級分數(shù)在 2：；頻率為 .：J J： （.-.-：! !等級分數(shù)在頻率為：?。? J J： i.li.l 平均數(shù)為、-、；、 2 2 - -:、.故選 C C 項 【點睛】本題可考查通過折線圖計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)，屬于簡單題9 9.定義:皿 Uh =.仇，由集合：*二：亍I I；確定的區(qū)域記作，由曲線:：|：；二：廠和軸圍成的圭寸閉區(qū)域記作 聞，向

9、區(qū)域 內(nèi)投擲 1200012000 個點，則落 入?yún)^(qū)域聞的點的個數(shù)為（）A A. 45004500B B. 40004000C C. 35003500D D. 30003000【答案】A A【解析】 根據(jù)題意求出對應(yīng)區(qū)域的面積比，得出對應(yīng)的概率值，再計算對應(yīng)的頻數(shù)值.【詳解】試驗包含的所有事件對應(yīng)的集合Q Q = (x x, y y) |0|0 2 2 0 0 今 w 11則=2X12X1 = 2 2,畫出函數(shù)的圖象，如圖所示； :-:故落入?yún)^(qū)域 M M 內(nèi)的概率為 P P 土_.上I 28所以落入?yún)^(qū)域 M M 的點的個數(shù)為 120001200045004500 （個）.故選：A A.y y

10、= = mintx,mintx, - - 2x2x 卜 3)3)= =x,x, 0 x0 x 1 1、-2x-2x 十* 1 x | ,第6 6頁共 1818 頁【點睛】本題考查了幾何概型，函數(shù)的性質(zhì)，分段函數(shù)的圖像，考查作圖能力，準確計算是關(guān)鍵, 是中檔題.1010 .已知是定義在 上的偶函數(shù)，且 罕；匕，如果當，卜；.?。簳r， -,則亍 u.u.二()A A . 3 3B B. -3-3C C. -2-2D D . 2 2【答案】D D【解析】由得 周期為，將. 轉(zhuǎn)化為 ，再由偶函數(shù)得 ，代入解析式，得到答案. .【詳解】由,得 心口童惑所以是周期為 8 8 的周期函數(shù)，所以 工.：兀飛門

11、； -又是偶函數(shù)，所以2)=2)=耳 2)=2)=昭.4=2.故選 D D 項 【點睛】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性，屬于中檔題x2y21111.已知雙曲線的右焦點為，直線經(jīng)過點且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線 與雙曲線的右支交于不同兩點 ，人，若，則該雙曲線的離心率 為()A A.B B.C C.D D.【答案】B B【解析】 表示出直線 的方程，與雙曲線聯(lián)立，得到，由-=二 1 1, ,得到第7 7頁共 1818 頁-/：.，得到關(guān)于的方程，結(jié)合+_；-廠，得到離心率【詳解】由題意得直線 的方程為，不妨取“，則.；??；：.且將 i i 代入：=得卜 I卜1設(shè)，T，一沁門，C-肓，八二廠.由

12、麗 *手，得，得宀丁 ),解得 ，所以:/:/：: : ： ：；,= 吩，若對，一 H H 且，使得心 2,則實數(shù) 的取值范圍是()八I -A A B B.C C D D 【答案】C C111 ax - 1【解析】對？x x(0 0,e e),f f(x x)的值域為,5 5), gg (x x)=，推導(dǎo)出 a a0 0,g g (x x)min= g g ( )= 1 1 + + 1 1 nana，作出函數(shù) g g (x x)在(0 0, e e)上的大致圖象，數(shù)形結(jié)合由求 出實數(shù) a a 的取值范圍.【詳解】匸、1113K- I當 時，函數(shù) 的值域為 D D 由可知：當時，與第8 8頁共

13、1818 頁題意不符，故令=；=：,得 ，則. ，所以八門：-：,. | -,作出函1 1 + + InaIna 5 5，解得- a a 【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性， 考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與方程的思想，最值等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.二、填空題1313.已知皿丘乙二項式(m(m + + 汀的展開式中以的系數(shù)比的系數(shù)大 16,16,則皿二 _ .【答案】2 2【解析】 求出二項式的通項公式，求出對應(yīng)項的系數(shù)，建立方程進行求解即可.【詳解】由：IT* :I I -，得r-i-r-i-.J-I、:1,解得門或，因為:匚:，所以 =:-.故答案為 2 2【點睛】

14、本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，求出通項公式以及對應(yīng)項的系數(shù)，建立方程是解決本題的關(guān)鍵.y y xx1414.已知實數(shù)兀，滿足以:;$ 豈，則目標函數(shù) 十為1 1 的最小值為 _ .【答案】-4-4【解析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z z 的最大值.【詳解】y y作出實數(shù) x x, y y 滿足氐 m m 畫 對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影所示；平移直線 y y= = x x，由圖象可知當直線 y y 二 x x 經(jīng)過點 A A 時,1 Z I由 z z= x+2yx+2y - 1 1,得 y y x x ,第9 9頁共 1818 頁直線 y y x x + +廣的縱截

15、距最小，此時 z z 最小.由 I I，得 A A （1 1，-1 1）,此時 z z 的最小值為 z z=- 1 1 - 2 2 - 1 1= - 4 4,本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，是基礎(chǔ)題1515.已知拋物線- ；經(jīng)過點 m m；, ,直線 與拋物線交于相異兩點,，若以L的內(nèi)切圓圓心為（1 1 上），則直線的斜率為_.【答案】-1-1【解析】 先求出拋物線方程，然后直線與拋物線聯(lián)立，得到，點.和圓心橫坐標相同，根據(jù)幾何關(guān)系可知直線和直線：下斜率相反，將所得的代入，得到直線的斜率 【詳解】將點 1 1 二.二代入，可得，所以拋物線方程為，由題意知，

16、直線 斜率存在且不為 0 0，設(shè)直線 的方程為； i i】；i i 二 小代入- ，得 4：； -.：設(shè) A A（xi-yixi-yi），B B（gygy，貝抹I I 乃=4m4m，yiygyiyg = = -4n-4n，又由 rmrm 的內(nèi)切圓心為 ，第1010頁共 1818 頁YT- 2 y3- 2 yi - 2 yj - 2可得.,整理得1- -141從而的方程為匸二 J J 所以直線的斜率為-1.-1.【點睛】 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，設(shè)而不求的方法表示交點間的關(guān)系，屬于中檔題 1616 .數(shù)列 滿足一，且對于任意的 都有，則114- 43aj由題意可得=+n+2+n+2,再由

17、累加法求得 a an n，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，以及裂項相消求和，計算可得所求和.【詳解】由題 =+n+2+n+2齊 一”：，所以譏泊，芷二,，I. z * “(13 + 4曲1 - 1)一：卜、，上式二個式子左右兩邊分別相加得，即劍 蹲冊對2 i i 49S6 987/987.故答案為牙【點睛】 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，累加法的應(yīng)用，以及等差數(shù)列的求和公式，考查數(shù)列 的裂項相消求和，化簡整理的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題 1717 .在 LABCLABC 中，角 A A ,B,C,C 所對的邊分別是a a,b,b ,c,c，且 2sin2sin2B B C C -3cosA-3c

18、osA = = 0.0.(1(1)求角 A A 的大小;(1(1)把 B BC -：- - A A 代入已知條件，得到關(guān)于 cosAcosA 的方程，得到 cosAcosA 的值,【答案】98598?【解析】(n + lKn +R竊=；，當 n=1n=1 時，滿足題意，所以-,從而(2(2)若【答案】B B , a a = =2 2、3 3，求邊長c.c.4 4JI(1)1)3 3 ；(2(2)、. 6 6 .2.2.【解析】從而得到A A 的值 第1111頁共 1818 頁（2 2）由（1 1）中得到的 A A 的值和已知條件，求出 sinesine，再根據(jù)正弦定理求出邊長 C.C.【詳解】

19、2（1 1）因為 A A B B C C - -二，2sin2sin B B C C ：;-;-3cosA3cosA 二 0 0，所以 2sin2sin2A-3cosA=0A-3cosA=0，2 2 1-cos1-cos A A - -3cosA3cosA 0 0，所以 2cos2cos2A A 3cosA3cosA - - 2 2 = =0 0，即 2cosA2cosA - -1 1 cosAcosA 2 20.0.因為 cosAcosA - - i i 1,11,1，所以 cosAcosA 二丄，2 2因為 A A 三 i0,i0,二，所以 A A . .3 3（2 2） sinCsinC

20、 = = sinsin A A B B 二 sinAcosBsinAcosB cosAsinBcosAsinB.3.3.2.21 1 邁、.6 62 2 2 2 2 2 2 24 4在- ABCABC 中，由正弦定理得c ca asinCsinC sinAsinA c c_ _ 2 2、3 3所以 6 6 囲 2 2 - -3 3，解得 2 24 42 2【點睛】本題考查三角函數(shù)公式的運用，正弦定理解三角形，屬于簡單題1818 .一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端. .某種植戶對一塊地的広二；個坑進行播種，每個坑播 3 3 粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子

21、是否發(fā)芽相互獨立 . .對每一個坑而言， 如果至少有兩粒種子發(fā)芽， 則不需要 進行補播種， 否則要補播種 . .（1 1）當 取何值時，有 3 3 個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？（2 2） 當時，用 表示要補播種的坑的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望. .【答案】（1 1）當 或 時，有 3 3 個坑要補播種的概率最大，最大概率為；（2 2）見解析 【解析】（1 1）將有 3 3 個坑需要補種表示成 n n 的函數(shù)，考查函數(shù)隨 n n 的變化情況，即可得 到 n n 為何值時有 3 3 個坑要補播種的概率最大. （2 2） n n= 4 4 時，X X 的所有可能的取值為 0 0, 1 1

22、 , 2 2, 3 3, 4 4分別計算出每個變量對應(yīng)的概率，列出分布列，求期望即可.【詳解】（1 1）對一個坑而言，要補播種的概率 -有 3 3 個坑要補播種的概率為 第1212頁共 1818 頁欲使 最大，只需解得匚.匚:;，因為! - ，所以II = =當時，匚當 時，；所以當 或I-J時，有 3 3 個坑要補播種的概率最大，最大概率為 （2 2）由已知，的可能取值為 0 0，1 1，2 2，3 3，4 4：，所以的分布列為|xo o1 12 234 4IP山51ali_16的數(shù)學(xué)期望【點睛】本題考查了古典概型的概率求法，離散型隨機變量的概率分布，二項分布，主要考查簡單的計算，屬于中檔題

23、.佃.在四棱柱ABCD-AJBICIDi i 中，陽庖 -= 90。, ,，ADCADC =60=60 且 ADAD = = CDCD丄平面，一叮 x U U 二（1 1）證明：幾二一口二.（2 2）求-丘與平面 y y ；所成角的正弦值. .第1313頁共 1818 頁【答案】（1 1）見解析；（2 2）二蘭. .【解析】（1 1）根據(jù)三角形全等證明 ACAC 丄 BDBD，結(jié)合 I I 可得 ACAC 丄平面，故而幾二:; （2 2）以.， 的交點 為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，計算平面的法向量，利用線面角的向量公式求解即可【詳解】(1 1)證明：/ ADAD = CDCD , /

24、 DACDAC = Z DCADCA,又/BADBAD = Z BCDBCD , / BACBAC= Z BCABCA , ABAB = ACAC, ABDABD 也厶 CBDCBD , / ADBADB = Z CDBCDB , Z AODAOD = Z CODCOD = 9090 ACAC 丄 BDBD ,又因為-心平面，所以鼻二-EL-EL ,又所以.I I 平面一口 ,因為:平面 SE.L-SE.L-，所以 E.E.二:.（2 2）以.， 的交點 為原點，過 0 0 作平行于 的直線為 z z 軸，建立如圖所示的空 間直角坐標系&匡 由（ 1 1）及 BBjBBj 二 2AB2

25、AB = = 2,2,知班扣,0 0）, ,（扣刀心%）,，（-瓠 0 0）, ,所以!： I I - -，q ：】：；./：:，宀 I I 丿.，BiCiBiCi n n = = 0 0 設(shè)平面 y y；的法向量為-=，由；，得|x|x = =百所以，令: = -,得 設(shè)：打 I I 與平面: :iiiiii；所成的角為-,則、: : : : ii本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間向量的線面角求法，考查推理計算能力,屬于中檔題.【點睛】第1414頁共 1818 頁22f-222020.已知橢圓:匸 J 門的離心率為，橢圓 ： 二 I I：卜，1經(jīng)過（1 1） 求橢圓的標準方程；（2 2

26、） 設(shè)點珂是橢圓 上的任意一點，射線論與橢圓 交于點，過點兇的直線 與橢圓 有且只有一個公共點，直線 與橢圓交于 ，-兩個相異點，證明：面積為定值. .【答案】（1 1）；（ 2 2）見解析. .【解析】（1 1）根據(jù)橢圓的離心率和把過的點代入橢圓方程，根據(jù)得到的式子求出 （2 2）當直線 斜率不存在時，易得 .?的面積，當直線 斜率存在時，設(shè)為y =與橢圓相切，得到 和.的關(guān)系，再由直線 和橢圓聯(lián)立方程組，得到、，利用弦長公式表示出 / ，再得到 和論門的關(guān)系，由至 U U . .的距離，得到門到.的距離，從而計算出的面積 得到結(jié)論為定值 【詳解】（1 1）解：因為的離心率為,6b2所以，解

27、得 爲x2V211將點.代入二：七，整理得 r1聯(lián)立，得習(xí)- I I ,2 2 = =故橢圓的標準方程為（2 2） 證明：當直線 的斜率不存在時，點為 或，由對稱性不妨?。?由（1 1）知橢圓的方程為，所以有. 將 X=lX=l 代入橢圓的方程得,所以JIJI vilvil .I.I; ;匚、.、當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為上以加將.xy 代入橢圓的方程得! I I .x.x I I ： . . I.I. . .1 1由題意得 I-I-：- I.I.：I I 第1515頁共 1818 頁整理得-將I；山代入橢圓的方程，得 ：.】丁.-1設(shè)：、，円.疋，則可得：叱，心-：解得 -(-舍去),所

28、以7=丸:，從而 IIII : : : :1 1 . .IndInd又因為點到直線的距離為，CT(3-*- 1) Iml所以點到直線的距離為：,所以 IJI.M.IJI.M.- - I IJ J廠 /綜上，的面積為定值廠 . .【點睛】本題考查求橢圓的方程，直線與橢圓相切和相交，設(shè)而不求的方法表示弦長和三角形面 積等，涉及知識點較多，對計算要求較高，屬于難題2121.已知函數(shù)二上；二二二厭 JyJy+二立 J -人旅+. .(1)若曲線亍口玄惑在點處的切線方程是；：=丈八，求函數(shù)在上的值域；(2)當沙=時，記函數(shù)卜：,若函數(shù).：r；-有三個零點，求實數(shù) 的取值范圍. .【答案】(1 1)I I

29、 -1-1 ;(2 2)【解析】【詳解】(1 1)因為；、二-工:廠-：: -7所以r2.r;2.r;4 4 I I - - . . ； -x-,所以-,所以a = 0，即 g(x)g(x) = = 2x2x - - 8x8x 十 7 7 = = 2(x2(x - - 2)2)2 2- -. .所以丨、.：-丨：.】：；1 ! Vjl + X ”価空昧 + 二7 _ 2屈L+ I?3k2+ 1-血12-0-邛y4-+詰嗨一3則 廠 -第1616頁共 1818 頁，莊沢=1,所以在 I I 工廠上的值域為 I I 丨/ . .(2)(2)( i i)當 a a = = 0 0 時，或 x)x)

30、= = 2 2 宀血 I I 7 7 , ,由曲)=0 0, ,得x = 2 士*氣、十邊)，此時函數(shù) y y = = h(x)h(x) 有三個零點，符合題意. .(iiii )當 時， 由:沁=二，得當：時，：O O；：；當.：時，叮 N N-若函數(shù)上 U 有三個零點，則需滿足 J J 丨 且g(2)g(2) 0 0，解得 00 aa呂(iiiiii )當 時， 由得一一 = ,： :.1當，即：，：，： I I 時，因為益心沖弋二加；此時函數(shù).，.匕：；一至多有一個零點，不符合題意；2當 廣，即：.二|時，因為，此時函數(shù)宀沁至多有兩個零點，不符合題意；3當，即二羔* ：時，a若，函數(shù)= /.;至多有兩個零點，不符題意；i218,2若= ;.，得上，因為、，所以圧此時函數(shù)有三個零點，符合題意；若，得，由認匚一存：七：；：，記討宀曲:則|： ! ! r r 丨卜.、:，所以 T T：- -：: :：| |，此時函數(shù). =；有四個零點，不符合題意 綜上所述：滿足條件的實數(shù) 【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難題.笠=百十 2cosa2cosa2222.在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以直角坐標系的原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系. .(1)求圓的極坐標方程；(2)設(shè)曲線 的極坐標方