常微分方程A考試標(biāo)準(zhǔn)答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上安徽大學(xué)20112012學(xué)年第一學(xué)期 常微分方程 （A卷）考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、 選擇題（每小題5分，共20分）（1） (a)；（2） (d)；（3） (d)；（4）(b)；二、請(qǐng)判斷下面各題是否正確，并簡(jiǎn)述理由（每小題5分，共15分）（1）正確 2分事實(shí)上，在上滿足局部-條件，因此方程滿足初始條件的解存在且唯一 .5分（2）正確 2分事實(shí)上，作變換，則原方程可化為4分然后用常數(shù)變易法知可解 5分（3）錯(cuò)誤 2分事實(shí)上，二階線性方程與一類特殊的線性微分方程組矛盾.5分三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）（1）解：方程變形為，令， 則， 5分 可得，求解得，7分

2、由初始條件知，。 10分（2）解：方程可寫(xiě)為兩邊關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，得到當(dāng)時(shí)，計(jì)算因此5分上式兩邊乘以并積分之，得到7分得到方程的通解為9分當(dāng)時(shí)，由方程可以直接得到也是方程的解.10分（3）解：作極坐標(biāo)2分5分將原式兩邊關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，得7分其通解為9分由初始條件求得特解為10分（4）解：對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程為其通解為當(dāng)時(shí)，求得有一特解為，于是其有由初始條件代入，有特解為。5分當(dāng)時(shí)，求得的特解為，于是有，由條件在時(shí)連續(xù)可微，故滿足，因此有。于是有特解為10分（5）解：計(jì)算，得到2分當(dāng)時(shí)，計(jì)算，得到；當(dāng)時(shí)，計(jì)算，得到5分則基解矩陣為7分利用公式，計(jì)算得10分四、應(yīng)用題（10分）（1）解：設(shè)時(shí)刻雨滴的體積為

3、，表面積為，半徑為，由題意知5分而，將其帶入上式有,即,積分之有由于，則10分五、綜合題（第1小題3分，第2小題2分，共5分）解：（1）對(duì)方程兩邊求導(dǎo)數(shù)，有，對(duì)原方程，設(shè)，即有，因此有 3分（2）這是二階常系數(shù)齊線性微分方程，通解為。而原方程為一階方程，代入原方程可得解為 2分安徽大學(xué)20 11 20 12 學(xué)年第 一 學(xué)期 常微分方程 （B卷）考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)二、 選擇題（每小題5分，共20分）1(d) ；2.(c) ；3. (b) ；4. (c) 二、請(qǐng)判斷下面各題是否正確，并簡(jiǎn)述理由（每小題5分，共15分）（1）正確 2分 事實(shí)上，在點(diǎn)附近連續(xù)，則由解的存在唯一性知結(jié)論成立 5

4、分（2）正確 2分 事實(shí)上，直接用積分因子代人5分（3）錯(cuò)誤 2分 事實(shí)上，反證，假設(shè)結(jié)論成立.不妨設(shè)它為一個(gè)線性微分方程組的解矩陣，計(jì)算，而線性無(wú)關(guān)，矛盾. 5分三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）（1）解：依據(jù)定義域知，設(shè)，原方程等價(jià)的微分方程為，其對(duì)應(yīng)的齊線性微分方程為其通解為 5分設(shè)原方程有如下形式特解7分代入原方程有，即通解為10分（2）解：令，則有 5分其特解為 7分整理得 9分有特解 10分（3）解：由積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，得到5分解得8分由初始條件求得特解為10分（4）解：(a)直接代入驗(yàn)證 3分(b)求另一線性無(wú)關(guān)解易有基本解組5分利用常數(shù)變易法，設(shè)原方程有解，則滿足7分解得8分所以通解為10分（5）解：，可交換，所以5分 利用公式，計(jì)算得 10分四、應(yīng)用題（10分）解：設(shè)時(shí)刻細(xì)菌數(shù)的表達(dá)式為，則由題意知，這是齊次線性微分方程，其通解為由初始條件得，特解有5分依條件，代入，得，于是 。 10分五、綜合題（第1小題3分，第2小題2分，共5分）解：（1）對(duì)方程兩邊求導(dǎo)數(shù)，