【論文】利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題探微

1、【論文】利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題探微趙品華（高中數(shù)學(xué)老師）中學(xué)數(shù)學(xué)引入導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容使教學(xué)內(nèi)容增添了更多的變量數(shù)學(xué)，拓展了學(xué)習(xí)和研究的領(lǐng)域，高考中增加的這部分內(nèi)容，可以加強(qiáng)對考生的的辯證思維的教育，是考生能以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的變化率，為解決函數(shù)極值問題提供更有效的途徑、更簡捷的手段，加深對函數(shù)及其性質(zhì)的理解和直觀地認(rèn)識。從2000年開始，高考新課程卷已連續(xù)使用了八屆，縱觀這 些試題，不難發(fā)現(xiàn)：一是試題向新增內(nèi)容傾斜，新增內(nèi)容相關(guān)試題所占比例高達(dá)60%；二是高考熱點(diǎn)試題聚焦在向量、導(dǎo)數(shù)、概率為紐帶的知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處。以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，以考查函數(shù)諸多性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)極值理論、單調(diào)性質(zhì)、幾何意義及其應(yīng)

2、用為目標(biāo)，是高考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)交匯試題的顯著特點(diǎn)和命題趨向。下面對其考點(diǎn)進(jìn)行分析，希望能對同學(xué)們做好復(fù)習(xí)備考工作，提升解題能力有所幫助和啟示。一、 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用設(shè)y=f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f(x)在某點(diǎn)取得極值的充要條件是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零或不存在且該點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號；定義在閉區(qū)間上的初等函數(shù)必存在最值，它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)取得。高考常結(jié)合求函數(shù)極值（最值）、參數(shù)取值范圍、解決數(shù)學(xué)應(yīng)用等問題考查導(dǎo)數(shù)最值性質(zhì)在函數(shù)問題中的應(yīng)用。例1、 求函數(shù)在0，2上的最大值和最小值。（2004年全國高考題）解：令解得x=1或x=-2（舍去）。當(dāng)故為函數(shù)f(x)的極大值。又故在0，2上函數(shù)

3、f(x)的最小值為f(0)=0,f(x)的最大值為f(1)=。本小題主要考察函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)、判斷函數(shù)的最大值和最小值以及綜合運(yùn)算能力，因此，平常需要加強(qiáng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算的訓(xùn)練，特別是對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算，這部分既是考生的薄弱環(huán)節(jié)又是考試熱點(diǎn)。例2、（2004年高考理科天津卷）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值，討論f(1)和f(-1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值。解：，依題意得，即，解得：a=1,b=0，故：x=1或x=-1。若在上是增函數(shù)，且在(1,+)也是增函數(shù)；若上是減函數(shù)，所以f(-1)是極大值，f(1)是

4、極小值。本題是一道很基礎(chǔ)的題，考察了函數(shù)和函數(shù)極值的概念，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)以及分析和解決問題的能力，但這題所給的函數(shù)是一個(gè)三次函數(shù)，求三次函數(shù)的極值，以考生現(xiàn)有的知識水平，只能用導(dǎo)數(shù)來求。這說明一定要讓學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值或最值的方法。例3、已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值0，則f(2)= 。錯(cuò)解：由題意得：解之得：于是f(x)=x3+4x2-11x+16或f(x)=x3-3x2+9，所以f(2)的值是18或11。分析：粗略一看，不容易發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)一步檢驗(yàn)，當(dāng)f(x)=x3-3x2+9時(shí)，此時(shí)，盡管滿足了，但在1的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號為同號，亦即x=1不是f(x

5、)=x3-3x2+3x+9的極值點(diǎn)。其錯(cuò)誤的根源是在于忽略了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值的第三步判斷在極值點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的符號。因而，正確的答案應(yīng)為f(2)=18。二、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性問題中的應(yīng)用設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果則f(x)為增函數(shù)；如果，則f(x)為減函數(shù)。反之亦然。高考常以函數(shù)單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性證明等問題為載體，考查導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性質(zhì)和分類討論思想的應(yīng)用。例4、在（a,b）內(nèi)是f(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增的（ ）A、充分非必要條件B、必要非充分條件C、充要條件D、既非充分又非必要條件分析：該題一般都認(rèn)為是選C，依照教科書上的結(jié)論：“一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)

6、區(qū)間內(nèi)，那么y=f(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，那么y=f(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)?！敝洛e(cuò)的原因是沒有準(zhǔn)確理解上述這段話的邏輯關(guān)系，事實(shí)上這是一個(gè)充分非必要條件。例如，函數(shù)f(x)=x3在（-，+）是單調(diào)遞增的，然而卻有。例5、已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)。（1） 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2） 求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，1上的最大值。（2004年湖南高考題）（3） 解：（1）（2）。 。 。這道題主要考察應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)，也要求對指數(shù)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算必須熟練掌握，計(jì)算要準(zhǔn)確，否則前功盡棄。如果對此題只是從單調(diào)函數(shù)的定義出發(fā)，則難以再變形到

7、能與0比較，從而導(dǎo)致無法解決此題。因此，此題不再是僅停留在考察函數(shù)的單調(diào)性上，而是考察導(dǎo)數(shù)作為工具的靈活運(yùn)用。變式：已知在區(qū)間-1，1上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A。本題的題設(shè)和所求剛好與上題相反，主要考察的知識點(diǎn)也是函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式的有關(guān)知識，考察數(shù)形結(jié)合及分類思想。三、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)值域問題中的應(yīng)用。對于函數(shù)的值域，一般是利用換元法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等，但有時(shí)這些傳統(tǒng)方法會(huì)帶來很復(fù)雜的計(jì)算或分類討論等，而利用導(dǎo)數(shù)就可以很簡潔的解決。例6、求函數(shù)的值域。解：設(shè)則令，又。本題中，也可先求出函數(shù)的定義域-1，6，注意到，可采用三角代換法或數(shù)形結(jié)合法。然而這不是很容易的。若利

8、用導(dǎo)數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性和最值，顯然較為簡捷。四、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)不等式證明問題上的應(yīng)用。構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性方面的性質(zhì)，可解決不等式證明、參數(shù)取值范圍等問題。設(shè)置此類試題，旨在考查導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)性、工具性、現(xiàn)代性的作用，以強(qiáng)化數(shù)學(xué)的應(yīng)用知識。例7、已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=xlnx。求函數(shù)f(x)的最大值；設(shè)0<a<b，證明：（2004年四川高考題）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+）。令得x=0，在x=0附近，由左正到右負(fù)，故函數(shù)f(x)有最大值為f(0)=0。設(shè)則當(dāng)0<x<a時(shí)，因此，F(xiàn)（x）在（0,a）上為減函數(shù)當(dāng)a<x時(shí)，F(xiàn)（x）在（a,+

9、）上為增函數(shù)，從而，當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)(x)有最小值F(a)。因?yàn)镕(a)=0，b>a，所以設(shè)G(x)=F(x)-(x-a)ln2，則當(dāng)x>0時(shí)，因?yàn)镚(a)=0， b>a，所以G(b)<0，即本題是不等式的證明問題，通過構(gòu)造函數(shù)，然后求導(dǎo)，再利用函數(shù)的單調(diào)性來證明，從更深的層次考察了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)基本性質(zhì)的掌握情況和綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，導(dǎo)數(shù)和不等式的結(jié)合考察往往離不開函數(shù)的單調(diào)性。五、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)實(shí)際問題中的應(yīng)用。設(shè)計(jì)導(dǎo)數(shù)與此同時(shí)數(shù)學(xué)建模問題，旨在考查將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)或不等知識去解決最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與實(shí)踐能力。求此類問題時(shí)，可從給定

10、的數(shù)量關(guān)系中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖儔浩髁?，建立函?shù)模型，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，確定運(yùn)用導(dǎo)數(shù)最值理論或不等式性質(zhì)去解決問題。例8、（2004重慶卷）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量x（噸）與每噸產(chǎn)品的價(jià)格P（元/噸）之間的關(guān)系為P=50000+200x元，問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？（利潤=收入-成本）解：每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤為由解得：x=200（x=-200舍去）故最大值為f(200)=3150000（元）答：每月生產(chǎn)20噸時(shí)，利潤達(dá)到最大，最大利潤為315萬。這是一道實(shí)際生產(chǎn)中的最大值值問題，一般先建立目標(biāo)函數(shù)，通過配湊變形轉(zhuǎn)化為符合二元或三元均值不等式

11、的形式求最值，但配湊過程是一個(gè)難點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識求目標(biāo)函數(shù)的最值則變得非常簡單。六、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)圖象切線問題中的應(yīng)用。函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線y=f(x)在點(diǎn)（x0,f(x0)處切線的斜率。高考常結(jié)合函數(shù)圖象的切線及其面積、不等式等問題對導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用進(jìn)行考查。例9、設(shè)曲線y=ex(x0)在點(diǎn)M(t,et)處的切線L與x軸、y軸圍成三角形面積為S(t)，（1）求切線L的方程；（2）求S(t)的最大值。（2004年浙江高考題）解：（1），故kt=-et切線L的方程為y-et=-et(x-t)。即etx+y-et(t+1)=0(2)令y=0得x=t+1，令x=0得y=et(t+1)當(dāng)0

12、<t<1時(shí)，當(dāng)t>1時(shí)。故S(t)的最大值為。例10、92004江蘇南通調(diào)研題）過三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)上異于對稱中心的任一點(diǎn)P1(x1,y1)作f(x)圖像的切線，切于另一點(diǎn)P2(x2,y2)，再過P2(x2,y2)作f(x)圖像的切線，和f(x)切于點(diǎn)P3(x3,y3)，如此下去，得到P4(x4,y4)、P5(x5,y5)、···、Pn(xn,yn)，1） 求xn與xn-1的關(guān)系2） 試問當(dāng)n時(shí)，點(diǎn)Pn趨近于坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的哪一點(diǎn)？解：1），設(shè)直線PnPn-1是過點(diǎn)Pn且與f(x)的圖像切于點(diǎn)Pn-1的切線，則一

13、方面切線的斜率為，另一方面切線的斜率為：=所以即又因?yàn)?，所以，即?） 利用待定系數(shù)法易知：，故數(shù)列為等比數(shù)列，所以，即，則，不難看出當(dāng)n時(shí)，點(diǎn)列P1、P2、P3、Pn趨近于對稱中心。七、合理構(gòu)造函數(shù)，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)除了前面提到的利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)數(shù)問題類型之外，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用還非常廣泛，只要細(xì)心去挖掘，經(jīng)常會(huì)有以外的收獲。例11、求證：證明：，兩端對x求導(dǎo)數(shù)，得：，令x=1得：點(diǎn)評：本題的解題思路是建立在敏銳的洞察式子特征的基礎(chǔ)上的，聯(lián)想熟悉的函數(shù)關(guān)系式，并求導(dǎo)和賦值，又隱去了函數(shù)的表象。同樣的思路和方法可借下面一道題：變式：的值。（利用兩次求導(dǎo)即得）例12、對某一目標(biāo)射擊，直到擊中為止，如果每次射擊的命中率為p，求1）射擊次數(shù)的分布列；2）射擊次數(shù)的期望；3）射擊次數(shù)的方差。解：1）分布列為：123n概率pp(1-p)2) 。設(shè)1-p=q，顯然0<q<13）設(shè)1-p=q，則所以。點(diǎn)評：本題的特色是用導(dǎo)數(shù)避開了一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的數(shù)列的求和采用的錯(cuò)位相減法，尤其是在求方差時(shí)，“反向”“正向”連用兩回導(dǎo)數(shù)，退到了等比數(shù)列的求和，再求導(dǎo)，方便了運(yùn)算。這兩道題的解法，依賴于解題者熟悉常