帶電粒子在磁場中運(yùn)動最小面積

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上帶電粒子在磁場中運(yùn)動-最小面積1、如圖所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域.為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑.重力忽略不計(jì)。2、一質(zhì)量為、帶電量為的粒子以速度從O點(diǎn)沿軸正方向射入磁感強(qiáng)度為的一圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區(qū)后，從處穿過軸，速度方向與軸正向夾角為30°，如圖所示（粒子重力忽略不計(jì)）。試求：（1）圓形磁場區(qū)的最小面積；

2、（2）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)到達(dá)b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間； （3）b點(diǎn)的坐標(biāo)。 3、在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為、電量為），從坐標(biāo)O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖所示?，F(xiàn)加一個(gè)垂直于平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場，要求這些電子穿過磁場后都能平行于軸向x正方向運(yùn)動，求符合該條件磁場的最小面積。 4、如圖，ABCD是邊長為的正方形。質(zhì)量為、電荷量為的電子以大小為的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場。電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場。不計(jì)重力，求：（1）此勻強(qiáng)磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大??；（2）此勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小

3、面積。5、如圖所示，直角坐標(biāo)系第一象限的區(qū)域存在沿軸正方向的勻強(qiáng)電場?，F(xiàn)有一質(zhì)量為，電量為的電子從第一象限的某點(diǎn)（，）以初速度沿軸的負(fù)方向開始運(yùn)動，經(jīng)過軸上的點(diǎn)（，0）進(jìn)入第四象限，先做勻速直線運(yùn)動然后進(jìn)入垂直紙面的矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場左邊界和上邊界分別與軸、軸重合，電子偏轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，并沿軸的正方向運(yùn)動，不計(jì)電子的重力。求 （1）電子經(jīng)過點(diǎn)的速度；（2）該勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場的最小面積。 6、如圖所示，在豎直平面內(nèi)，虛線MO與水平線PQ相交于0，二者夾角=30°，在MOP范圍內(nèi)存在豎直向下的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E，MOQ上方的某個(gè)區(qū)域有垂直紙面

4、向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，0點(diǎn)處在磁場的邊界上.現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v(0vE/B)垂直于MO從O點(diǎn)射入磁場，所有粒子通過直線MO時(shí)，速度方向均平行于PQ向左。.不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：（1）速度最大的粒子自O(shè)點(diǎn)射入磁場至返回水平線POQ所用的時(shí)間.（2）磁場區(qū)域的最小面積.（3）根據(jù)你以上的計(jì)算可求出粒子射到PQ上的最遠(yuǎn)點(diǎn)離O的距離，請寫出該距離的大小。7、如圖所示，在傾角為30°的斜面OA的左側(cè)有一豎直擋板，擋板上有一小孔P,現(xiàn)有一質(zhì)量、電量帶電粒子，從小孔以速度水平射向磁感應(yīng)強(qiáng)度、方向垂直于紙平面向里的一正三角形區(qū)域。該粒子

5、在運(yùn)動過程中始終不碰及豎直擋板，且在飛出磁場區(qū)域后能垂直打在斜面OA上，粒子重力不計(jì)。求：（1）粒子在磁場中作圓周運(yùn)動的半徑R； （2）粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t； （3）正三角形磁場區(qū)域的最小邊長L帶電粒子在磁場中運(yùn)動-最小面積近年來在考題中多次出現(xiàn)求磁場的最小范圍問題；或帶電粒子在空間運(yùn)動范圍問題，這類題對學(xué)生的平面幾何知識與物理知識的綜合運(yùn)用能力要求較高。其難點(diǎn)在于帶電粒子的運(yùn)動軌跡不是完整的圓，其進(jìn)入邊界未知的磁場后一般只運(yùn)動一段圓弧后就飛出磁場邊界，運(yùn)動過程中的臨界點(diǎn)（如運(yùn)動形式的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、軌跡的切點(diǎn)、磁場的邊界點(diǎn)等）難以確定。下面以實(shí)例進(jìn)行分析。一、 磁場的邊界線為圓形【例題1-1】如

6、圖所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域.為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑.重力忽略不計(jì)。解：質(zhì)點(diǎn)在磁場中作半徑為R的圓周運(yùn)動,洛倫茲力提供做向心力：qvB(Mv2)/R， 得R(MV)/(qB)根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)在磁場區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周,這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切。過a點(diǎn)作平行于x軸的直線,過b點(diǎn)作平行于y軸的直線，則與這兩直線均相距R的O點(diǎn)就是圓

7、周的圓心。質(zhì)點(diǎn)在磁場區(qū)域中的軌道就是以O(shè)為圓心、R為半徑的圓(圖中虛線圓)上的圓弧 MN，M點(diǎn)和N點(diǎn)應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上。 在通過M、N兩點(diǎn)的不同的圓周中，最小的一個(gè)是以MN連線為直徑的圓周。所以本題所求的圓形磁場區(qū)域的最小半徑為：所求磁場區(qū)域如圖中實(shí)線圓所示。【例1-2】一質(zhì)量為、帶電量為的粒子以速度從O點(diǎn)沿軸正方向射入磁感強(qiáng)度為的一圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區(qū)后，從處穿過軸，速度方向與軸正向夾角為30°，如圖所示（粒子重力忽略不計(jì)）。試求：（1）圓形磁場區(qū)的最小面積；（2）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)到達(dá)b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間； （3）b點(diǎn)的坐標(biāo)。&#

8、160;解析：（1）由題可知，粒子不可能直接由點(diǎn)經(jīng)半個(gè)圓周偏轉(zhuǎn)到點(diǎn)，其必在圓周運(yùn)動不到半圈時(shí)離開磁場區(qū)域后沿直線運(yùn)動到點(diǎn)?？芍?，其離開磁場時(shí)的臨界點(diǎn)與點(diǎn)都在圓周上，到圓心的距離必相等。如圖2，過點(diǎn)逆著速度的方向作虛線，與軸相交，由于粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的半徑一定，且圓心位于軸上，距O點(diǎn)距離和到虛線上點(diǎn)垂直距離相等的點(diǎn)即為圓周運(yùn)動的圓心，圓的半徑。由，得。弦長為：要使圓形磁場區(qū)域面積最小，半徑應(yīng)為的一半，即：， 面積 （2）粒子運(yùn)動的圓心角為1200，時(shí)間 。（3）距離 ，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）。 點(diǎn)評：此題關(guān)鍵是要找到圓心和粒子射入、射出磁場邊界的臨界點(diǎn)，注意圓心必在兩

9、臨界點(diǎn)速度垂線的交點(diǎn)上且圓心到這兩臨界點(diǎn)的距離相等；還要明確所求最小圓形磁場的直徑等于粒子運(yùn)動軌跡的弦長?！纠?-3】在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為、電量為），從坐標(biāo)O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖所示?，F(xiàn)加一個(gè)垂直于平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場，要求這些電子穿過磁場后都能平行于軸向x正方向運(yùn)動，求符合該條件磁場的最小面積。 解析：電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供做向心力：，半徑是確定的，設(shè)磁場區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動軌道如圖a所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，其中圓O1和圓O2為從圓點(diǎn)射出，經(jīng)第一象限的所有圓中的最低和最高位置的兩個(gè)圓。圓O2在軸上方的

10、個(gè)圓弧odb就是磁場的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑的圓弧O1OmO2 。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場，故由幾何知識知電子的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)。可證明，磁場下邊界為一段圓弧，只需將這些圓心連線（圖中虛線O1O2）向上平移一段長度為的距離即圖b中的弧ocb就是這些圓的最高點(diǎn)的連線，即為磁場區(qū)域的下邊界。兩邊界之間圖形的陰影區(qū)域面積即為所求磁場區(qū)域面積： 還可根據(jù)圓的知識求出磁場的下邊界。設(shè)某電子的速度V0與x軸夾角為，若離開磁場速度變?yōu)樗椒较驎r(shí)，其射出點(diǎn)也就是軌跡與磁場邊界的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），從圖c中看出，即（x0，y0）

11、，這是個(gè)圓方程，圓心在（0，R）處，圓的1/4圓弧部分即為磁場區(qū)域的下邊界。 點(diǎn)評：這道題與前三題的區(qū)別在于要求學(xué)生通過分析確定磁場的形狀和范圍，磁場下邊界的處理對學(xué)生的數(shù)理結(jié)合能力和分析能力要求較高?！纠}1-4】（2009年海南卷，第16題）如圖，ABCD是邊長為的正方形。質(zhì)量為、電荷量為的電子以大小為的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場。電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場。不計(jì)重力，求：（1）此勻強(qiáng)磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大??；（2）此勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積。解：（1）設(shè)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。令圓弧是自C點(diǎn)垂直于B

12、C入射的電子在磁場中的運(yùn)行軌道。電子所受到的磁場的作用力 應(yīng)指向圓弧的圓心，因而磁場的方向應(yīng)垂直于紙面向外。圓弧的圓心在CB邊或其延長線上。依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B 點(diǎn)即為圓心，圓半徑為，按照牛頓定律有 聯(lián)立式得 （2）由（1）中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小，可知自點(diǎn)垂直于入射電子在A點(diǎn)沿DA方向射出，且自BC邊上其它點(diǎn)垂直于入射的電子的運(yùn)動軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧是所求的最小磁場區(qū)域的一個(gè)邊界。為了決定該磁場區(qū)域的另一邊界，我們來考察射中A點(diǎn)的電子的速度方向與BA的延長線交角為（不妨設(shè)）的情形。該電子的運(yùn)動軌跡如右圖所示。圖中，圓弧的圓心為O，pq垂直于BC邊 ，

13、由式知，圓弧的半徑仍為，在以D為原點(diǎn)、DC為x軸，AD為軸的坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的坐標(biāo)為 這意味著，在范圍內(nèi)，p點(diǎn)形成以D為圓心、為半徑的四分之一圓周，它是電子做直線運(yùn)動和圓周運(yùn)動的分界線，構(gòu)成所求磁場區(qū)域的另一邊界。因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場區(qū)域時(shí)分別以和為圓心、為半徑的兩個(gè)四分之一圓周和所圍成的，其面積為評分參考：本題10分。第（1）問4分，至式各1分；得出正確的磁場方向的，再給1分。第（2）問6分，得出“圓弧是所求磁場區(qū)域的一個(gè)邊界”的，給2分；得出所求磁場區(qū)域的另一個(gè)邊界的，再給2分；式2分。二、磁場的邊界線為矩形【例2】如圖所示，直角坐標(biāo)系第一象限的區(qū)域存在沿軸正方向的勻強(qiáng)電場?，F(xiàn)有一質(zhì)量為

14、，電量為的電子從第一象限的某點(diǎn)（，）以初速度沿軸的負(fù)方向開始運(yùn)動，經(jīng)過軸上的點(diǎn)（，0）進(jìn)入第四象限，先做勻速直線運(yùn)動然后進(jìn)入垂直紙面的矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場左邊界和上邊界分別與軸、軸重合，電子偏轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，并沿軸的正方向運(yùn)動，不計(jì)電子的重力。求 （1）電子經(jīng)過點(diǎn)的速度；（2）該勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場的最小面積。 解析：（1）電子從點(diǎn)開始在電場力作用下作類平拋運(yùn)動運(yùn)動到點(diǎn)，可知豎直方向：，水平方向： 解得。 而，所以電子經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的速度為：，設(shè)與方向的夾角為，可知，所以300。 （2）如圖，電子以與成30°進(jìn)入第四象限后先沿做勻速直

15、線運(yùn)動，然后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動恰好以沿軸向上的速度經(jīng)過點(diǎn)?？芍獔A周運(yùn)動的圓心一定在軸上，且點(diǎn)到O點(diǎn)的距離與到直線上M點(diǎn)（M點(diǎn)即為磁場的邊界點(diǎn)）的垂直距離相等，找出點(diǎn)，畫出其運(yùn)動的部分軌跡為弧MNO，所以磁場的右邊界和下邊界就確定了。 設(shè)偏轉(zhuǎn)半徑為，由圖知，解得，方向垂直紙面向里。 矩形磁場的長度，寬度。 矩形磁場的最小面積為：點(diǎn)評：此題中粒子進(jìn)入第四象限后的運(yùn)動即為例1中運(yùn)動的逆過程，解題思路相似，關(guān)鍵要注意矩形磁場邊界的確定。 三、磁場的邊界線為三角形【例3-1】如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為，帶電量的粒子在BC邊上的M點(diǎn)以速度垂直于BC邊飛入正三角

16、形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點(diǎn)（CMCN）垂真于AC邊飛出ABC，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€(gè)垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個(gè)也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計(jì)粒子的重力。試求： （1）粒子在磁場里運(yùn)動的軌道半徑及周期T； （2）該粒子在磁場里運(yùn)動的時(shí)間t；（3）該正三角形區(qū)域磁場的最小邊長；解析：（1）由和， 得：   ，     （2）由題意可知，粒子剛進(jìn)入磁場時(shí)應(yīng)該先向左偏轉(zhuǎn)，不可能直接在磁場中由M點(diǎn)作圓周運(yùn)動到N點(diǎn)，當(dāng)粒子剛進(jìn)入磁場和剛離開磁場時(shí)，其速

17、度方向應(yīng)該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑，如圖作出圓O，粒子的運(yùn)動軌跡為弧GDEF，圓弧在點(diǎn)與初速度方向相切，在F點(diǎn)與出射速度相切。畫出三角形，其與圓弧在D、E兩點(diǎn)相切，并與圓交于F、G兩點(diǎn)，此為符合題意的最小磁場區(qū)域。由數(shù)學(xué)知識可知FOG600，所以粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角為3000，運(yùn)動的時(shí)間   （3）連接并延長與交與點(diǎn)，由圖可知， 該正三角形區(qū)域磁場的最小邊長處在磁場的邊界上.現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v(0vE/B)垂直于MO從O點(diǎn)射入磁場，所有粒子通過直線MO時(shí)，速度方向均平行于PQ向左。.不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：（1

18、）速度最大的粒子自O(shè)點(diǎn)射入磁場至返回水平線POQ所用的時(shí)間.（2）磁場區(qū)域的最小面積.（3）根據(jù)你以上的計(jì)算可求出粒子射到PQ上的最遠(yuǎn)點(diǎn)離O的距離，請寫出該距離的大?。ㄖ灰獙懗鲎钸h(yuǎn)距離的最終結(jié)果，不要求寫出解題過程）【例3-2】如圖所示，在傾角為30°的斜面OA的左側(cè)有一豎直擋板，擋板上有一小孔P,現(xiàn)有一質(zhì)量、電量帶電粒子，從小孔以速度水平射向磁感應(yīng)強(qiáng)度、方向垂直于紙平面向里的一正三角形區(qū)域。該粒子在運(yùn)動過程中始終不碰及豎直擋板，且在飛出磁場區(qū)域后能垂直打在斜面OA上，粒子重力不計(jì)。求：（1）粒子在磁場中作圓周運(yùn)動的半徑R； （2）粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t； （3）正三角形磁場區(qū)域的最小邊長L解：（1）帶電粒子從b點(diǎn)進(jìn)入磁場，從c點(diǎn)離開磁場，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供做向心力：則粒子在磁場中作圓周運(yùn)動的半徑（2）粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間,而所以 （3）正三角形磁場區(qū)域的最小邊長 點(diǎn)評：這道題中粒子運(yùn)動軌跡和磁場邊界臨界點(diǎn)的確定比較困難，必須將射入速度與從AC邊射出速度的反向延長線相交后根據(jù)運(yùn)動半徑已知的特點(diǎn)，結(jié)合幾何知識才能確定。另外，在計(jì)算最小邊長時(shí)一定要注意圓周運(yùn)動的軌跡并不是三角形磁場的內(nèi)切圓