最短距離問題將軍飲馬

1、 第一講 轉(zhuǎn)化思想一、 線段和、差“牧童放?！眴栴}是數(shù)學(xué)問題中的經(jīng)典題目，主要轉(zhuǎn)化成“兩點(diǎn)之間線段最短問題”，在最近幾年的中招試題及競賽中，該問題經(jīng)過不同的轉(zhuǎn)化及演變，一 一浮現(xiàn)在我們的眼前，使我們目不暇接，顧此失彼。因此，我們有必要作一下總結(jié)，找出其中的規(guī)律，以做到屢戰(zhàn)屢勝的效果。原題：如圖，一位小牧童，從A地出發(fā)，趕著牛群到河邊飲水，然后再到B地，問怎樣選擇飲水的地點(diǎn)，才能使牛群所走的路程最短？ AB延伸一：某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線L上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向新落成的A、B兩個(gè)居民小區(qū)送電。已知兩個(gè)居民小區(qū)A、B分別到主干線的距離AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4

2、千米。（1）如果居民小區(qū)A、B位于主干線L的兩旁，如圖（1）所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總路線最短？最短線路的長度是多少千米？（2）如果居民小區(qū)A、B位于主干線L的同旁，如圖（2）所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總路線最短？此時(shí)分支點(diǎn)M與A1的距離是多少千米？ A B B A A B A BLL延伸二：如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動點(diǎn)，則DN+MN的最小值是多少？ABCDMN 延伸三：如圖，A是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，B是弧AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動點(diǎn)，O的半徑為1，求AP+BP的最小值。 ABMNOP延伸四：如圖所示，在邊長為6的菱形ABCD中,DAB

3、=600，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一動點(diǎn)，則EF+BF的最小值是多少？ABCDEF 延伸五：在直角坐標(biāo)系XOY中x軸上的動點(diǎn)M（x,0）到定點(diǎn)P（5，5），Q（2，1）的距離分別為MP和MQ，那么當(dāng)MP+MQ取最小值時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=? xyoMPQ例，如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB90°，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證EF （ABCD）二、面積問題例，如圖， 中，BC4， ，P為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD/AB，交AC于D。連結(jié)AP，問點(diǎn)P在BC上何處時(shí)， APD 面積最大？ 三、中考題如圖，已知，是斜邊的中點(diǎn)，過作于，連結(jié)交于；過作于，連結(jié)交于；過作于，BCAE1E

4、2E3D4D1D2D3如此繼續(xù)，可以依次得到點(diǎn)，分別記，的面積為，.則=_（用含的代數(shù)式表示）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x的正半軸上，OA=2，OC=3，過原點(diǎn)O作AOC的平分線交AB與點(diǎn)D，連接DC.過點(diǎn)D作DEDC交OA與點(diǎn)E. 求過點(diǎn)E,D,C的拋物線的解析式. 將DEC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點(diǎn)F,另一邊與線段OC交于點(diǎn)G.如果DF與第（1）題中的拋物線交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為6/5，那么EF=2GO是否成立？請說明理由. 對于第（2）題中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的

5、交點(diǎn)P與點(diǎn)C，G構(gòu)成的PCG是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.yxABEDCO如圖10，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M，CG與AD相交于點(diǎn)N求證：（1）；（2）如圖，在ABD和ACE中，AB=AD，AC=AE，BAD=CAE，連結(jié)BC、DE相交于點(diǎn)F，BC與AD相交于點(diǎn)G（1）試判斷線段BC、DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（2）如果ABC=CBD，那么線段FD是線段FG和FB的比例中項(xiàng)嗎？為什么？如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，分別交于點(diǎn)（1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；ABCDEPOR（2）求如圖