橢圓與雙曲線中點(diǎn)弦斜率公式及推廣

1、橢圓與雙曲線中點(diǎn)弦斜率公式及其推論尤溪文公高級(jí)中學(xué) 鄭明淮圓錐曲線中點(diǎn)弦問題是問題在高考中的一個(gè)常見的考點(diǎn).其解題方法一般是利用點(diǎn)差法和韋達(dá)定理，設(shè)而不求.但一般來說解題過程是相當(dāng)繁瑣的.若能巧妙地利用下面的定理則可以方便快捷地解決問題.定理1(橢圓中點(diǎn)弦的斜率公式)：設(shè)為橢圓弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有：證明：設(shè)，則有， 兩式相減得：整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以，所以定理2(雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式)：設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有 證明：設(shè)，則有， 兩式相減得：整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以，所以例1、已知橢圓，的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（ ）

2、A、 B、 C、 D、分析：本題中弦的斜率 且，根據(jù)定理有，即，解得，所以B答案正確.例2、過橢圓內(nèi)的一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在的直線方程.解：設(shè)弦所在的直線為，根據(jù)橢圓中點(diǎn)弦的斜率公式知，顯然，所以，故所求的直線方程為，即.例3、過橢圓上的一點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)的中點(diǎn)為，則，由橢圓中點(diǎn)弦的的斜率公式得，即所求的軌跡方程為例4、已知橢圓，、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于，求證：.證明：設(shè)的中點(diǎn)為，由題設(shè)可知與軸不垂直，由橢圓的中點(diǎn)弦斜率公式得:，所以直線的方程為：，令解得，即：例5、已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線，使交雙曲線于、兩點(diǎn)且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若存在這樣的直線，求出它的方程；若不存在，說明理由.解：若存在這樣的直線的斜率為，則，由雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式知：，此時(shí)的方程為：，即，將它代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)得：，而該方程沒有實(shí)數(shù)根.故這樣的直線 不存在.定理1推論：若、是橢圓上關(guān)于中心對(duì)稱的兩點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，當(dāng)、的斜率和都存在時(shí)，有.證明：如圖：連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，則，所以有，由橢圓中點(diǎn)弦斜率公式得：.所以.類似地可以證明定理2推