構(gòu)造法裂項(xiàng)相消法——學(xué)生版

1、求數(shù)列通項(xiàng)：構(gòu)造法類型1 形如的數(shù)列的遞推公式，構(gòu)造，代入遞推公式求出A，化為等比數(shù)列解決。類型2 形如的數(shù)列的遞推公式，構(gòu)造，代入遞推公式求出A，B，C，化為等比數(shù)列解決。 類型3 形如的數(shù)列的遞推公式，構(gòu)造，代入遞推公式求出A，B，C，化為等比數(shù)列解決。 1、構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問(wèn)題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無(wú)疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.例1.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，.求通項(xiàng)；例2： 已知=2，試求的通項(xiàng)公式.例3： 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有等式：例4： 數(shù)列中前n項(xiàng)的和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例5. 已知數(shù)

2、列中，；數(shù)列中，。當(dāng)時(shí)，,，求,.2、構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用累加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.類型4 形如（其中p，q均為常數(shù)）的數(shù)列的遞推公式。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足例6. 已知數(shù)列中，,，求。例7： 數(shù)列中，且，（nN*），求通項(xiàng)公式.3、構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)單方法.例8： 數(shù)列中，前n項(xiàng)的和，求.4、構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過(guò)取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，使問(wèn)題得以解決.例10： 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例11： 已知數(shù)列中，n2時(shí)

3、，求通項(xiàng)公式.求數(shù)列前n項(xiàng)之和：裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。適用于其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如：1）和（其中等差）可裂項(xiàng)為：；2）。（根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消 求和）常見裂項(xiàng)公式：（1）；（2）；（3）；（4）（5）常見放縮公式：.例12 （2010年?yáng)|城二模19改編）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）數(shù)列滿足，求。例13 （2010四川）已知數(shù)列滿足=0，=2，且對(duì)任意m、nN*都有（1） 求，；（2）設(shè)(nN*),證明：bn是等差數(shù)列；（3）設(shè)(q0，nN*),求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn例14 設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式：3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4).(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列an的公比為f(t)，作數(shù)列bn，使b1=1,bn=f()(n=2