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1、求數(shù)列通項(xiàng):構(gòu)造法類型1 形如的數(shù)列的遞推公式,構(gòu)造,代入遞推公式求出A,化為等比數(shù)列解決。類型2 形如的數(shù)列的遞推公式,構(gòu)造,代入遞推公式求出A,B,C,化為等比數(shù)列解決。 類型3 形如的數(shù)列的遞推公式,構(gòu)造,代入遞推公式求出A,B,C,化為等比數(shù)列解決。 1、構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然,對(duì)于一些遞推數(shù)列問(wèn)題,若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列,無(wú)疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.例1.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和,.求通項(xiàng);例2: 已知=2,試求的通項(xiàng)公式.例3: 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為,對(duì)于任意正整數(shù)n,都有等式:例4: 數(shù)列中前n項(xiàng)的和,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例5. 已知數(shù)
2、列中,;數(shù)列中,。當(dāng)時(shí),,,求,.2、構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差,然后采用累加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.類型4 形如(其中p,q均為常數(shù))的數(shù)列的遞推公式。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s,t滿足例6. 已知數(shù)列中,,,求。例7: 數(shù)列中,且,(nN*),求通項(xiàng)公式.3、構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式,然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)單方法.例8: 數(shù)列中,前n項(xiàng)的和,求.4、構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過(guò)取對(duì)數(shù),取倒數(shù)代數(shù)變形方法,可由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單,使問(wèn)題得以解決.例10: 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足,(n2).求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例11: 已知數(shù)列中,n2時(shí)
3、,求通項(xiàng)公式.求數(shù)列前n項(xiàng)之和:裂項(xiàng)相消法:即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng),使其正負(fù)抵消,只余有限幾項(xiàng),可求和。適用于其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列,c為常數(shù);部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如:1)和(其中等差)可裂項(xiàng)為:;2)。(根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化,因式相消 求和)常見裂項(xiàng)公式:(1);(2);(3);(4)(5)常見放縮公式:.例12 (2010年?yáng)|城二模19改編)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,設(shè)()證明數(shù)列是等比數(shù)列;()數(shù)列滿足,求。例13 (2010四川)已知數(shù)列滿足=0,=2,且對(duì)任意m、nN*都有(1) 求,;(2)設(shè)(nN*),證明:bn是等差數(shù)列;(3)設(shè)(q0,nN*),求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn例14 設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式:3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4).(1)求證:數(shù)列an是等比數(shù)列;(2)設(shè)數(shù)列an的公比為f(t),作數(shù)列bn,使b1=1,bn=f()(n=2
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