橢圓的解題方法和技巧

1、橢圓的解題方法和技巧安徽省宿州市褚蘭中學(xué) 海平一、 橢圓的定義的應(yīng)用橢圓的定義是用橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離來描述的，因此在解題中凡涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，應(yīng)先想到用定義求解，常會(huì)有事半功倍之效。 例1  的三邊、成等差數(shù)列且滿足，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、。求頂點(diǎn)的軌跡。 分析：數(shù)列與解析幾何相聯(lián)系，往往構(gòu)成綜合性較大的題目，歷來是高考考查的熱點(diǎn)之一。 解析：、成等差數(shù)列，即， 又，。 根據(jù)橢圓的定義，易得點(diǎn)的軌跡方程為。 又，即， ，。 故點(diǎn)的軌跡是橢圓的一半，方程為（）。又當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、在同一條直線上，不能

2、構(gòu)成三角形，。 點(diǎn)的軌跡方程為。評(píng)注：該例是先由條件找到動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何關(guān)系，尋找出滿足橢圓定義的條件，然后確定橢圓的方程。解題時(shí)，易忽略這一條件，因此易漏掉這一限制；由于、三點(diǎn)構(gòu)成三角形，故應(yīng)剔除使、共線的點(diǎn)。 例2 、橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)、的距離之差為2，試判斷的形狀。 分析：由橢圓定義知，的和為定值，且二者之差為題設(shè)條件，故可求出的兩邊。 解析：由，解得。 又，故滿足。  為直角三角形。 評(píng)注：由橢圓上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱作焦點(diǎn)三角形。利用焦點(diǎn)三角形能有意識(shí)地考查定義、三角形正（余）弦定理、

3、內(nèi)角和定理及面積公式能否靈活運(yùn)用。二、利用待定系數(shù)法確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例3、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn),求橢圓的方程. 【解析】設(shè)橢圓方程為（m0,n0且mn）. 橢圓經(jīng)過，點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程，則6m+n=1， 3m+2n=1，兩式聯(lián)立，解得m= , n= . 所求橢圓方程為 評(píng)注：運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,即設(shè)法建立關(guān)于a，b的方程組，先定型、再定量，若位置不確定時(shí)，考慮是否兩解，有時(shí)為了解題需要，橢圓方程可設(shè)為mx2+ny2=1（m0,n0,mn），由題目所給條件求出m，n即可. 三、 利用向量解決橢圓問題幾何中突出向量的工具作用成為高考命題的新亮點(diǎn)，向量本身具有“數(shù)”與“形”的雙重身份，常把向量的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示或利用其幾何關(guān)系求解  評(píng)注：由向量作為載體的解析幾何問題一要利用向量的幾何意義，二要熟悉向量的坐標(biāo)運(yùn)算而與橢圓有關(guān)的求最值問題則常與求函數(shù)的值域相聯(lián)系例5、參數(shù)范圍問題 評(píng)注：解決參數(shù)的取值范圍問題常用的方法有兩種：不等式(組)求解法：根據(jù)題意結(jié)合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式(組)，通過解不等式(