泰勒公式及其應用典型例題

1、   泰勒公式及其應用常用近似公式，將復雜函數(shù)用簡單的一次多項式函數(shù)近似地表示，這是一個進步。當然這種近似表示式還較粗糙（尤其當較大時），從下圖可看出。上述近似表達式至少可在下述兩個方面進行改進：1、提高近似程度，其可能的途徑是提高多項式的次數(shù)。2、任何一種近似，應告訴它的誤差，否則，使用者“ 心中不安”。將上述兩個想法作進一步地數(shù)學化：對復雜函數(shù)，想找多項式來近似表示它。自然地，我們希望盡可能多地反映出函數(shù)所具有的性態(tài) 如：在某點處的值與導數(shù)值；我們還關心的形式如何確定；近似所產(chǎn)生的誤差?！締栴}一】設在含的開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導數(shù)，能否找出一個關于的  

2、;次多項式近似?【問題二】若問題一的解存在，其誤差的表達式是什么?一、【求解問題一】問題一的求解就是確定多項式的系數(shù)。    上述工整且有規(guī)律的求系數(shù)過程，不難歸納出：于是， 所求的多項式為： (2)二、【解決問題二】泰勒()中值定理若函數(shù)在含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到階導數(shù)，則當時，可以表示成這里是與之間的某個值。先用倒推分析法探索證明泰勒中值定理的思路：  這表明：只要對函數(shù)  及 在與之間反復使用次柯西中值定理就有可能完成該定理的證明工作?！咀C明】以與為端點的區(qū)間或記為 ，

3、0;。函數(shù)  在上具有直至  階的導數(shù)，且  函數(shù)  在上有直至階的非零導數(shù)，且  于是，對函數(shù)  及  在上反復使用  次柯西中值定理， 有三、幾個概念1、此式稱為函數(shù)按的冪次展開到 階的泰勒公式；或者稱之為函數(shù)在點  處的  階泰勒展開式。當  時， 泰勒公式變?yōu)檫@正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我們也稱泰勒公式中的余項。 為拉格朗日余項。2、對固定

4、的，若 有  此式可用作誤差界的估計。故  表明： 誤差是當 時較  高階無窮小， 這一余項表達式稱之為皮亞諾余項。3、若，則在  與 之間，它表示成形式   ，泰勒公式有較簡單的形式  麥克勞林公式 近似公式誤差估計式【例1】求的麥克勞林公式。解： ， 于是  有近似公式    其誤差的界為  我們有函數(shù) 的一些近似表達式。(

5、1)、    (2)、  (3)、在中再分別作出這些圖象，觀察到它們確實在逐漸逼近指數(shù)函數(shù)?！纠?】求  的 階麥克勞林公式。解：它們的值依次取四個數(shù)值 。其中：   同樣，我們也可給出曲線  的近似曲線如下，并用作出它們的圖象。           【例3】求的麥克勞林展開式的前四項，并給出皮亞諾余項。解：     于是： 利用泰勒展開式求函數(shù)的極限，可以說是求極限方法中的“終極武器”， 使用這一方法可求許多其它方法難以處理的極限?！纠?】利用泰勒展開式再求極限 。解：，