永城高中高一I部數(shù)學學案30柱體、錐體、臺體、球的表面積與體積

1、永城高中高一（1）部數(shù)學學案（30）（加強班）柱體、錐體、臺體、球的表面積與體積學案撰寫人：孟麗梅 打印人：張曉一、學習目標：1.了解柱、錐、臺、球的表面積和體積的計算公式。2.會應用空間幾何體的表面積與體積公式解決實際問題。二、學習方法指引：1.預習課本23頁到28頁并做課后練習。2.結(jié)合學案理解公式，并準確記憶。熟練記憶。3.用聯(lián)系、類比運動變化的思想推導公式。三、基礎知識再現(xiàn)：1.柱體的側(cè)面展開圖是的平面圖形；棱錐的側(cè)面展開圖是的平面圖形；棱臺的側(cè)面展開圖是的平面圖形。2.叫做多面體的表面積（又稱全面積）。3.圓柱的側(cè)面展開圖式；圓錐的側(cè)面展開圖式；圓臺的側(cè)面展開圖是由一個大扇形截去一個

2、小扇形所得到的。圓柱表（為底面圓的半徑，為圓柱的母線長）；圓錐表（為底面圓的半徑，為圓錐的母線長）；圓臺表（為下底面圓的半徑，為上底面圓的半徑，為圓臺的母線長）。4.幾何體的體積是幾何占有空間部分的大小，其主要性質(zhì)有：完全相同的幾何體的體積；體積相等的幾何體叫；兩相等體積的幾何體的形狀相同；底面積相等，高相等的兩個柱體（或錐體）體積。球的表面積公式：球面。（為球半徑）體積公式：球。（為球半徑）5.柱體的體積公式：柱體（為底面面積，為柱體的高）；錐體的體積公式：錐體（為底面面積，為錐體的高）；臺體的體積公式：臺體（，為兩底面面積，為臺體高）。四、對公式的理解：1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積分別是它

3、們側(cè)面展開圖面積，因此弄清楚側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解決有關(guān)問題的關(guān)鍵。2.計算柱體、錐體和臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應的底面面積和高，要充分運用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。3.球的截面的性質(zhì) 球的半徑為，截面圓的半徑為，球心到截面圓的距離為，則滿足.4.對于一個幾何體，若體積一定，則這個幾何體是球時表面積最??；反過來，若表面積一定，則球的體積最大。5.解決球與其它幾何體的內(nèi)切、外接問題的關(guān)鍵在于仔細觀察、分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準最佳角度作出截面（要使這個截面盡可能多

4、地包含球和其他幾何體的各種元素，盡可能地體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的。6.兩個常用結(jié)論：（1）球的內(nèi)接長方體的體對角線長是球的直徑；（2）棱長為的正方體的外接求得半徑為。五、典型例題：例1如圖所示，底面為菱形的直棱柱的兩個對角面和的面積為6和8，則棱柱的側(cè)面積為。解析 求底面菱形的邊長及側(cè)棱的長，代入側(cè)面積公式計算。設底面邊長為，高為，則有,，側(cè).故填20.答案 20規(guī)律總結(jié) 解決與直棱柱側(cè)面積有關(guān)的問題，其關(guān)鍵是抓住棱柱的側(cè)面積公式；其次要注意利用直觀圖的形象直觀來分析問題，要注意方程思想、“設而不求”等思想方法的靈活運用。例2 如圖所示，已知六棱錐，其中底面是正六邊形

5、，點在底面的投影是正六邊形的中心，底面邊長為2cm，側(cè)棱長為3cm，求六棱錐的表面積和體積。解析 本例主要考查棱錐（錐體）的體積公式。先求底面正六邊形的面積。答案六邊形ABCDEF，側(cè)，六邊形ABCDEF側(cè)。在中，六棱錐P-ABCDEF.例3已知球的兩平行截面的面積為和，它們位于球心的同一側(cè)，且相距為1，求這個球的表面積。解析 要求球的表面積，只需求出球的半徑，因此要抓住球的截面（過直徑的球的平面）。答案 如圖所示，設以為半徑的截面面積為，以為半徑的截面面積為，球的半徑為，那么可得下列關(guān)系式：且，且，于是，于是，即，又，即，又，.球的表面積為.規(guī)律總結(jié) 球的軸截面（球的過直徑的截面）是將球的問

6、題（立體問題）轉(zhuǎn)化為平面問題（圓的問題）的關(guān)鍵，因此在解決球的有關(guān)問題時，我們必須抓住球的軸截面，并充分利用它來分析解決問題。六、課堂練習鞏固與提高1. 一個長方體共一頂點的三個面的面積分別為，這個長方體對角線的長是（ ）A 2 B C 6 D 2. 用長為4，寬為2的矩形做側(cè)面圍成一個圓柱，此圓柱的側(cè)面積為（ ）A B C D 83.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于（ ）A B C D 4. 下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（ ）正（主）視圖 側(cè)（左）視圖 俯視圖A B C D 5.已知一個正方體的8個頂點都在同一個球面上，則球的表面積與這個正方體

7、的全面積之比為（ ）A B C D 6.一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積之比是（ ）A B C D 7.正方體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（ ）A B C D8.一個正方體與一個球表面積相等，那么它們的體積之比是（ ）A B C D 9.五棱臺，的表面積是30，側(cè)面積等于25，則兩底面積的和等于（ ）A B C D 10.六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，側(cè)面是矩形，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積等于（ ）A B C D 11.如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為。正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 12如圖，一

8、個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為三個全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為（ ）. 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 A B C D 13.圓錐的高擴大為原來的倍，底面半徑縮小為原來的倍，那么它的體積變?yōu)樵瓉淼模?）A 1倍 B 倍 C 倍 D 倍14.已知高為3 棱柱的底面是邊長為1的正三角形（如圖），則三棱錐的體積為（ ）A B C D 15.圓柱的高與底面直徑都和球的直徑相等，則圓柱的表面積與球的表面積之比是（ ）A 6:5 B 5:4 C 4:3 D 3:216.一個圓柱的底面面積為，側(cè)面展開圖式正方形，那么該圓柱的側(cè)面積為（ ）A B C D 17.過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積之比為。18.圓臺上、下底面面積分別為，側(cè)面積為，則這個圓臺的體積是。19.若三個球的表面積之比是1:2:3，則它們的體積之比是。20.已知高與底面直徑之比為2:1的圓柱內(nèi)接于球，且圓柱的體積為，則球的體積為。21.已知三角形得邊長分別是，以所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積是。22.將一鋼球放入底面半徑為3cm的圓柱形玻璃容器中，水面升高4cm，則鋼球的半徑是23.長方體滿足：，則其外接球的表面積為。24.圓臺的高是12，母線長