求數(shù)列極限的幾種典型方法

1、求數(shù)列極限的幾種典型方法首先我們要知道數(shù)列極限的概念:設(shè)為數(shù)列，為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)有，則稱(chēng)數(shù)列收斂于，定數(shù)則稱(chēng)為數(shù)列的極限，并記作 （）。若數(shù)列沒(méi)有極限，則稱(chēng)不收斂，或稱(chēng)為發(fā)散數(shù)列。下面我們來(lái)研究求數(shù)列極限的幾種方法：方法一：應(yīng)用數(shù)列極限的定義例一：證明，這里為正數(shù)。證明：由于 故對(duì)任給的，只要取，則當(dāng)時(shí)就有 這就證明了。 用定義求數(shù)列極限有幾種模式： （1），作差，解方程，解出，則取或 （2）將適當(dāng)放大，解出； （3）作適當(dāng)變形，找出所需N的要求。方法二：（迫斂性）設(shè)收斂數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿(mǎn)足：存在正整數(shù),當(dāng)時(shí)有： 則數(shù)列收斂，且。例二：求數(shù)列的極限。 解

2、：記，這里 （，則有 由上式的 ,從而有 數(shù)列是收斂于1的，因?yàn)槿谓o的，取，則當(dāng)時(shí)有，于是上述不等式兩邊的極限全為1，故由迫斂性證得。 方法三：（單調(diào)有界定理）在實(shí)系數(shù)中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。 例三：設(shè)其中實(shí)數(shù)，證明數(shù)列收斂。 證明：顯然數(shù)列是遞增的，下證有上界，事實(shí)上， 于是由單調(diào)有界定理知收斂。 方法四：對(duì)于待定型利用e 例四：求 解：因e，而 .=e即 故方法五：（柯西收斂準(zhǔn)則）數(shù)列收斂的充要條件是：對(duì)任給的，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n，m時(shí)，有 例五：證明任一無(wú)限十進(jìn)小數(shù)=0.的n位不足近似（n=1，2，）所組成的數(shù)列 滿(mǎn)足柯西條件（從而收斂），其中為中的一個(gè)數(shù)，證明：記，不妨設(shè)，則有

3、 對(duì)任給的，取,則對(duì)一切，有 這就證明了題目滿(mǎn)足柯西條件，從而收斂。方法六：Stolz定理：設(shè)n>N時(shí)，且，若（為有限數(shù)或無(wú)窮大），則 例六：求 （解： = 方法七：形如數(shù)列極限例七：設(shè)，其中k與為正數(shù)，則收斂于的正根。解：因?yàn)?，所以?duì)一切n有，則是一有界數(shù)列，但非單調(diào)。事實(shí)上，若，則，考察 由于故收斂，從而收斂，由于，則在等式兩邊取極限，得，故是方程的正根。 方法八：利用積分求數(shù)列極限 眾所周知，如果在上正?？煞e，則，其中。對(duì)于反常積分，我們可以證明如下結(jié)論： 命題1：設(shè)在（0，1) 是單調(diào)的，x=0，x=1可以是的奇點(diǎn)，如果收斂，則 命題2：設(shè)在（0，單調(diào)，且收斂，則 例八：設(shè)常數(shù)，試求極限解：令 則 所以方法九：階的估計(jì)法 特別的： 在用階的估計(jì)來(lái)求極限過(guò)程中需要初等函數(shù)的泰勒公式 常用估計(jì)式有：更一般地：以上表達(dá)式中x可換成，其中，例如： 例九：試證明證明：因?yàn)?所以 從而 參考文獻(xiàn)【1】 數(shù)學(xué)分析 上冊(cè)第三版 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 北京：高等教育出版社，2001 （2006重印）。 【2】 數(shù)學(xué)分析 上冊(cè) 華東師大第三版