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1、求數(shù)列極限的幾種典型方法首先我們要知道數(shù)列極限的概念:設(shè)為數(shù)列,為定數(shù),若對任給的正數(shù),總存在正整數(shù)N,使得當nN時有,則稱數(shù)列收斂于,定數(shù)則稱為數(shù)列的極限,并記作 ()。若數(shù)列沒有極限,則稱不收斂,或稱為發(fā)散數(shù)列。下面我們來研究求數(shù)列極限的幾種方法:方法一:應(yīng)用數(shù)列極限的定義例一:證明,這里為正數(shù)。證明:由于 故對任給的,只要取,則當時就有 這就證明了。 用定義求數(shù)列極限有幾種模式: (1),作差,解方程,解出,則取或 (2)將適當放大,解出; (3)作適當變形,找出所需N的要求。方法二:(迫斂性)設(shè)收斂數(shù)列都以為極限,數(shù)列滿足:存在正整數(shù),當時有: 則數(shù)列收斂,且。例二:求數(shù)列的極限。 解
2、:記,這里 (,則有 由上式的 ,從而有 數(shù)列是收斂于1的,因為任給的,取,則當時有,于是上述不等式兩邊的極限全為1,故由迫斂性證得。 方法三:(單調(diào)有界定理)在實系數(shù)中,有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。 例三:設(shè)其中實數(shù),證明數(shù)列收斂。 證明:顯然數(shù)列是遞增的,下證有上界,事實上, 于是由單調(diào)有界定理知收斂。 方法四:對于待定型利用e 例四:求 解:因e,而 .=e即 故方法五:(柯西收斂準則)數(shù)列收斂的充要條件是:對任給的,存在正整數(shù)N,使得當n,m時,有 例五:證明任一無限十進小數(shù)=0.的n位不足近似(n=1,2,)所組成的數(shù)列 滿足柯西條件(從而收斂),其中為中的一個數(shù),證明:記,不妨設(shè),則有
3、 對任給的,取,則對一切,有 這就證明了題目滿足柯西條件,從而收斂。方法六:Stolz定理:設(shè)n>N時,且,若(為有限數(shù)或無窮大),則 例六:求 (解: = 方法七:形如數(shù)列極限例七:設(shè),其中k與為正數(shù),則收斂于的正根。解:因為,所以對一切n有,則是一有界數(shù)列,但非單調(diào)。事實上,若,則,考察 由于故收斂,從而收斂,由于,則在等式兩邊取極限,得,故是方程的正根。 方法八:利用積分求數(shù)列極限 眾所周知,如果在上正常可積,則,其中。對于反常積分,我們可以證明如下結(jié)論: 命題1:設(shè)在(0,1) 是單調(diào)的,x=0,x=1可以是的奇點,如果收斂,則 命題2:設(shè)在(0,單調(diào),且收斂,則 例八:設(shè)常數(shù),試求極限解:令 則 所以方法九:階的估計法 特別的: 在用階的估計來求極限過程中需要初等函數(shù)的泰勒公式 常用估計式有:更一般地:以上表達式中x可換成,其中,例如: 例九:試證明證明:因為 所以 從而 參考文獻【1】 數(shù)學(xué)分析 上冊第三版 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 北京:高等教育出版社,2001 (2006重印)。 【2】 數(shù)學(xué)分析 上冊 華東師大第三版
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