柯西不等式畢業(yè)論文

1、摘要柯西不等式是一個非常重要的公式，對于柯西不等式的深入了解對于我們解決一些問題有非常大的幫助。本文給出了柯西不等式的二維形式、三角形式、向量形式、一般形式、推廣形式、積分形式，對于柯西不等式的證明本文也給出了多種證明方法包括構造二次函數(shù)法、數(shù)學歸納法、配方法、均值不等式法、向量法、行列式證明法、利用二次型法、利用線性相關性法，本文結尾對于柯西不等式在距離問題、證明等式及不等式、解三角形和幾何相關問題、求最值、利用柯西不等式解方程、用柯西不等式解釋樣本線性相關系數(shù)的應用給出了具體的例子，幫助大家更好的理解和掌握柯西不等式。關鍵詞： 柯西不等式；形式；證明方法；應用；例子AbstractCauc

2、hyinequalityisa very importantformula,for in-depth understandingofCauchy inequalityforwe have thevery big helpsolve some of theproblems.This papergives theCauchy inequalitytwo-dimensionalform,triangular form,a vector of the form,the general form,extended form,integral form,theproof of Cauchy inequal

3、ityis also given in this papersome provingmethod includes the construction oftwofunction method,the mathematical inductionmethod,distribution,mean inequality method,vector method,the determinantmethod,provedby twomethod,usinglinear correlationmethod,in the end,theCauchy inequality in thedistance pro

4、blem,proving inequality,triangleand geometricproblems,solving the most value,using the Cauchyinequality usingCauchy inequalityinterpretationgives the sampleof the linear correlation coefficientequation,specific examples,to help youbetter understand and master theCauchy inequality.Keywords:Cauchy ine

5、quality;form;proof method;application; examples目錄前言1一柯西不等式的知識背景2二柯西不等式的形式3（1）二維形式3（2）三角形式3（3）向量形式3（4）一般形式3（5）推廣形式3（6）概率論形式4（7）積分形式4（8）小結4三柯西不等式的證明方法5（1）構造二次函數(shù)法5（2）數(shù)學歸納法5（3）配方證明法6（4）向量證明法7（5）利用均值不等式法7（6）利用行列式證明柯西不等式8（7）利用線性相關性證明柯西不等式9（8）利用二次型9四柯西不等式的應用11（1）距離問題11（2）證明等式及不等式12（3）解三角形和幾何相關問題13（4）求最值13（

6、5）利用柯西不等式解方程14（6）用柯西不等式解釋樣本線性相關系數(shù)15（7）小結16參考文獻17致謝18前 言現(xiàn)在我國數(shù)學界對于柯西不等式的證明及應用都有非常深厚的認識，各位數(shù)學教授以及愛好柯西不等式研究的學者朋友們在柯西不等式的證明以及應用方面都給出了很好的方法和思路，而我現(xiàn)在首要的任務就是將大家的方法和思路做一個統(tǒng)一的整理，對柯西不等式結合初等數(shù)學、高等數(shù)學給出嚴謹?shù)淖C明方法。讓我們更加清楚的認識到柯西不等式的證明方法和應用層次，在論文中我也會參考書籍資料挑選好的例題來增強大家對柯西不等式的理解，更加完美的詮釋柯西不等式的魅力所在。一 柯西不等式的知識背景不等式作為我們學習和生活中非常重要

7、的工具，為我們的學習和生活帶來了很大的便捷。在學習上巧妙的運用不等式能使我們遇到的問題迎刃而解，在生活中運用不等式可以統(tǒng)籌規(guī)劃，放大資源的利用，使生產更有效更有利可圖。而柯西不等式做為不等式的典型的存在，在我們學習中顯得尤為重要，所以在高中柯西不等式就和廣大的學子見面了，但是當時的我們稚嫩懵懂，只知道拿來主義的運用柯西不等式，而并未對它的由來做充分的研究，對它的證明以及更深層次的運用更加沒有過了解，但是在上大學后再一次見到了柯西不等式，所以如今借著論文的形式來對柯西不等式做一個簡單的了解和研究?？挛鞑坏仁绞怯纱髷?shù)學家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的?？挛鞒錾屠?，是一

8、位虔誠的天主教徒，在數(shù)學領域取得了很多成就，柯西不等式的發(fā)現(xiàn)就是他眾多成就之一。但是要說真正讓柯西不等式發(fā)光發(fā)熱，Buniakowsky和Schwarz兩位數(shù)學家功不可沒，因為正是他們獨立的在積分學中推而廣之，才將柯西不等式的近乎完善的呈現(xiàn)在大家面前。所以柯西不等式準確的講應該稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式。就這樣柯西不等式得到了大家的追捧，尤其是很多的數(shù)學學者對柯西不等式更是愛不釋手，所以柯西不等式的運用可以說是無時無刻都在發(fā)展，現(xiàn)今已知的關于柯西不等式運用在求解距離問題、證明等式及不等式、解三角形和幾何相關問題、求最值、利用柯西不等式解方程、用柯西不等式解釋

9、樣本線性相關系數(shù)數(shù)學問題方面比較顯著。如果說數(shù)學是思維的體操，那柯西不等式一定是體操教員，對初等數(shù)學有很重要的指導作用?？挛鞑坏仁侥艽蚱瞥Ｒ?guī)，鍛煉學生的數(shù)學思維，很好的提高數(shù)學思考能力和解題能力，能高瞻遠矚，使用起來能方便的解決數(shù)學中的問題，提高解題的效率。二 柯西不等式的形式相信大家對于柯西不等式形式的都有所了解，最常見的就是一般形式，但其實柯西不等式除了一般形式以外還有其他很多種形式。充分的了解這些形式，勢必會增加我們對柯西不等式的了解，在解題的過程中靈活的運用，選擇合適的形式，使我們的解題達到事半功倍的效果。同樣對于諸多形式的了解和掌握也會為我們學習更深層次的數(shù)學理論奠定良好的基礎。具體

10、如下：（1）二維形式若都是實數(shù)，則柯西不等式可表述為，當且僅當時，等號成立。（2）三角形式若都是實數(shù)，則柯西不等式表述為：，當且僅當時，等號成立。（3）向量形式若兩向量模的乘積大于等于兩向量點乘的模，即，其中兩向量，為零向量或者則等號成立（4）一般形式等號成立的條件是：，或者均為零。（5）推廣形式此推廣式又稱卡爾松不等式，其表述是：在矩陣中，各行元素之和的幾何平均不小于個列元素之和的幾何平均之積。（6）概率論形式（7）積分形式（8）小結從上述的眾多形式我們不難看出，對于高等代數(shù)、數(shù)學分析、概率論這三個看似沒有聯(lián)系的數(shù)學基礎課程，其實是存在內在聯(lián)系的，雖然柯西不等式在這三門課程中以不同的形式存在

11、，也擁有不一樣的名稱，但是其實質意義是一致的。三 柯西不等式的證明方法對于柯西不等式的了解我們不能局限于外表的形式，更要了解柯西不等式的證明過程，這樣在學習和運用柯西不等式的過程中能有更為清晰的思路，在運用中才能做到游刃有余，從而幫助我們更好的解決問題。對于柯西不等式的的證明方法多種多樣，大家所熟悉的有像構造二次函數(shù)法、數(shù)學歸納法、配方法、均值不等式法這些比較容易理解的方法和掌握的方法，但其實還有向量法、行列式證明法、利用二次型法、利用線性相關性法這些雖然相對其他方法稍難理解和記憶，但在證明柯西不等式時，也是非常不錯的幾種方法。在加強我們對于柯西不等式的理解和運用存在著非常重要的作用。具體方法

12、如下：（1）構造二次函數(shù)法恒成立即當且僅當即時等號成立綜上柯西不等式成立（2）數(shù)學歸納法i）當時，有，柯西不等式成立當時，有當且僅當時，等號成立時，柯西不等式成立ii)假設時，柯西不等式成立即當為常數(shù),或時等號成立設則當為常數(shù)，或時等號成立即時不等式成立綜合i）ii）可知,柯西不等式成立（3）配方證明法即當且僅當即時等號成立綜上所述柯西不等式成立（4）向量證明法設n維空間中有兩個向量其中為任意兩組實數(shù)由向量長度定義，有又由向量的內積定義，其中為的夾角再而所以于是有即當且僅當時，即與共線時等號成立由綜上所述，柯西不等式成立。（5）利用均值不等式法當時，柯西不等式成立當時，柯西不等式可化為由均值不

13、等式可知即當且僅當時等號成立綜上所述，柯西不等式得證.（6）利用行列式證明柯西不等式首先存在定理：設其中則等于中所有的階子試與中對應的子試的乘積之和即（當時規(guī)定右邊為零）再用上述定理給出柯西不等式的行列式證明方法如下：令矩陣，則故但由上述定理知：而及為實數(shù)，故當且僅當與成正比時等號成立于是即柯西不等式得證.（7）利用線性相關性證明柯西不等式設為向量空間若則成立當且僅當向量與線性相關時證明：i)設與線性相關，則存在不全為零的，使所以有或者，其中以上兩種情況帶入柯西不等式兩端均可使等號成立ii)設與線性無關，則對每一個有，即至少有一個使于是或者這里，否則與線性相關與題設矛盾于是有不全為零和這樣就有

14、即于是iii)若柯西不等式等號成立，則不然由ii)將推出柯西不等式不等號成立故綜上所述柯西不等式成立（8）利用二次型對于不等式即關于的二次型非負定，那么即，柯西不等式得證 四 柯西不等式的應用對柯西不等式形式和證明方法的理解其目的在于讓我們更好的運用柯西不等式，所以柯西不等式作為工具我們就應該對它的應用有一定的掌握。而這也正是柯西不等式的本質意義?？挛鞑坏仁皆诓坏仁街姓紦?jù)很重要的地位，掌握好柯西不等式并靈活巧妙的運用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。 柯西不等式在證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題的方面都有很好的應用。對柯西不等式的應用相信大家也都了解一二，論文的意義也在于把更

15、多的柯西不等式的應用思路清晰的呈現(xiàn)在大家的面前，在以后的學習和研究中希望能對大家有所幫助。所以通過對學者論文以及相關書籍的整理，梳理出了以下幾方面對于柯西不等式的應用，在論文中也會給出相應的典型例題幫助大家更好的理解柯西不等式應用的巧妙之處。主要應用包括下列幾方面:（1）距離問題利用柯西不等式證明：平面點到直線的距離公式證明：對直線上的任意一點得，且由柯西不等式得：則有當時，等式成立，由垂線段最短可得（2）證明等式及不等式已知正數(shù)滿足證明證明：利用柯西不等式有又因為在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：設，且，求證：證明：上述不等式可以寫成由綜上不等式成立。已知，求證：。證明：由柯西不等式得：當且

16、僅當時，等號成立于是有。（3）解三角形和幾何相關問題設是內的一點，是到三邊 的距離，是外接圓的半徑，證明證明：由柯西不等式得記為的面積，則故不等式成立。（4）求最值已知實數(shù)滿足試求的最值解：由柯西不等式得即由條件可得，解得，當且僅當時等號成立。帶入時，時，已知，求的最小值。解：當且僅當即時取最小值。（5）利用柯西不等式解方程在實數(shù)集內求解方程組解：由柯西不等式得（1）又即不等式（1）中僅等號成立從而由柯西不等式中等號成立的條件得從而有方程組可得求解方程組 解：原方程組可化簡為運用柯西不等式得，兩式相乘得到當且僅當時取等號故原方程組的解為。（6）用柯西不等式解釋樣本線性相關系數(shù)在線性回歸中，有樣

17、本相關系數(shù)當且越接近于1，相關程度越大，越接近于0，則相關程度就越小利用柯西不等式解釋線性相關系數(shù)先設，則有，由柯西不等式有，當時，此時，為常數(shù)點均在直線上當時，即而為常數(shù)此時為常數(shù)點均在直線附近，所以越接近于1，相關程度越大當時，不具備上述特征，從而找不到合適的常數(shù)使得點不都在直線附近，所以越接近于0，則相關程度越小 。（7）小結綜上所述的柯西不等式應用的解釋也不是最完美的，但這只是起到一個拋磚引玉的效果，希望更多的學者朋友給出更多精彩的例子，來不斷的完善柯西不等式的應用。參考文獻1 黃衛(wèi). 柯西不等式證明及應用. 赤峰學院學報，2011(4)2 徐鴻遲. 柯西不等式的微小改動. 數(shù)學通報，

18、2002(3)3 黃宣國. 柯西不等式與排序不等式. 南山，湖南教育出版社4 王蓮花，李曄，李戰(zhàn)國，劉芳. 柯西不等式的證明及應用. 河南教育學院學報，2003(1)5 國家教委辦. 1990-年全國統(tǒng)一考試. 數(shù)學試卷6 李永新，李德祿. 中學數(shù)學教材教法. 東北師大出版社7 盛聚，謝式千，潘承毅. 概率與數(shù)理統(tǒng)計. 高等教育出版8 竺歡樂. 用柯西不等式解釋樣本線性相關系數(shù). 數(shù)學通訊, 2004(7)9 G.Buskes, A.van Rooij. Commutativity and the Cauchy-Schwarz Inequality. Positivity, 2000, Volume 4, Number 3 227-23110 Hasan, M.A. Generalized Wielandt and Cauchy-Schwarz Inequality. American Control Conference, Proceedings of the 200411 Di Stefano, L.Mattoccia. A Sufficient Condition Based on the Cauchy-Schwarz Inequality Efficient Template