比例諧振控制算法分析

1、比例諧振控制算法分析目 錄0 前言21 PR控制器22 準(zhǔn)PR控制器53 準(zhǔn)PR控制器的參數(shù)設(shè)置63.1 c=0, KR變化63.2 c變化, KR=164 準(zhǔn)PR控制器的離散化7附錄A 數(shù)字濾波器設(shè)計9A.1 脈沖響應(yīng)不變法9A.2 雙線性變換法10附錄B 雙線性變換法原理13B.1 連續(xù)時間系統(tǒng)H(s)的最基本環(huán)節(jié)13B.2 積分的數(shù)值計算與離散一階系統(tǒng)13B.3 連續(xù)時間一階環(huán)節(jié)的離散實現(xiàn)14B.4 高階連續(xù)時間系統(tǒng)的離散實現(xiàn)140 前言在整流器和雙饋發(fā)電機的矢量控制系統(tǒng)中廣泛地采用了坐標(biāo)變換技術(shù)，將三相靜止坐標(biāo)系下的電流電壓等正弦量轉(zhuǎn)化為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的直流量，這一方面是為了簡化系統(tǒng)

2、的模型，實現(xiàn)有功功率和和無功功率的解耦，另一方面是因為PI控制器無法對正弦量實現(xiàn)無靜差控制。坐標(biāo)變換簡化了控制系統(tǒng)外環(huán)的設(shè)計，卻使電流分量互相耦合，造成內(nèi)環(huán)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，設(shè)計困難。PR控制器可以實現(xiàn)對交流輸入的無靜差控制。將PR控制器用于網(wǎng)側(cè)變換器的控制系統(tǒng)中，可在兩相靜止坐標(biāo)系下對電流進行調(diào)節(jié)?？梢院喕刂七^程中的坐標(biāo)變換，消除兩相靜止坐標(biāo)系下對電流進行調(diào)節(jié)?？梢院喕刂七^程中的坐標(biāo)變換，消除電流d、q軸分量之間的耦合關(guān)系，且可以忽略電網(wǎng)電壓對系統(tǒng)的擾動作用。此外，應(yīng)用PR控制器，易于實現(xiàn)低次諧波補償，這些都有助于簡化控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。1 PR控制器PR控制器，即比例諧振控制器，由比例環(huán)節(jié)和諧振環(huán)

3、節(jié)組成，可對正弦量實現(xiàn)無靜差控制。理想PR控制器的傳遞函數(shù)如下式所示：Gs=Kp+KRss2+02式中Kp為比例項系數(shù)，KR為諧振項系數(shù)，0為諧振頻率。PR控制器中的積分環(huán)節(jié)又稱廣義積分器，可以對諧振頻率的正弦量進行幅值積分。對于同頻的輸入信號Msin(t+)，該環(huán)節(jié)的時域響應(yīng)分析如下：輸入信號的拉普拉斯變換為：LMsint+ = L(Msintcos+Mcostsin)= Mcos*s2+2+Msin*ss2+2 經(jīng)過KRss2+02后的表達(dá)式為：Mcos*s2+2+Msin*ss2+2*KRss2+02=KR*M*cos*ss2+22+sin*s2s2+22=KR*M*cos*ss2+22

4、+sin2*s2-2s2+22+1s2+2分別推導(dǎo)tcost、tsint的拉普拉斯變換為（推導(dǎo)見下一頁）：L(tcost)=s2-2s2+22，Ltsint=2ss2+22求上式的拉普拉斯反變換為：KR*M*cos2*tsin(t)+sin2*tcos(t)+1sin(t)整理后得：KR*M2*tcos+sinsint+tsin*cos(t)由上式可知，當(dāng)=0時，輸出信號為KR*M2*tsint與輸入信號相位相同，幅值呈時間線性上升。當(dāng)=90時，輸出信號為：KR*M2*1sint+t*cos(t)當(dāng)時間稍大時，該值貼近于cos(t)，從整體看，該諧振器（或稱之為廣義積分器）是對誤差信號的按時間

5、遞增。觀察tsint的拉普拉斯變換：Ltsint=L(tejt-te-jt2j)=12jLtejt-Lte-jt=12j1s-j2-1s+j2=12j4jss-j2s+j2=2ss2+22再觀察tcost的拉普拉斯變換Ltcost=L(tejt+te-jt2)=12Ltejt+Lte-jt=121s-j2+1s+j2=s2-2s-j2s+j2=s2-2s2+22如下圖所示，PR控制器中的積分部分KRss2+02，在諧振頻率點達(dá)到無窮大的增益，在這個頻率點之外幾乎沒有衰減。因此，為了有選擇地補償諧波，它可以作為一個直角濾波器。2 準(zhǔn)PR控制器如上所述，與PI控制器相比，PR控制器可以達(dá)到零穩(wěn)態(tài)誤

6、差，提高有選擇地抗電網(wǎng)電壓干擾的能力。但是在實際系統(tǒng)應(yīng)用中，PR控制器的實現(xiàn)存在兩個主要問題：l 由于模擬系統(tǒng)元器件參數(shù)精度和數(shù)字系統(tǒng)精度的限制，PR控制器不易實現(xiàn)l PR控制器在非基頻處增益非常小，當(dāng)電網(wǎng)頻率產(chǎn)生偏移時，就無法有效抑制電網(wǎng)產(chǎn)生的諧波。因此，在PR的基礎(chǔ)上，提出了一種易于實現(xiàn)的準(zhǔn)PR控制器，既可以保持PR控制器的高增益，同時還可以有效減小電網(wǎng)頻率偏移對逆變器輸出電感電流的影響。準(zhǔn)PR控制器傳遞函數(shù)為：Gs=Kp+2KRcss2+2cs+02控制器波特圖如下圖所示，從圖中所示，控制器在基波頻率處的幅頻特性為A(0)=60dB.同時相角裕度為無窮大，因此基本可以實現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)誤差，同時

7、具有很好的穩(wěn)態(tài)裕度和暫態(tài)性能。3 準(zhǔn)PR控制器的參數(shù)設(shè)置由此可見，除了比例系數(shù)外，準(zhǔn)PR控制器主要有KR、c兩個參數(shù)。為了分析每個參數(shù)對控制器的影響，可先假設(shè)其余參數(shù)不變，然后觀察這個參數(shù)變化時間對系統(tǒng)性能的影響。3.1 c=0, KR變化控制器傳遞函數(shù)的波特圖如下圖所示，從圖中可以看出，KR參數(shù)增大時，控制器的峰值增益也增大，而控制器的帶寬卻沒有變化。因此KR參數(shù)和控制器的峰值增益成正比。3.2 c變化, KR=1 由下圖可知，參數(shù)c不僅影響控制器的增益，同時還影響控制器截止頻率的帶寬。隨著c的增加，控制器的增益和帶寬都會增加（基頻增益為KR不變）。將s=j代入傳遞函數(shù)，則有：Gj=2KRc

8、j-2+2cj+02=KR1+j2-02/2c根據(jù)對帶寬的定義，Gj=KR/2時，此時計算得到的兩個頻率之差即為帶寬。令2-022c=1,經(jīng)過計算得到準(zhǔn)諧振控制器的帶寬為：c/Hz。設(shè)電網(wǎng)電壓頻率允許波動范圍為0.8Hz,則有C=1.6Hz, 即C=5Hz4 準(zhǔn)PR控制器的離散化模擬控制器的離散化有兩種方式，分別為脈沖響應(yīng)不變法與雙線性變換法，此處采用脈沖響應(yīng)不變法對其進行離散化PR控制器的數(shù)字實現(xiàn)方法主要有兩種，分別是采用Z算符和采用算符對其進行離散化。Gs=2KRcss2+2cs+02=2KRcss-2c+4c2-4022s-2c-4c2-4022=2KRcss+c-c2-02s+c+c2

9、-02=As+c-c2-02+Bs+c+c2-02,其中A=KRC1-Cc2-02; B=KRC1+Cc2-02將上式通過脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)成z變換，得：Gz=AZZ-e-c-c2-02T+BZZ-e-c+c2-02T=A1-z-1e-c-c2-02T+B1-z-1e-c+c2-02T，設(shè)C=e-c-c2-02T；D=e-c+c2-02T，則：Gz=A1-z-1C+B1-z-1D=A+B-(AD-BC)z-11-C+Dz-1+CDz-2設(shè)Y=GX，則轉(zhuǎn)成差分函數(shù)后，該式可表達(dá)成：yn=C+Dyn-1-CDyn-2+A+Bxn-AD-BCx(n-1)其中：A=KRC1-Cc2-02; B=KRC1

10、+Cc2-02 C=e-c-c2-02T； D=e-c+c2-02T附錄A 數(shù)字濾波器設(shè)計通常利用模擬濾波器的理論和設(shè)計方法來設(shè)計IIR數(shù)字濾波器。其設(shè)計的過程是：先根據(jù)技術(shù)指標(biāo)要求設(shè)計出一個相應(yīng)的模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳遞函數(shù)Has,然后再按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將設(shè)計好的模擬濾波器的傳輸函數(shù) Has轉(zhuǎn)換成為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。轉(zhuǎn)換方法有兩種：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性映射法。利用模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)H(z)，這是一個由s平面到z平面的映射變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個基本原則：1. H(z)的頻響要能模仿Has

11、的頻響，即S平面的虛軸應(yīng)能映射到z平面的單位圓ej上2. Has的因果穩(wěn)定性映射到H(z)后保持不變，即S平面從左半平面Res0映射到z平面的單位圓內(nèi)z1A.1 脈沖響應(yīng)不變法利用模擬濾波器理論設(shè)計數(shù)字濾波器，也就是使得數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可從不同角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法就是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖擊響應(yīng)ha(t)，使hn正好等于ha(t)的采樣值，即：hn=ha(nT)T為采樣周期。如以Ha(s)和H(z)分別表示ha(t)的拉氏變換及hn的z變換，即：Has=Lha(t)，Hz=Zh(n)按照采樣序列z變換及模擬

12、信號拉氏變換的關(guān)系，得：Hz|z=esT=1Tm=-Has+j2Tm上式表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時，它所完成的s平面到z平面的變換，正是以前討論的拉氏變換到z變換的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系，即首先對Has作周期延拓，然后再經(jīng)過z=esT的映射關(guān)系映射到z平面上。z=esT的映射關(guān)系表明，s平面上每一條2/T的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的全部平面上。每個橫帶在左半部分映射到z平面單位圓以內(nèi)，每個橫帶的右半部分映射到z平面單位圓以外，j軸映射在單位圓上，但j軸上每一段2/T都對應(yīng)于繞單位圓一周。如下圖所示，相應(yīng)的頻率變換關(guān)系為：=T，顯然與之間為線性關(guān)系。（其中為數(shù)字域頻率；

13、為模擬域頻率） 應(yīng)當(dāng)指出，z=esT的映射關(guān)系反映的是Has的周期延拓與H(z)的關(guān)系，而不是Has本身與H(z)的關(guān)系，因此，在使用脈沖響應(yīng)不變法時，從Has到H(z)并沒有一個由S平面到Z平面的簡單代數(shù)映射關(guān)系，即沒有一個s=f(z)的代數(shù)關(guān)系式。另外，數(shù)字濾波器的頻響也不是簡單地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響應(yīng)，而是模擬濾波器頻響的周期延拓，周期為s=2T=2fs。即Hej=1Tm=-Haj+j2mT=1Tm=-Haj+2mT根據(jù)香農(nóng)采樣定律，如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率s/2以內(nèi)，即Haj=0,/T這時，數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響（在折疊頻率以內(nèi)）Hej=1THajT

14、,稱為雙線性變換雙線性變換法的主要優(yōu)點是不存在頻率混迭。由于S平面與Z平面一一單值對應(yīng)，S平面的虛軸（整個j）對應(yīng)于Z平面單位圓的一周，S平面的=0對應(yīng)于Z平面的=0；=對應(yīng)于Z平面的=，即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終止于折疊頻率處，所以雙線性變換不存在頻譜混迭效應(yīng)?？款l率的嚴(yán)重非線性關(guān)系得到S平面與Z平面的單值一一對應(yīng)關(guān)系，整個j軸單值對應(yīng)于單位圓一周，這個頻率關(guān)系是=C*tg2，其中和為非線性關(guān)系。從左圖可以看出，在0頻率附近，和接近于線性關(guān)系，當(dāng)進一步增加時，增長變得緩慢。當(dāng)時，=，終止于折疊頻率處。所以雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆低頻部分的現(xiàn)象。正由于和之間的非線性關(guān)系，

15、導(dǎo)致數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變。例如一個模擬微分器，它的幅度與頻率是線性關(guān)系，但是通過雙線性變換后，不可能得到數(shù)字微分器。若：Hj=k+b,則Hej=Hj|=tg2=k*tg2+b 另外，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)過雙線性變換后，濾波器不再有線性相位特征。雖然雙線性變換有這樣的缺點，但它目前仍是使用最普遍，最有成效的一種設(shè)計工具。這是因為大多數(shù)濾波器都有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，他們在通帶內(nèi)要求一個衰減為0的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為的常書特性，這種特性的濾波器經(jīng)過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特

16、性。例如，一個考爾型的模擬濾波器Ha(s)，雙線性變換后，得到的H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都保持原模擬濾波器相同的起伏特性，只有通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率以及起伏的峰點、谷點頻率等臨界頻率點發(fā)生了非線性變化，這種頻率點的畸變可通過預(yù)畸來加以校正。即將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，通過雙線性變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。附錄B 雙線性變換法原理B.1 連續(xù)時間系統(tǒng)H(s)的最基本環(huán)節(jié)連續(xù)時間系統(tǒng)H(s)的極點有兩種情況；單重極點和多重極點。但是一個多重極點環(huán)節(jié)可以看成由多個單重極點環(huán)節(jié)級聯(lián)構(gòu)成，例如對二重極點有：Hs=A(s-p)2=As-pAs-p因此，可以將一階環(huán)節(jié)His=Ks-p

17、看成是構(gòu)成Hs的最基本環(huán)節(jié)。它對應(yīng)于一階微分方程。dy(t)dt-py(t)=Kx(t)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。若要將該系統(tǒng)離散化，主要是對一次積分運算的離散化。B.2 積分的數(shù)值計算與離散一階系統(tǒng)一次積分運算可以用梯形法做數(shù)值運算，即：yt|t=nT=yt|t=(n-1)T+(n-1)TnTxd將上式第二行的積分用梯形法近似，則有：ynT=y(n-1)T+T2xn-1T+xnT該式即為一次積分運算離散化后的數(shù)值計算公式，其中T為取樣間隔。將自變量符號中的T隱去，可寫成差分方程的習(xí)慣表達(dá)形式：yn=y(n-1)+T2xn-1+xn兩邊取單邊z變換，并考慮到y(tǒng)(-1)=x(-1)=0，有：Yz=z-1Yz+T2z-1Xz+Xz整理得：H1z=Y(z)X(z)=T2*1+z-11-z-1也就是說，一次積分單元離散后是一個以系統(tǒng)函數(shù)H1z表示的離散時間系統(tǒng)。因此，一次積分運算可以用下圖所示的離散系統(tǒng)實現(xiàn)其數(shù)值計算。B.3 連續(xù)時間一階環(huán)節(jié)的離散實現(xiàn)當(dāng)將圖1中的積分器離散化后，整個一階環(huán)節(jié)His=