江蘇省鎮(zhèn)江市2015屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

1、江蘇省鎮(zhèn)江市 2015 屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、填空題：本大題共一、填空題：本大題共 14 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 70 分分. 不需要寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案不需要寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置上直接填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置上.1記復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為，已知，則 ibiaz(),(Rbabiaziz 22z .2設(shè)全集，集合，則= .ZU 2 , 1 , 0 , 1, 2,2 , 1PMUPM3某校共有師生 1600 人，其中教師有 1000 人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為 80 的樣本，則抽取學(xué)生的人數(shù)為 .4若雙曲線(xiàn)的

2、一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的)0, 0( 12222babyax距離等于焦距的，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是 .415已知向量，則 .baxbxa),1, 2(),1, 12(x6執(zhí)行如圖流程圖，若輸入，則輸出的值為 21,20baa.7設(shè)為互不重合的平面，是互不重合的直線(xiàn)，給出下列,nm,四個(gè)命題：若，則；nnm,/m若，則；/,/,nmnm/若，則；/nm,nm/若，則；mnnm,n其中正確命題的序號(hào)為 .8設(shè)分別為連續(xù)兩次投擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)，且向量，則向量的夾角為nm,1, 1,bnmaba,銳角的概率是_.9設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,63, 763SS則 . nannS987aaa10已知直線(xiàn)

3、過(guò)點(diǎn)且與圓相交于兩點(diǎn)，的面積為 1，則直線(xiàn) 的l)2 , 1 (P2:22 yxCBA,ABCl方程為 .11若鈍角三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊與最小邊長(zhǎng)度之比為，則的取值范圍mmba 開(kāi)始 N Y 結(jié)束 輸出 abaa輸入 ba,是 .12若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則不等式的解集)(xfR0 xxxxfln)(exf)(為 .13曲線(xiàn)與曲線(xiàn)公切線(xiàn)（切線(xiàn)相同）的條數(shù)為 .)0(1xxyxyln14已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為 .yx,111yx1914yyxx二、解答題：本大題共二、解答題：本大題共 6 6 小題，共小題，共 9090 分分. .請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)

4、應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟證明過(guò)程或演算步驟. .15 （本小題滿(mǎn)分 14 分）已知的面積為，且.ABCSSACAB2（1）求；Asin（2）若,求.32, 3ACABABBsin16 （本小題滿(mǎn)分 14 分）如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，平面，ABCDBCDABBCDaBCAB為的中點(diǎn)，在棱上，且.EBCFACFCAF3（1）求三棱錐的體積；ABCD（2）求證：平面；ACDEF（3）若為中點(diǎn)，在棱上，且MDBNAC,求CACN83證：平面. /MNDEF17 （本小題滿(mǎn)分 15 分）某飛機(jī)失聯(lián)，經(jīng)衛(wèi)星偵查，其最后出現(xiàn)在小

5、島附近.現(xiàn)派出四艘搜救船，為方便聯(lián)絡(luò)，ODCBA,船始終在以小島為圓心，100 海里為半徑的圓上，船構(gòu)成正方形編隊(duì)展開(kāi)搜索，小BA,ODCBA,島在正方形編隊(duì)外（如圖）.設(shè)小島到的距離為，船到小島的距離為.OOABxDAOB,Od（1）請(qǐng)分別求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；并分別寫(xiě)出定義域；d, x)(),(fdxgd（2）當(dāng)兩艘船之間的距離是多少時(shí)搜救范圍最大（即最大）. BA,d18（本小題滿(mǎn)分 15 分）已知橢圓的右焦點(diǎn)，離心率為，過(guò)作兩條互相垂直的弦)0( 12222babyax)0 , 1 (F22F，設(shè)的中點(diǎn)分別為.CDAB,CDAB,NM,（1）求橢圓的方程；（2）證明：直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，并求出

6、此定點(diǎn)坐標(biāo)；MN（3）若弦的斜率均存在，求面積的最大CDAB,FMN值. 19 （本小題滿(mǎn)分 16 分）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，設(shè).xxxf24)(ts,0)()(tfsftstsba2,22（1）當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，求的值域；)(xf1 , 1)(xf（2）求函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)的定義域；)(agb )(ag（3）求的取值范圍.ts88 20 （本小題滿(mǎn)分 16 分）已知數(shù)列中，在之間插入 1 個(gè)數(shù)，在之間插入 2 個(gè)數(shù)，在之間插入 3 na11a21,aa32,aa43,aa個(gè)數(shù)，在之間插入個(gè)數(shù)，使得所有插入的數(shù)和原數(shù)列中的所有項(xiàng)按原有位置順序1,nnaan na構(gòu)成一個(gè)正項(xiàng)等差數(shù)列. nb（

7、1）若，求的通項(xiàng)公式；194a nb（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為nS，且滿(mǎn)足為常數(shù)） ，求的通項(xiàng)公式. nb,(2nnbS na江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)期末試題江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)期末試題 第第卷（理科附加卷）卷（理科附加卷）21.【選做題】本題包括 A,B,C,D 四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A.(選修 4-1：幾何證明選講)如圖，圓與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，圓的弦切圓于點(diǎn),及其延長(zhǎng)線(xiàn)交OPBA,POOBCPBCP圓于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn).若，求的長(zhǎng).PED,ECEEF CBF22, 2CBCDEFB.

8、(選修 4-2：矩陣與變換)已知矩陣，試求曲線(xiàn)在矩陣變換下的函數(shù)解析式.10021,2001NMxysinMNC.(選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知直線(xiàn) 的極坐標(biāo)方程為，圓的參數(shù)方程為為參數(shù)）.lsin()63prq-=C10cos(10sinxyqqq=（1）請(qǐng)分別把直線(xiàn) 和圓的方程化為直角坐標(biāo)方程；lC（2）求直線(xiàn) 被圓截得的弦長(zhǎng).lD.(選修 4-5：不等式選講)已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)( )12f xxx=-+-( )ababa f x+-, a bR的取值范圍.x【必做題】第 22，23 題，每小題 10 分，計(jì) 20 分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).22.（本

9、小題滿(mǎn)分 10 分）已知為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.A2:410Cxy-+ =( 2,0)M -2ATTM= T23.（本小題滿(mǎn)分 10 分）已知四棱錐的底面為直角梯形，底面,且PABCD-/ /,90 ,ABCDDABPA=ABCD是的中點(diǎn).11,2PAADDCABM=PB（1）證明：平面平面；PAD PCD（2）求與所成角的余弦值；ACPB（3）求平面與平面所成二面角AMCBMC（銳角）的余弦值. MPADBC江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)期末考試參考答案江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)期末考試參考答案第第卷卷一、填空題（每小題 5 分）題號(hào)答案試題出處知識(shí)點(diǎn)能力難度134i?？碱}改編復(fù)數(shù)的運(yùn)算

10、，共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算易22, 1,0教材改編集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算易375教材改編分層抽樣運(yùn)算易433yx 教材改編雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)運(yùn)算易51教材改編向量的數(shù)量積運(yùn)算易6516教材改編算法流程圖識(shí)圖易7教材改編立體幾何的判定和性質(zhì)定理空間想象中8512原創(chuàng)概率問(wèn)題，向量的夾角運(yùn)算中9448教材改編等比數(shù)列的性質(zhì)，求和運(yùn)算中10，10 x 3450 xy教材改編直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式運(yùn)算中11(2,)模考題改編正弦定理，角度范圍的確定直覺(jué)，圖形分析較難12e(, )原創(chuàng)題函數(shù)的奇偶性，函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)單調(diào)性圖象分析難131?？碱}改編函數(shù)求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)及畫(huà)新函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化，運(yùn)算難1425模考題

11、改編基本不等式求最值轉(zhuǎn)化難二、解答題15. 解：（1） 的面積為，且，ABCS2AB ACS ， 2 分分1cos2sin2bcAbcA ，3 分分sin2cosAA 為銳角，且， 5 分分A2222213sincossinsinsin122AAAAA 6 分分6sin3A （2）設(shè)中角對(duì)邊分別為ABC, ,A B C, ,a b c，7 分分|3ABc |2 3ABACCBa 由正弦定理得：，即 9 分分sinsincaCA32 3sin63C ，又,則銳角，10 分分2sin2C caC ， 11 分分4C 12 分分sinsin()sincoscossin444BAAA= 14 分分62

12、322 3632326【說(shuō)明說(shuō)明】本題是由模擬試題改編，考查三角形中的邊角關(guān)系、向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查正弦定理，三本題是由模擬試題改編，考查三角形中的邊角關(guān)系、向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查正弦定理，三角變換；考查學(xué)生的字母符號(hào)處理能力、運(yùn)算能力能力、書(shū)寫(xiě)表達(dá)角變換；考查學(xué)生的字母符號(hào)處理能力、運(yùn)算能力能力、書(shū)寫(xiě)表達(dá). .16解：（1）因?yàn)?是正三角形，且，所以，2 分分 BCDABBCa234BCDSa因?yàn)槠矫妫珹BBCDSBCD. 5 分分13D ABCA BCDVVAB21334aa3312a（2）在底面在底面中中， （以下運(yùn)用的定理不交代在同一平面中，扣（以下運(yùn)用的定理不交代在同一平面中，扣

13、1 分）分）ABC取的中點(diǎn)，連接，ACHBHABBC,BHAC為的中點(diǎn)，3,AFFCFCH為的中點(diǎn)， EBC 是正三角形,BCDDEBC EF6EFAC 分BH,B BCABBAACBBC面,(98,)DEABCABDECACAC面分分面,),(7BCDBABABDEDCED面分面,ADE EFCEFDEEDEFFE面.10 分分ACDEF面（注意：涉及到立體幾何中的結(jié)論，缺少一個(gè)條件，扣（注意：涉及到立體幾何中的結(jié)論，缺少一個(gè)條件，扣 1 1 分，扣滿(mǎn)該邏輯段得分為止）分，扣滿(mǎn)該邏輯段得分為止）（3）當(dāng)時(shí)，連，設(shè)，連38CNCACMCMDEOOF為的重心,，當(dāng)時(shí),(11 分分) )OBCD2

14、3COCM23CFCNMNOF .14 分分MNDEF面【說(shuō)明說(shuō)明】本題是由模考題改編，考查錐體體積、垂直的判定、平行的判定；考查空間想象能力和識(shí)圖本題是由?？碱}改編，考查錐體體積、垂直的判定、平行的判定；考查空間想象能力和識(shí)圖能力，規(guī)范化書(shū)寫(xiě)表達(dá)能力能力，規(guī)范化書(shū)寫(xiě)表達(dá)能力. .17. 解：設(shè)的單位為百海里 x（1）由，=， 2 分分OAB2cosABOAA2cos A2cosADAB 在中， 3 分分AOD22( )2cos()2ODfOAOBOA OB ；（定義域 1 分） 5 分分214cos4cossin(0,)2 若小島 O 到的距離為， 6 分分ABx222 1ABx 8 分分2

15、2( )()()22ADABODg xx ， （定義域 1 分） 10 分分22212xxx(0,1)x （2）；224cos14cossinOD (0,)21cos2sin241422 2(sin2cos2 )3. 11 分分2 2sin(2)3,(0,)42當(dāng)，則時(shí)，即，取得最大值， 12 分分 52(,)4442428OD此時(shí)（百海里）. 13 分分1cos42cos22282AB答：當(dāng)間距離海里時(shí)，搜救范圍最大. 14 分分 AB100 22【說(shuō)明說(shuō)明】本題是原創(chuàng)題，考查余弦定理，三角恒等變換，數(shù)學(xué)建模的能力，選擇合適的模型求最值的本題是原創(chuàng)題，考查余弦定理，三角恒等變換，數(shù)學(xué)建模的能

16、力，選擇合適的模型求最值的問(wèn)題問(wèn)題. .,OFDEFEMND F面面18. 解：（1）由題意：，則， （每個(gè)（每個(gè) 1 分）分）3 分分21,2cca2,1,1abc橢圓的方程為 4 分分2212xy（2）斜率均存在，設(shè)直線(xiàn)方程為：，,AB CDAB(1)yk x，12121122(,), (,),(, (1)22xxxxA x yB xyMk 得，5 分分22(1),220,yk xxy2222(12)4220kxk xk，故， 6 分分212221224122212kxxkkx xk2222(,)1212kkMkk將上式中的換成，則同理可得：， 8 分分k1k222(,)22kNkk如，得

17、，則直線(xiàn)斜率不存在， 22222122kkk1k MN此時(shí)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，下證動(dòng)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn). 9 分（法一）分（法一）若MN2( ,0)3MN2( ,0)3P直線(xiàn)斜率存在，則 ， MN22224222(33)3122222221122MNkkkkkkkkkkkkk直線(xiàn)為，11 分分MN22232()2212kkyxkkk令，得，0y 222222212312232323kkxkkk綜上，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn). 12 分分MN2( ,0)3（法二）（法二）動(dòng)直線(xiàn)最多過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知，定點(diǎn)必在軸上，設(shè)與軸交點(diǎn)為MNx23x x，下證動(dòng)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).2( ,0)3PMN2( ,0)3P當(dāng)1k 時(shí)，PMk，10

18、 分分22223122221123kkkkkk同理將上式中的換成，可得，11 分分k1k221()3312211PMkkkkk則PMPNkk，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn). 12 分分MN2( ,0)3P（3）由第（2）問(wèn)可知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，MN2( ,0)3P 故 SFMN=SFPM+SFPN221111|23 223 12kkkk 13 分分2222421|(33)1|(1)6 (2)(12)2252kkkkkkkk ， 221(|)1|2225kkkk令，SFMN 14 分分 1|2,)|tkk21( )22(2)5tf tt21221tt，則在單調(diào)遞減， 15 分分2221 12( )02 (21)tftt

19、( )f t2,)t當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí) SFMN取得最大值，此時(shí). 16 分分2t ( )f t191k 【說(shuō)明說(shuō)明】本題原創(chuàng)本題原創(chuàng). . 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)；考查函數(shù)最值、定點(diǎn)定值問(wèn)題題型；考考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)；考查函數(shù)最值、定點(diǎn)定值問(wèn)題題型；考查變量代換法、函數(shù)思想、分類(lèi)討論思想、一般與特殊思想；考查運(yùn)算能力、演繹論證（分析法證明）查變量代換法、函數(shù)思想、分類(lèi)討論思想、一般與特殊思想；考查運(yùn)算能力、演繹論證（分析法證明）能力、直覺(jué)思維能力，猜想探究能力能力、直覺(jué)思維能力，猜想探究能力. . 本題可以不妨設(shè)本題可以不妨設(shè)，可直接對(duì)，可直接對(duì)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性

20、求導(dǎo)，判斷單調(diào)性. .0k 242(1)252k kkk 19. 解：（1）若，令， 1 分分 1,1x 12 ,22xm 在上為增函數(shù)2 分分2211( )( )()24f xl mmmm1 ,22；，3 分分minmin11( )( )( )24f xl ml maxmax( )( )(2)2f xl ml值域?yàn)? 4 分分( )f x1,24（2）實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則，, s t( )( )0f sf t42420sstt 則，6 分分2(22 )22(22 )0sts tst 而，故， ， 7 分分22sta 2s tb220aba21( )()2bg aaa 由題意，則，故， 8 分分0,0

21、ba21()02aa1a 又， 22222442()2ststst即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)， 9 分分 22aa 2a st綜上：. 10 分分12a（3）88(22 )(4224 )()ststsstta ab ， 12 分分2321113()2222a aaaaa (1,2a 令， 3213( ),(1,222h aaaa 當(dāng)恒成立， 14 分分( )h a2333(2)022aaa a (1,2a故在單調(diào)遞增，故. 16 分分( )h a(1,2a( )( (1), (2)h ahh88st(1,2【說(shuō)明說(shuō)明】本題原創(chuàng)，考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查基本不等式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；考查換

22、元法、本題原創(chuàng)，考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查基本不等式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；考查換元法、劃歸思想；考查運(yùn)算變形能力劃歸思想；考查運(yùn)算變形能力. . 20. 解：（1）設(shè)的公差為，由題意：數(shù)列的前幾項(xiàng)為： nbd nb 2 分分1121,bab324563789104,19ba b b ba b b b ba 為的第 10 項(xiàng)，則， 4 分分4a nb1019bbd ，而， 5 分分2d 11b 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 6 分分 nbnb12(1)21nn （2）由（為常數(shù)） ，2nnSb, 得， 7 分分2222()2nnnnSbbb 當(dāng)?shù)茫海?n 2212 當(dāng)時(shí)， 2n 2211122nnnS

23、bb -得， 8 分分221122 ()nnnnnbbbbb則， 9 分分12()2(2)2nnnnbd bbddbdd若，則，代入式，得，不成立； 10 分分0d 11nbb20（法一）（法一）當(dāng)，常數(shù)恒成立，又為正項(xiàng)等差數(shù)列， 2n 2(22 )2nd bdd nb當(dāng)時(shí)，不為常數(shù)，則得， 11 分分0d nb2220,20,ddd11,2d代入式，得. 12 分分14（法二）（法二）,，即， 2(2)2nnbdbdd2(22 )2nd bdd21(22 )(1) 2d bnddd則對(duì)2 恒成立， 222 (1)2(1)2dd ndddn令，得 解得 11 分分2,3n 22224 (1)2

24、(1)2,6 (1)2(1)2,dddddddddd1,1,2d【或者:常數(shù)，則，得，222 (1)2(1)2dd nddd2 (1)0dd1d 當(dāng)時(shí)，代入上式得】1d 1,2代入式，得. 12 分分14（法三）（法三）由12()2(2)nnnbd bbd n，得1122()2(3)nnnbd bbd n，-，得222dd， 代入上式得11 分分1d 1,2代入式，得. 12 分分14所以等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則. 13 分分 nb11b 1d nbn設(shè)中的第項(xiàng)為數(shù)列中的第項(xiàng)，則前面共有的項(xiàng)，又插入了nan nbknana1n 項(xiàng)，則：15 分分(1)123(1)2n nn(1)(1)12n nkn22nn故. 16 分分22nknnabk【說(shuō)明說(shuō)明】本題是原創(chuàng)題，考查等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)、求和、簡(jiǎn)單遞推；考查一般與特殊思想、轉(zhuǎn)化本題是原創(chuàng)題，考查等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)、求和、簡(jiǎn)單遞推；考查一般與特殊思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想；考查運(yùn)算能力；考查分析探究能力與劃歸思想；考查運(yùn)算能力；考查分析探究能力. .第第卷理科附加卷卷理科附加卷 21.B 解：MN =， 4 分分10021020110202 即在矩陣 MN 變換下，