泰勒公式及其應(yīng)用88497

1、泰勒公式及其應(yīng)用許文鋒華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) 2007級(jí)6班 指導(dǎo)老師：謝驪玲中文摘要文章簡(jiǎn)要介紹了泰勒公式的證明及其推導(dǎo)過(guò)程，詳細(xì)討論了泰勒公式在高等數(shù)學(xué)、數(shù)值分析、數(shù)值最優(yōu)化理論、其他非數(shù)學(xué)領(lǐng)域等應(yīng)用,其中包括利用泰勒公式求近似值、證明積分、不等式、求行列式等高等數(shù)學(xué)問(wèn)題；在數(shù)值分析問(wèn)題上面主要討論了泰勒公式在數(shù)值微積分及微分方程數(shù)值解上的應(yīng)用；在最優(yōu)化問(wèn)題上面，分別討論了泰勒公式在理論證明和算法設(shè)計(jì)上面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 ：泰勒公式，高等數(shù)學(xué)，數(shù)值分析，數(shù)值最優(yōu)化，應(yīng)用Taylor Formula and its ApplicationXu WenFeng（Grade

2、07,Class 6, Major in Information and Computing Science,Schoolof Mathematics,SouthChinaNormalUniversity)Tutor:Xie LiLingAbstractThis paper briefly introduces the proof of Taylor and its derivation.And we discuss the application of Taylor formula in detail in some fields such as advanced mathematics,

3、numerical analysis, numerical optimization theory and other applications in some nonmathematical fields ,including using Taylor formula to solve some advanced mathematical problems such as approximation, proof of integral, inequality, solution of determinant etc. In numerical analysis we mainly disc

4、uss the applications of Taylor formula in numerical differentiation and numerical integration.As for numerical optimization ，we discuss the applications of Taylor formula in theoretical proof and algorithm design.Keyword ： Taylor formula, advanced mathematics, numerical analysis, numerical optimizat

5、ion, applications一、前言對(duì)于某些函數(shù)，如果我們要求其在某一點(diǎn)上的值，有時(shí)是無(wú)法通過(guò)直接計(jì)算得到的.在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)和微分概念時(shí)我們已經(jīng)知道，如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則，即在點(diǎn)附近，用一次多項(xiàng)式逼近函數(shù)時(shí)，其誤差為的高階無(wú)窮小.然而在通常的場(chǎng)合中，取一次的多項(xiàng)式逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項(xiàng)式去逼近，因此我們提出了用一個(gè)多項(xiàng)式去逼近一個(gè)函數(shù)，泰勒公式就是滿足上述逼近性質(zhì)的多項(xiàng)式.泰勒公式尤其在一些近似計(jì)算和數(shù)值方法上發(fā)揮著舉足輕重的作用.本文分為三部分，第一部分是給出了本文所需要用的定理和推論；第二部分是一元泰勒公式的推導(dǎo)和證明以及多元泰勒公式的介紹；第三部分是通過(guò)多個(gè)實(shí)例

6、介紹泰勒公式的應(yīng)用，包括在高等數(shù)學(xué)和數(shù)值計(jì)算方面的應(yīng)用。二、預(yù)備知識(shí)及定理1.柯西中值定理設(shè)1函數(shù)滿足是在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 則至少存在一點(diǎn) ，使2.拉格朗日中值定理 取時(shí)候，就有于是就得到了拉格朗日中值定理.3.連續(xù)函數(shù)介值定理函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在該閉區(qū)間必有最大值和最小值，且.那么，對(duì)于在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 特別地，當(dāng)時(shí)，在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得4.比較原則 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在某整數(shù) ，對(duì)于一切都有則 (i) 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂； (ii)若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散.三、一元泰勒公式若函數(shù)在含有的開區(qū)間內(nèi)有直到階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，可展開為一個(gè)關(guān)于的

7、多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和：其中在和之間的一個(gè)數(shù)，該余項(xiàng)為拉格朗日余項(xiàng)。1.泰勒公式的推導(dǎo)過(guò)程我們知道，根據(jù)拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有限增量定理有，其中誤差是在即的前提下才趨于0，所以在近似計(jì)算中往往不夠精確，于是我們需要一個(gè)能夠精確計(jì)算的而且能估計(jì)出誤差的多項(xiàng)式：來(lái)近似表達(dá)函數(shù)并且誤差為； 設(shè)多項(xiàng)式滿足因此可以得出.顯然，所以；，所以；，所以，所以有因此，多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)已經(jīng)全部求出了，多項(xiàng)式為：其實(shí)要推出泰勒公式的表達(dá)式并不難，關(guān)鍵就是要推出其誤差表達(dá)式，即余項(xiàng)。2.泰勒公式余項(xiàng)的證明我們利用柯西中值定理來(lái)推出泰勒公式的余項(xiàng)（拉格朗日余項(xiàng)）：設(shè)于是有所以有根據(jù)柯西中值定理可得：是在和之間的一個(gè)數(shù)；

8、對(duì)上式再次使用柯西中值定理，可得：是在和之間的一個(gè)數(shù)；連續(xù)使用柯西中值定理次后得到： 這里是介于和之間的一個(gè)數(shù)。由于，是一個(gè)常數(shù)，故，于是得到：，綜上可得，余項(xiàng)：介于和之間此余項(xiàng)又稱為拉格朗日余項(xiàng)。到此為止，我們知道了泰勒公式的一般形式可以表示為：其中為泰勒公式的余項(xiàng)，它可以有一下幾種形式：(1)佩亞諾（Peano）余項(xiàng)(2)施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche)余項(xiàng),介于和之間(3)拉格朗日(Lagrange)余項(xiàng)介于和之間(4)柯西(Cauchy)余項(xiàng)介于和之間(5)積分余項(xiàng)泰勒公式的特殊形式：當(dāng)取的時(shí)候此時(shí)泰勒公式為：為相應(yīng)的余項(xiàng)，該式叫做泰勒公式的麥克勞林展開，也叫做麥克

9、勞林公式；麥克勞林公式主要應(yīng)用在一些比較特殊的函數(shù)，如三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等.如：對(duì)或的麥克勞林展開進(jìn)行求值計(jì)算；歐拉公式的證明與應(yīng)用等等.運(yùn)用麥克勞林展開可以得到一些常用的泰勒展開式：.四、多元泰勒公式除了上面的一元泰勒公式外，多元泰勒公式的應(yīng)用也非常的廣泛；特別是在微分方程數(shù)值解和最優(yōu)化上面，有著很大的作用。1.二元泰勒展開引人記號(hào)：， 則二元函數(shù)在處的泰勒展開為：是二元泰勒公式的余項(xiàng)由于二元泰勒展開比較復(fù)雜，所以在一般的應(yīng)用之中，只作二階泰勒展開.2.二元泰勒展開的余項(xiàng)與一元泰勒公式類似，二元泰勒公式的余項(xiàng)分別有：(1)佩亞諾（Peano）余項(xiàng)(2)拉格朗日(Lagrange)余項(xiàng)()是和

10、線段上的一點(diǎn)3.多元函數(shù)泰勒展開(1)多元函數(shù)一階泰勒展開 多元函數(shù)，則在的一階泰勒展開為：或?qū)τ谌我獾募叭我獾?，有?(2)在的二階泰勒展開式或?qū)τ谌我獾募叭我獾模卸嘣├展街饕獞?yīng)用在微分方程數(shù)值解和最優(yōu)化上面.五、泰勒公式的應(yīng)用1.泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用(1)利用泰勒公式求極限例1.1 求 解：由泰勒公式 因此有(2)利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)例1.2 求函數(shù)在處的高階導(dǎo)數(shù).解：設(shè) 則 而且在的泰勒展開為： 從而 故 所以(3)泰勒公式在定積分上的應(yīng)用可利用泰勒展開證明些定積分問(wèn)題.例1.3 在上，且，試證明證明：任取，利用泰勒公式及條件，可得其中則所以有即 ()設(shè),使，根據(jù)及條件即

11、(4)利用泰勒公式證明根的存在唯一性例1.4 設(shè)在上二階可導(dǎo),且,對(duì),證明：方程在內(nèi)存在唯一實(shí)根. 證明：因?yàn)?所以單調(diào)減少,又,因此時(shí),故在上嚴(yán)格單調(diào)減少.在點(diǎn)展開一階泰勒公式有由題設(shè),于是有,從而必存在,使得,又因?yàn)?在上應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在,使,由的嚴(yán)格單調(diào)性知唯一,因此方程在內(nèi)存在唯一實(shí)根.(5)利用泰勒公式判斷級(jí)數(shù)的斂散性例1.5 判定級(jí)數(shù)的斂散性分析：判定級(jí)數(shù)的收斂性有多種方法，本例存在對(duì)數(shù)項(xiàng)，因此首先考慮的就是把指數(shù)去掉，因此先用泰勒展開去掉指數(shù)項(xiàng)，然后再化簡(jiǎn)。解：由（麥克勞林）泰勒公式有,所以所以故該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù).又因?yàn)樗砸驗(yàn)槭諗?所以由正向級(jí)數(shù)比較原則知級(jí)數(shù) 收斂

12、(6)利用泰勒公式求定積分的近似值例1.6 求定積分的近似值 分析：由于被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，用牛頓-萊布尼茲公式無(wú)法求出其精確的解.若用泰勒展開，就能方便的求得其近似解.解：由泰勒公式得 故有 所以由牛頓-萊布尼茲公式 因?yàn)? 故(7)利用泰勒公式求行列式的值例1.7 求階行列式的值= 分析：用行列式的性質(zhì)直接求解該行列式是比較困難的，但是如果把行列式看作是某個(gè)變量的泰勒展開，然后再求解就非常簡(jiǎn)單了.解：設(shè) 則在上的泰勒展開為其中將列乘(-1)+第列，故又對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)因此有根據(jù)遞推關(guān)系有再有遞推關(guān)系有有上面兩個(gè)遞推關(guān)系可以得到：所以 如果，則 若 ，則 因此行列式2.泰勒公式在數(shù)值分

13、析上面的應(yīng)用(1)泰勒公式在插值問(wèn)題中的應(yīng)用 泰勒公式的思想就是用一個(gè)多項(xiàng)式去逼近某個(gè)連續(xù)函數(shù)，從而可以簡(jiǎn)化計(jì)算.在數(shù)值分析之中，多項(xiàng)式插值是一種常見的逼近法，利用泰勒公式，也能實(shí)現(xiàn)插值近似計(jì)算.例2.1 對(duì)進(jìn)行插值計(jì)算，求其近似值利用泰勒公式將下式展開成泰勒級(jí)數(shù)形式 (2.1)假設(shè)因子為已知的.將該級(jí)數(shù)在項(xiàng)后截?cái)?，這表示誤差(在圓括號(hào)內(nèi))最多為，其中為相鄰兩個(gè)插值點(diǎn)之間的間隔.假設(shè)，這個(gè)誤差就是.它說(shuō)明，若在項(xiàng)處停止，在計(jì)算的值時(shí)可以精確到5位十進(jìn)制數(shù)(不是指小數(shù)位數(shù)).例如，用表1中的數(shù)據(jù)，的插值進(jìn)行如下，取它的全部5位都是正確的，我們的配置多項(xiàng)式(2.1)也會(huì)產(chǎn)生同樣的結(jié)果. 表12.6

14、02.652.702.752.8013.46414.15414.88015.64316.445(2)泰勒公式在數(shù)值微分和積分的應(yīng)用(i)利用泰勒公式可以構(gòu)造各階精度的數(shù)值微分公式例如 設(shè)節(jié)點(diǎn)為等距的，即為一個(gè)正整數(shù)，有階的微商，對(duì)，利用泰勒展開公式有其中.分別取可以得到：其中.忽略各式中的余項(xiàng)，可得用差商近似微商的如下數(shù)值微分公式： 一階微商的向前差商近似公式： 一階微商的向后差商近似公式： 一階微商的中心差商近似公式： 二階微商的中心差商近似公式：當(dāng)?shù)母麟A導(dǎo)函數(shù)有界時(shí)，可知道，一階微商的向前、向后差商近似的截?cái)嗾`差量級(jí)是，一階微商的中心差商近似的截?cái)嗾`差量級(jí)是，二階微商的中心差商近似的截?cái)嗾`

15、差量級(jí)是.(ii)利用泰勒公式可以推導(dǎo)出數(shù)值積分中點(diǎn)公式、梯形公式與Simpson公式的截?cái)嗾`差 設(shè)，且已知處的函數(shù)值,則我們可以得到一個(gè)最簡(jiǎn)單的求積公式：該公式稱為中點(diǎn)求積公式； 若已知兩點(diǎn)的函數(shù)值為，則我們可以作的一次插值多項(xiàng)式從而有該公式稱為梯形公式； 若已知三點(diǎn)的函數(shù)值，則我們可以作的二次插值多項(xiàng)式從而有該求積公式稱為Simpson公式或拋物線公式.例2.2利用泰勒公式證明中點(diǎn)公式的截?cái)嗾`差為 ，證明：假設(shè)將在處泰勒展開得對(duì)上式兩邊同時(shí)關(guān)于在區(qū)間上進(jìn)行積分有即 同理利用泰勒公式能推導(dǎo)出梯形公式的截?cái)嗾`差為Simpson公式的截?cái)嗾`差為(iii)泰勒公式在數(shù)值分析中的其他應(yīng)用，比如利用泰

16、勒公式在Richardson外推加速收斂數(shù)值計(jì)算方法方面的應(yīng)用.例2.3依據(jù)的值，用外推算法求的近似值. 解：將在處進(jìn)行泰勒展開，有 整理得 由于展開式余項(xiàng)僅含的偶次項(xiàng)，故可以用外推技術(shù)，利用公式計(jì)算如下32.59807623.13397463.141580163.00000003.141104893.1058286故(iv)泰勒公式是一些數(shù)值迭代法的基礎(chǔ)，利用泰勒公式能推導(dǎo)出某些數(shù)值迭代法，如牛頓(Newton)迭代法.例2.4 牛頓迭代法的推導(dǎo) 設(shè)在其零點(diǎn)附近充分光滑，都在附近.由泰勒展開式介于與之間當(dāng)很小時(shí),忽略右端最后一項(xiàng)高階小量，從而有這樣我們有，即可以構(gòu)造迭代序列， 這就是牛頓(N

17、ewton)迭代法.3泰勒公式在微分方程數(shù)值解的應(yīng)用在微分方程數(shù)值方法主要是求初值問(wèn)題的解.利用泰勒公式可以知道，初值問(wèn)題的單步法為證明：設(shè)初值問(wèn)題的解充分光滑.將在處用泰勒公式展開：（3.1）其中，（3.2）令（3.3）則可將3.1改寫為舍去余項(xiàng)，則得一般來(lái)說(shuō)，已知，則 ， 于是就得到了初值問(wèn)題的單步法.4.多元泰勒公式在數(shù)值最優(yōu)化上的應(yīng)用(1) 泰勒公式在數(shù)值最優(yōu)化理論證明中的應(yīng)用 (i)定理4.1(無(wú)約束問(wèn)題解的一階必要條件) 設(shè)連續(xù)可微，是無(wú)約束問(wèn)題的一個(gè)局部最優(yōu)解，則滿足 證明：任給，由局部最優(yōu)解的定義和多元泰勒展開，對(duì)任意充分小的數(shù)，有 不等式的兩端同時(shí)減去后除以，并令可得.特別令

18、得從而， (ii)定理4.2(無(wú)約束問(wèn)題解的二階必要條件) 設(shè)二次連續(xù)可微，是無(wú)約束問(wèn)題的一個(gè)局部最優(yōu)解，則滿足且半正定. 證明：由定理4.1，只需證明半正定.任給，由最優(yōu)解的定義和二階泰勒展開，對(duì)任意充分小的數(shù)，有 由和的任意性得 即半正定.(iii)定理4.3(無(wú)約束問(wèn)題解的二階充分條件) 二次連續(xù)可微.若滿足且正定，則是無(wú)約束問(wèn)題的一個(gè)嚴(yán)格局部最優(yōu)解.證明：由于正定，故存在常數(shù)，使得對(duì)所有的，正定.由此，對(duì)任意，.由泰勒展開知，存在使得即是問(wèn)題的一個(gè)嚴(yán)格局部最優(yōu)解.(2) 泰勒公式在數(shù)值最優(yōu)化算法設(shè)計(jì)中的應(yīng)用我們知道最優(yōu)化算法中我們需要知道兩個(gè)重要的條件，一個(gè)的算法迭代步長(zhǎng)，而另外一個(gè)就

19、是算法的下降方向，利用泰勒公式展開，能幫助我們確定下降算法的方向. 例4.1 求最速下降法的下降方向. 解： 在的一階泰勒展開為 若設(shè) 則可以知道為在的下降方向. 對(duì)任意，由Cauchy-Schwarz不等式，得 當(dāng)是上式不等式成立，這時(shí)我們稱為在處的最速下降方向5.泰勒公式在其他領(lǐng)域的應(yīng)用分子動(dòng)力學(xué)數(shù)值方法廣泛應(yīng)用于計(jì)算化學(xué)、計(jì)算物理、材料科學(xué)以及生物科學(xué).等領(lǐng)域中一個(gè)經(jīng)典體系的Hamilton量等于它的總能量這里是動(dòng)能，為勢(shì)能，是粒子的動(dòng)量，是粒子的質(zhì)量，的粒子的位置.由Newton第二定律有（5.1）這里是作用于粒子上的力由的定義，更加一般的運(yùn)動(dòng)方程式是（5.2）求解方程組（5.1）或（5.2）的方法就是分子動(dòng)力學(xué)方法.對(duì)此我們僅考慮分子動(dòng)力學(xué)數(shù)值方法，其中不考慮分子動(dòng)力學(xué)其他方面.Verlet方法Verlet方法是利用泰勒展開的一種求解方法.由泰勒展開式有這里是時(shí)間步長(zhǎng)，上面兩式相加，可得然后應(yīng)用中心差商可得到6.總結(jié) 本文主要介紹了泰勒公式在高等數(shù)學(xué)和數(shù)值分析上面的應(yīng)用，通過(guò)列舉大量的例題證明，說(shuō)明了從泰勒公式的推導(dǎo)及其到在各領(lǐng)域上的應(yīng)用，讓我們了解到泰勒公式的重要性，只要我們細(xì)心觀察，認(rèn)真去總結(jié)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)我們的學(xué)習(xí)和生活處處都可以找到泰勒公式的影子.參考文獻(xiàn)1