高中數(shù)學(xué)直線與圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、 高中數(shù)學(xué)之直線與圓的方程一、概念理解：1、傾斜角：找：直線向上方向、x軸正方向； 平行：=0°； 范圍：0°180° 。2、斜率：找k ：k=tan （90°）； 垂直：斜率k不存在； 范圍： 斜率 k R 。3、 斜率與坐標(biāo)： 構(gòu)造直角三角形（數(shù)形結(jié)合）； 斜率k值于兩點(diǎn)先后順序無(wú)關(guān)； 注意下標(biāo)的位置對(duì)應(yīng)。4、 直線與直線的位置關(guān)系： 相交：斜率（前提是斜率都存在） 特例-垂直時(shí)：<1> ； <2> 斜率都存在時(shí)： 。 平行：<1> 斜率都存在時(shí)：； <2> 斜率都不存在時(shí)：兩直線都與x軸垂直。 重合：

2、 斜率都存在時(shí)：；二、方程與公式：1、直線的五個(gè)方程： 點(diǎn)斜式： 將已知點(diǎn)直接帶入即可； 斜截式： 將已知截距直接帶入即可； 兩點(diǎn)式： 將已知兩點(diǎn)直接帶入即可； 截距式： 將已知截距坐標(biāo)直接帶入即可； 一般式： ，其中A、B不同時(shí)為0 用得比較多的是點(diǎn)斜式、斜截式與一般式。2、求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可3、距離公式： 兩點(diǎn)間距離： 點(diǎn)到直線距離： 平行直線間距離： 4、中點(diǎn)、三分點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn) AB中點(diǎn)： AB三分點(diǎn)： 靠近A的三分點(diǎn)坐標(biāo) 靠近B的三分點(diǎn)坐標(biāo)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，在求對(duì)稱點(diǎn)、第四章圓與方程中，經(jīng)常用到。三分點(diǎn)坐標(biāo)公式，用得較少，多見(jiàn)于大題難題。5.直

3、線的對(duì)稱性問(wèn)題 已知點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱:設(shè)這個(gè)點(diǎn)為P（x0，y0）,對(duì)稱后的點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則pp的斜率與已知直線的斜率垂直，且pp的中點(diǎn)坐標(biāo)在已知直線上。3、 解題指導(dǎo)與易錯(cuò)辨析：1、解析法（坐標(biāo)法）： 建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，依據(jù)幾何性質(zhì)關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)； 依據(jù)代數(shù)關(guān)系（點(diǎn)在直線或曲線上），進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算，并得出相關(guān)結(jié)果；yxo 將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果，翻譯成幾何中“所求或所要證明”。2、 動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離“最值問(wèn)題”： 的最小值：找對(duì)稱點(diǎn)再連直線，如右圖所示： 的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊”； 的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對(duì)稱軸”。3、 直線必過(guò)點(diǎn)：

4、含有一個(gè)參數(shù)-y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0 => 必過(guò)點(diǎn)(-2,3) 含有兩個(gè)參數(shù)-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 聯(lián)立方程組求解 => 必過(guò)點(diǎn)(-1/7,3/7)4、 易錯(cuò)辨析： 討論斜率的存在性： 解題過(guò)程中用到斜率，一定要分類討論：<1>斜率不存在時(shí)，是否滿足題意； <2>斜率存在時(shí)，斜率會(huì)有怎樣關(guān)系。 注意“截距”可正可負(fù)，不能“錯(cuò)認(rèn)為”截距就是距離，會(huì)丟解； （求解直線與坐標(biāo)軸圍成面積時(shí)，較為常見(jiàn)。）

5、 直線到兩定點(diǎn)距離相等，有兩種情況： <1> 直線與兩定點(diǎn)所在直線平行； <2> 直線過(guò)兩定點(diǎn)的中點(diǎn)。圓的方程1. 定義：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)以定長(zhǎng)繞一周所形成的圖形叫做圓，其中定點(diǎn)稱為圓的圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑.2. 圓的方程表示方法：第一種：圓的一般方程 其中圓心，半徑.當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程無(wú)圖形.第二種：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓第三種：圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）注：圓的直徑方程：已知3. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)及圓.在圓內(nèi)在圓上在圓外4. 直線和圓的位置關(guān)系： 設(shè)圓圓：； 直線：； 圓心到直線的距離.時(shí)，與相

6、切；時(shí)，與相交；，時(shí)，與相離. 5、 圓的切線方程： 一般方程若點(diǎn)(x0 ,y0)在圓上，則(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特別地，過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為.(注:該點(diǎn)在圓上，則切線方程只有一條)若點(diǎn)(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.（注：過(guò)圓外的點(diǎn)引切線必定有兩條,若聯(lián)立的方程只有一個(gè)解，那么另外一條切線必定是垂直于X軸的直線。）6.圓系方程：過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓方程：假設(shè)兩圓方程為：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0則過(guò)兩圓的交點(diǎn)圓方程可設(shè)為：x2+y2+D1x+E1y+F1+（x2+y2+

7、D2x+E2y+F2）=0過(guò)兩圓的交點(diǎn)的直線方程：x2+y2+D1x+E1y+F1- x2+y2+D2x+E2y+F2=0（兩圓的方程相減得到的方程就是直線方程）7.與圓有關(guān)的計(jì)算：弦長(zhǎng)的計(jì)算：AB=2*R2-d2 其中R是圓的半徑，d等于圓心到直線的距離AB=（1+k2）*X1-X2 其中k是直線的斜率，X1與X2是直線與圓的方程聯(lián)立之后得到的兩個(gè)根過(guò)圓內(nèi)的一點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)是垂直于過(guò)圓心的直線圓內(nèi)的最長(zhǎng)弦是直徑8.圓的一些最值問(wèn)題圓上的點(diǎn)到直線的最短距離=圓心到直線的距離減去半徑圓上的點(diǎn)到直線的最長(zhǎng)距離=圓心到直線的距離加上半徑假設(shè)P（x，y）是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（x-a）/（y-b）的最值

8、可以轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與該點(diǎn)（a，b）的斜率問(wèn)題，即先求過(guò)該定點(diǎn)的切線，得到的斜率便是該分式的最值。假設(shè)P（x，y）是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則求x+y或x-y的最值可以轉(zhuǎn)化為：設(shè)T=x+y或T=x-y，在圓上找到點(diǎn)(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y軸上的截距最值化。9.圓的對(duì)稱問(wèn)題已知圓關(guān)于已知的直線對(duì)稱，則對(duì)稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關(guān)于該直線對(duì)稱后得到的圓心坐標(biāo)即可。若某條直線無(wú)論其如何移動(dòng)都能平分一個(gè)圓，則這個(gè)直線必過(guò)某定點(diǎn)，且該定點(diǎn)是圓的圓心坐標(biāo)圓錐曲線橢圓橢圓：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的集合1、定義： 第二定義：2、標(biāo)準(zhǔn)方

9、程： 或 ；3、參數(shù)方程 （為參數(shù)）幾何意義：離心角4、幾何性質(zhì)：（只給出焦點(diǎn)在x軸上的的橢圓的幾何性質(zhì)）、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、離心率 準(zhǔn)線：（課改后對(duì)準(zhǔn)線不再要求，但題目中偶爾給出）5、焦點(diǎn)三角形面積：（設(shè)）(推導(dǎo)過(guò)程必須會(huì))6、橢圓面積：（了解即可）7、直線與橢圓位置關(guān)系：相離（）；相交（）；相切（） 判定方法：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式判斷根的個(gè)數(shù)8、橢圓切線的求法1）切點(diǎn)（）已知時(shí)， 切線 切線2）切線斜率k已知時(shí)， 切線 切線9、焦半徑：橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離 （左加右減） （下加上減）雙曲線1、定義： 第二定義：2、標(biāo)準(zhǔn)方程：（焦點(diǎn)在x軸）（焦點(diǎn)在y軸） 參數(shù)方程： （為參數(shù)） 用法

10、：可設(shè)曲線上任一點(diǎn)P3、幾何性質(zhì) 頂點(diǎn) 焦點(diǎn) 離心率 準(zhǔn)線 漸近線 或 或4、特殊雙曲線 、等軸雙曲線 漸近線 、雙曲線的共軛雙曲線 性質(zhì)1：雙曲線與其共軛雙曲線有共同漸近線 性質(zhì)2：雙曲線與其共軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上5、直線與雙曲線的位置關(guān)系 相離（）； 相切（）； 相交（） 判定直線與雙曲線位置關(guān)系需要與漸近線聯(lián)系一起 時(shí)可以是相交也可以是相切6、焦半徑公式 點(diǎn)P在右支上 （左加右減） 點(diǎn)P在左支上 （左加右減） 點(diǎn)P在上支上 （下加上減） 點(diǎn)P在上支上 （下加上減）7、雙曲線切線的求法 切點(diǎn)P已知 切線 切線 切線斜率K已知 8、焦點(diǎn)三角形面積：（為）拋物線1、定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)

11、和一定直線的距離相等的點(diǎn)的集合（軌跡）2、幾何性質(zhì)：P幾何意義：焦準(zhǔn)距 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離設(shè)為P標(biāo)準(zhǔn)方程： 圖 像： 范 圍： 對(duì) 稱 軸： x軸 x軸頂 點(diǎn)： （0，0） （0，0）焦 點(diǎn)： （） （）離 心 率： 準(zhǔn) 線： 標(biāo)準(zhǔn)方程： 圖 像： 范 圍： 對(duì) 稱 軸： y軸 y軸定 點(diǎn)： （0，0） （0，0）焦 點(diǎn)： （0，） 離 心 率： 準(zhǔn) 線： 3、參數(shù)方程（t為參數(shù)方程）4、通徑：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦 橢圓：雙曲線通徑長(zhǎng) 拋物線通徑長(zhǎng)2P5、直線與拋物線的位置關(guān)系1）相交（有兩個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)） 2）相切（有一個(gè)交點(diǎn)）；3）相離（沒(méi)有交點(diǎn)）6、拋物線切線的求法1）切點(diǎn)P已知：的

12、切線；2）切線斜率K已知： 此類公式填空選擇或解答題中（部分）可作公式直接應(yīng)用附加：弦長(zhǎng)公式：與曲線交與兩點(diǎn)A、B則解題指導(dǎo)：軌跡問(wèn)題： (一)求軌跡的步驟1、建模：設(shè)點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)p（x，y）2、立式：寫出適條件的p點(diǎn)的集合3、代換：用坐標(biāo)表示集合列出方程式f（x，y）=04、化簡(jiǎn)：化成簡(jiǎn)單形式，并找出限制條件5、證明：以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上 （二）求軌跡的方法1、直接法：求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)，按五步去直接求出軌跡2、定義法：利用已知或幾何圖形關(guān)系找到符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義3、轉(zhuǎn)移代入法：適用于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一曲線上的動(dòng)點(diǎn)變化問(wèn)題4、交軌法：適用于求兩條動(dòng)直線交點(diǎn)的軌

13、跡問(wèn)題。用一個(gè)變量分別表示兩條動(dòng)直線，然后聯(lián)立，消去變量即可。5、參數(shù)法：用一個(gè)變量分別表示所求軌跡上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，聯(lián)立消參。6、同一法：利用兩種思維分別求出同一條直線，再參考參數(shù)法，找到軌跡方程。弦長(zhǎng)問(wèn)題：|AB|=。弦的中點(diǎn)問(wèn)題：中點(diǎn)坐標(biāo)公式-注意應(yīng)用判別式。.求曲線的方程1曲線的形狀已知這類問(wèn)題一般可用待定系數(shù)法解決。例1 （1994年全國(guó)）已知直線L過(guò)原點(diǎn)，拋物線C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，8）關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px

14、(p>0).設(shè)A、B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)分別為A/、B/，則利用對(duì)稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為：A/（），B/（）。因?yàn)锳/、B/均在拋物線上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直線L的方程為：y=x,拋物線C的方程為y2=x.2曲線的形狀未知-求軌跡方程 例3 （1994年全國(guó)）MNQO已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x2+y2=1, 動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)（>0）,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè)MN切圓C于點(diǎn)N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面幾何知識(shí)可知：|MN|2=|MO|2-|ON|

15、2=|MO|2-1，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.當(dāng)=1時(shí)它表示一條直線；當(dāng)1時(shí)，它表示圓。這種方法叫做直接法。O A xBC.研究圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題1有關(guān)最值問(wèn)題例6 (1990年全國(guó))設(shè)橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x上，離心率，已知點(diǎn)P（0，）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：最值問(wèn)題，函數(shù)思想。關(guān)鍵是將點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離表示為某一變量是函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識(shí)求其最大值。設(shè)橢圓方程為，則由e=得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.設(shè)Q(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，則:|PQ|=(-by

16、b).若b<，則-<-b,當(dāng)y=-b時(shí)|PQ|max=.解得：b=->與b<矛盾；若b，則當(dāng)y=-時(shí)|PQ|max=,解得:b=1,a=2.2有關(guān)范圍問(wèn)題例7 （2001春季高考題）已知拋物線y2=2px(p>0)，過(guò)M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|2p。（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題，對(duì)于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過(guò)解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對(duì)于（2）首先要把NAB的面積