高三二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題九 新人教版

1、2012屆高三二輪復(fù)習(xí)專題（九）題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)問題高考要求 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生掌握兩種函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)并會(huì)用它們?nèi)ソ鉀Q某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題 重難點(diǎn)歸納 (1)運(yùn)用兩種函數(shù)的圖像和性質(zhì)去解決基本問題 此類題目要求考生熟練掌握函數(shù)的圖像和性質(zhì)并能靈活應(yīng)用 (2)綜合性題目 此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力 (3)應(yīng)用題目 此類題目要求考生具有較強(qiáng)的建模能力 典型題例示范講解 例1已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖像交于A、B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖像交于C、D兩

2、點(diǎn) (1)證明 點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上；(2)當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo) 命題意圖 本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖像、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力 知識(shí)依托 (1)證明三點(diǎn)共線的方法 kOC=kOD (2)第(2)問的解答中蘊(yùn)涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A點(diǎn)坐標(biāo) 錯(cuò)解分析 不易考慮運(yùn)用方程思想去解決實(shí)際問題 技巧與方法 本題第一問運(yùn)用斜率相等去證明三點(diǎn)共線；第二問運(yùn)用方程思想去求得點(diǎn)A的坐標(biāo) (1)證明 設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,由題意知 x1>1,x2>1,則A、B縱坐標(biāo)分別為log8x1,log8x2 因

3、為A、B在過點(diǎn)O的直線上，所以,點(diǎn)C、D坐標(biāo)分別為(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x2,所以O(shè)C的斜率 k1=,OD的斜率 k2=，由此可知 k1=k2,即O、C、D在同一條直線上 (2)解 由BC平行于x軸知 log2x1=log8x2 即 log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x10,x13=3x1 又x1>1,x1=,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，log8) 例2在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),對(duì)每個(gè)自然

4、數(shù)n點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000()x(0<a<1)的圖像上，且點(diǎn)Pn,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形 (1)求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(2)若對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n,以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；(3)設(shè)Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列Cn前多少項(xiàng)的和最大？試說明理由 命題意圖 本題把平面點(diǎn)列，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)、最值等知識(shí)點(diǎn)揉合在一起，構(gòu)成一個(gè)思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對(duì)綜合知識(shí)分析和運(yùn)用的能力 知識(shí)依托 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及數(shù)列、最值等知識(shí) 錯(cuò)解分析 考生對(duì)綜合

5、知識(shí)不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口 技巧與方法 本題屬于知識(shí)綜合題，關(guān)鍵在于讀題過程中對(duì)條件的思考與認(rèn)識(shí)，并會(huì)運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)去解決問題 解 (1)由題意知 an=n+,bn=2000() (2)函數(shù)y=2000()x(0<a<10)遞減，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,有bn>bn+1>bn+2 則以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()1>0,解得a<5(1+)或a>5(1) 5(1)<a<10 (3)5(1)<a<10,a=7bn=2000() 數(shù)列bn是一個(gè)遞

6、減的正數(shù)數(shù)列，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n2,Bn=bnBn1 于是當(dāng)bn1時(shí)，Bn<Bn1,當(dāng)bn<1時(shí)，BnBn1,因此數(shù)列Bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn1且bn+1<1,由bn=2000()1得 n20 8 n=20 例3設(shè)f(x)=log2,F(x)=+f(x) (1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義，給出證明；(2)若f(x)的反函數(shù)為f1(x),證明 對(duì)任意的自然數(shù)n(n3),都有f1(n)>(3)若F(x)的反函數(shù)F1(x),證明 方程F1(x)=0有惟一解 解 (1)由>0,且2x0得F(x)的定義域?yàn)?1，1)，設(shè)1x1x21,則F(x2)F

7、(x1)=()+(),x2x1>0,2x1>0,2x2>0,上式第2項(xiàng)中對(duì)數(shù)的真數(shù)大于1 因此F(x2)F(x1)>0,F(x2)>F(x1),F(x)在(1，1）上是增函數(shù) (2)證明 由y=f(x)=得 2y=,f1(x)=,f(x)的值域?yàn)镽，f-1(x)的定義域?yàn)镽 當(dāng)n3時(shí)，f-1(n)> 用數(shù)學(xué)歸納法易證2n>2n+1(n3),證略 (3)證明 F(0)=,F1()=0,x=是F1(x)=0的一個(gè)根 假設(shè)F1(x)=0還有一個(gè)解x0(x0),則F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0) 這是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解 學(xué)生鞏固

8、練習(xí) 1 定義在(,+)上的任意函數(shù)f(x)都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)和一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x(,+),那么( )A g(x)=x,h(x)=lg(10x+10x+2)B g(x)=lg(10x+1)+x,h(x)= lg(10x+1)xC g(x)=,h(x)=lg(10x+1)D g(x)=,h(x)=lg(10x+1)+2 當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=logax和y=(1a)x的圖像只可能是( )3 已知函數(shù)f(x)= 則f-1(x1)=_ 4 如圖，開始時(shí)，桶1中有a L水，t分鐘后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y1=aent,那么桶2中水就是y2

9、=aaent,假設(shè)過5分鐘時(shí)，桶1和桶2的水相等，則再過_分鐘桶1中的水只有 5 設(shè)函數(shù)f(x)=loga(x3a)(a>0且a1),當(dāng)點(diǎn)P(x,y)是函數(shù)y=f(x)圖像上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q(x2a,y)是函數(shù)y=g(x)圖像上的點(diǎn) (1)寫出函數(shù)y=g(x)的解析式；(2)若當(dāng)xa+2,a+3時(shí)，恒有|f(x)g(x)|1,試確定a的取值范圍 6 已知函數(shù)f(x)=logax(a>0且a1),(x(0,+),若x1,x2(0,+),判斷f(x1)+f(x2)與f()的大小，并加以證明 7 已知函數(shù)x,y滿足x1,y1 loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)

10、(a>0且a1),求loga(xy)的取值范圍 8 設(shè)不等式2(logx)2+9(logx)+90的解集為M，求當(dāng)xM時(shí)函數(shù)f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值 參考答案 1 解析 由題意 g(x)+h(x)=lg(10x+1) 又g(x)+h(x)=lg(10x+1) 即g(x)+h(x)=lg(10x+1)由得 g(x)=,h(x)=lg(10x+1) 答案 C2 解析 當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=logax的圖像只能在A和C中選，又a>1時(shí)，y=(1a)x為減函數(shù) 答案 B3 解析 容易求得f- 1(x)=,從而 f1(x1)=答案 4 解析 由題意，5分鐘后，y1

11、=aent,y2=aaent,y1=y2 n=ln2 設(shè)再過t分鐘桶1中的水只有,則y1=aen(5+t)=,解得t=10 答案 105 解 (1)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),則x=x2a,y=y 即x=x+2a,y=y 點(diǎn)P(x,y)在函數(shù)y=loga(x3a)的圖像上，y=loga(x+2a3a),即y=loga,g(x)=loga (2)由題意得x3a=(a+2)3a=2a+2>0;=>0,又a>0且a1,0a1,|f(x)g(x)|=|loga(x3a)loga|=|loga(x24ax+3a2)|·|f(x)g(x)|1,1loga(x24ax+3a2)1,

12、0a1,a+2>2a f(x)=x24ax+3a2在a+2,a+3上為減函數(shù)，(x)=loga(x24ax+3a2)在a+2,a+3上為減函數(shù)，從而(x)max=(a+2)=loga(44a),(x)min=(a+3)=loga(96a),于是所求問題轉(zhuǎn)化為求不等式組的解 由loga(96a)1解得0a,由loga(44a)1解得0a,所求a的取值范圍是0a 6 解 f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,x1,x2(0,+),x1x2()2(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào))，當(dāng)a>1時(shí)，有l(wèi)ogax1x2loga()2,logax1x2loga()，

13、(logax1+logax2)loga,即f(x1)+f(x2)f()(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào))當(dāng)0a1時(shí)，有l(wèi)ogax1x2loga()2,(logax1+logax2)loga,即f(x1)+f(x2)f()(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào)） 7 解 由已知等式得 loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax1)2+(logay1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,則(u1)2+(v1)2=4(uv0),k=u+v 在直角坐標(biāo)系uOv內(nèi)，圓弧(u1)2+(v1)2=4(uv0)與平行直線系v=u+k有公共點(diǎn)，分兩類討論 (1)當(dāng)u0,v0時(shí)，即a>1時(shí)，結(jié)合判別式法與代點(diǎn)法得1+k2(1+);(2)當(dāng)u0,v0,即0a1時(shí)，同理得到2(1)k1 綜上，當(dāng)a>1時(shí)，logaxy的最