高斯曲率的計算公式

1、第二章 曲面論 高斯曲率的計算公式 高斯曲率絕妙定理 。注意， 。所以，利用行列式的轉置性質和矩陣乘法性質，得，（其中用到行列式按第三行展開計算的性質。）利用 ，可得， 。由于 ；或者 ；于是得到 (1)公式被稱為高斯定理，且被譽為高斯絕妙定理。將上式中的行列式按第三列展開，并化簡，可得 ,(2)高斯絕妙定理斷言一個曲面的高斯曲率可以只用第一類基本量及其導數表示，從而 事實上是曲面的一個內蘊不變量。高斯曲率用第一類基本量明確的表達式由 Brioschi 公式(1)給出。存在等距對應的兩曲面，曲面上對應點處的高斯曲率必相等。球面片與平面片之間不存在等距對應。， 。特別地，當曲面：上的坐標曲線網是

2、正交網時，此時 ,即得,(3)經過觀察，通過湊微分，得到 ，故有，(4)（驗算這個量的散度的動因，是在用測地曲率的劉維爾公式，推導高斯-波涅公式時，出現(xiàn)求散度的運算，導致兩者的表達方式是一致的。） 。，。如果曲面在參數坐標網下的第一基本形式為，則稱此坐標網為等溫參數網。 ， ，其中是關于變量的Laplace算子. 于是在曲面上取等溫參數網時，其中. 此時 。 例 求第一基本形式為的曲面高斯曲率 。 解 因為 ，所以。例 求第一基本形式為的曲面上的高斯曲率 。由（3）式，得 。半測地坐標網下，高斯曲率的計算公式在類曲面：上選一條測地線為-曲線：；再取與正交的測地線族為-曲線，另取這測地線族的正交

3、軌線為-曲線，則得一半測地坐標網。對于這個半測地坐標網而言，曲面的第一基本形式 可以簡化為，其中滿足條件 。 在曲面上選取了半測地坐標網后，曲面的高斯曲率有如下的計算公式 。常高斯曲率的曲面 現(xiàn)在設曲面的高斯曲率是常數，即常數，則得微分方程 。根據初始條件：，我們可按以下不同情形求出這個微分方程的解。（1） 正常數高斯曲率的曲面，此時 。根據初始條件，可得，于是，。實例：考慮球心在原點，半徑為的球面。 取赤道為最初給定的測地線，則所有經線是與赤道正交的測地線，所有緯線是這測地線族的正交軌線，因此球面上的經線和緯線構成半測地坐標網。設球面上點的經度為，緯度為，則球面的參數表示是。，。在球面上重新

4、選擇參數，命于是，高斯曲率 ，因此得到，所以正常數高斯曲率的曲面的第一基本形式與球面的相同。正常數高斯曲率的曲面與同高斯曲率的球面之間存在著保距變換。（2），從而有，因此，所以零高斯曲率的曲面的第一基本形式與平面的相同。（3）負常數高斯曲率的曲面，此時 。根據初始條件，可得，于是，。由此可知, 具有相同常數高斯曲率的曲面都可適當選取參數, 使曲面具有相同的第一基本形式, 因此可建立等距對應.由上述定理知道, 具有常數高斯曲率的曲面(這種曲面稱為常曲率曲面)可按K 0;K = 0;K 0 分成三種類型. 而屬于同一類型的曲面它們的內在幾何是相同的. 平面作為高斯曲率為零的代表; 球面作為高斯曲率

5、為正常數的代表. 換句話說, 高斯曲率為零的曲面都可以與平面建立等距對應, 高斯曲率為正常數的曲面都可以與球面建立等距對應. 那么自然會問什么曲面可以作為高斯曲率為負常數的代表? 設 , 我們可以在旋轉曲面中找出這個代表.設旋轉曲面的待定母線為平面中的曲線. 把它繞z 軸旋轉后形成了旋轉面，；代入旋轉曲面的高斯曲率公式得其高斯曲率為為了使這個曲面的高斯曲率 所以待定函數就必須滿足下列方程: ，將其改寫成，兩邊積分后得到取積分常數, 于是可解出，由此得出， ，令，則，于是 。因此，以母線繞z -軸旋轉后所得的旋轉曲面的高斯曲率正好等于負常數。我們把母線(4.4)稱為曳物線. 而把曳物線繞z-軸旋

6、轉后所得的曲面稱為偽球面.由著名的高斯定理, 曲面的高斯曲率K被其第一基本形式完全確定. 因此, 若兩個曲面可建立等距對應, 則對應點的高斯曲率必相等. 但反之則不然.【例】證明: 曲面 ，（正螺面）， (旋轉曲面)在點與處的高斯曲率相等, 但曲面S 與不存在等距對應.【證明】容易算出正螺面與旋轉曲面 的第一基本形式分別為，再利用正交網時高斯曲率的計算公式(即高斯方程)經過計算得出曲面S 和 的高斯曲率分別為， 。因此取對應點，便成立。但是曲面S 與不存在等距對應.我們用反證法. 若曲面S 與之間存在等距對應,它的對應關系為則對應點的高斯曲率必相等, 所以得出 ，即，或 ；(1) 若 則或 。

7、因此對應關系為這時的第一基本形式， 因為是等距對應, 故， 比較得出由其中第二式得出或, 再由第一式或第三式得出或 ，這顯然不可能成立. 因此這種情況不可能.(2) 若 ， 則。這顯然不可能成立. 因此曲面S 與之間不能存在等距對應.盡管在對應點具有相同高斯曲率的曲面不能建立等距對應, 但是對高斯曲率為常數的曲面, 若在對應點具有相同高斯曲率是必可建立等距對應的.定理4.1 (Minding定理) 具有相同常數高斯曲率的曲面總可建立局部等距對應.證明 設曲面S 的高斯曲率K是常數,。在S 上取任意點P 和過P 點的任意測地線 ,把作為-曲線；且從P 點起的弧長為v .再取與正交的測地線族為-曲線，另取這測地線族的正交軌線為-曲線，則得一半測地坐標網。對于這個半測地坐標網而言，（注意, 這時 的曲線也是測地線）。因此曲面的第一基本形式 可以簡化為，根據假設v 是 的弧長, 所以，于是 (4:1)