高職高專-高等數(shù)學(xué)第一章教案

1、第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)教學(xué)要求1.了解分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)等概念。2.理解數(shù)列極限、函數(shù)極限的定義。3.掌握極限的四則運(yùn)算法則。4.了解無(wú)窮大、無(wú)窮小及其比較的概念，了解函數(shù)及其極限與無(wú)窮小的關(guān)系。理解無(wú)窮小的性質(zhì)。5.了解夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界數(shù)列極限存在準(zhǔn)則。熟練掌握兩個(gè)重要極限求極限。6.理解函數(shù)連續(xù)與間斷概念，會(huì)判斷間斷點(diǎn)類型，了解初等函數(shù)連續(xù)性及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)的概念、復(fù)合函數(shù)的概念，基本初等函數(shù)的圖形和性質(zhì)；極限概念，極限四則運(yùn)算法則；函數(shù)的連續(xù)性。教學(xué)難點(diǎn)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的概念；極限定義，兩個(gè)重要極限；連續(xù)與間斷的判斷。教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 函數(shù)一、函數(shù)的定義與性

2、質(zhì)1.集合；2.鄰域；3.常量與變量；4.函數(shù)的定義；5.函數(shù)的特性。二、初等函數(shù)1.反函數(shù)；2.復(fù)合函數(shù)；3.初等函數(shù)。三、分段函數(shù)一、 函數(shù)的定義與性質(zhì)1集合定義 具有某種特定性質(zhì)的事物的總體；組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素，元素a屬于集 合A，記作, 元素a不屬于集合A, 2集合的表示法：列舉法 描述法 3集合間的關(guān)系:若則必就說(shuō)是的子集,記做；若且 ；若且，則。4常見(jiàn)的數(shù)集N-自然數(shù)集；Z-整數(shù)集；Q-有理數(shù)集；R-實(shí)數(shù)集它們間關(guān)系: 5例，則不含任何元素的集合稱為空集, 記作例如, 規(guī)定 空集為任何集合的子集.6運(yùn)算 設(shè)A、B是兩集合, 則1) 并 AÈB Û

3、 x½xÎA或xÎB;2) 交 AÇB Ûx½xÎA且xÎB3) 差“AB” Ûx½xÎA且xÏB4) 補(bǔ)（余）ÛS/A,其中S為全集5) 其運(yùn)算律(1) A ÇB= BÇA, AÈB =BÈA(2)（AÈB )ÈC =AÈ(B ÈC) , (A ÇB)= AÇ(B ÇC)(3)（AÈB ) Ç C =(AÇ C )È

4、(B Ç C)（A Ç B ) È C =(A È C ) Ç (BÈ C)(4) 注意A與B的直積A´B Û(x,y)½xÎA且yÎB例如：R ´R=(x,y)½xÎR且yÎR表示xoy面上全體點(diǎn)的集合, 常記為7鄰域: 設(shè)與是兩個(gè)實(shí)數(shù)且，稱集合為點(diǎn)的鄰域。點(diǎn)叫做這鄰域的中心，叫做這鄰域的半徑。記作點(diǎn)的去心鄰域記做 ，。注意：鄰域總是開(kāi)集。8常量與變量:在某個(gè)過(guò)程中變化著的量稱為變量，保持不變狀態(tài)的量稱為常量,注意：常量與變量是相對(duì)于“自變量變

5、化過(guò)程”而言的.1） 常量與變量的表示方法：用字母x, y, t等表示變量，通常用字母a, b, c等表示常量。9函數(shù)的定義：設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的非空數(shù)集。如果對(duì)于每個(gè)給定的數(shù)，變量y按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x).x叫做自變量，y叫做因變量。數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，數(shù)集叫做函數(shù)的值域。注意：1）當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相等時(shí)，兩者才是同一個(gè)函數(shù)。如和就不是同一個(gè)函數(shù)。2）求定義域的方法：應(yīng)用題由實(shí)際意義確定；形式題就是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值。如如果在D中任取一個(gè)x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都只有一個(gè),這種函數(shù)稱單值函數(shù)，否則稱

6、多值函數(shù)。例如，為單值函數(shù).為多值函數(shù)。凡未作特別說(shuō)明，本教材提到的“函數(shù)”都是指單值函數(shù)10 函數(shù)的特性1）有界性:若在上有定義，有成立則稱函數(shù)在上有界，否則稱無(wú)界。M-Myxoy=f(x)I有界無(wú)界M-MyxoI2）單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果對(duì)于區(qū)間上任意兩點(diǎn)，恒有則稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增加的；恒有則稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減少的xyo3）奇偶性設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于，有，稱為偶函數(shù)。偶函數(shù)yxox-x設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于，有，稱為奇函數(shù)。奇函數(shù)yxox-x4）周期性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)不為0的常數(shù)，對(duì)任意的均有則稱為周期函數(shù)，為的周期。（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周

7、期）二、初等函數(shù)通常把常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)六種函數(shù)稱為基本初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的加、減、乘、除、復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)初等函數(shù)以外的函數(shù)，稱為非初等函數(shù)，最常見(jiàn)的是分段函數(shù)（1） 初等函數(shù)的幾個(gè)特例設(shè)和都是初等函數(shù)，則 絕對(duì)值函數(shù)：是初等函數(shù)，因?yàn)?最大值函數(shù)：是初等函數(shù)因?yàn)?最小值函數(shù)：是初等函數(shù)因?yàn)椋?） 冪指函數(shù)：是初等函數(shù)，因?yàn)椋?）非初等函數(shù)的幾個(gè)特例 符號(hào)函數(shù) 顯然 取整函數(shù)：表示“小于或等于x的最大整數(shù)”，即取小數(shù)函數(shù)：表示“的非負(fù)小數(shù)部分”，即顯然，對(duì)于任意，有 狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)：

8、兩者的圖象無(wú)法畫(huà)出 黎曼（Riemann）函數(shù)（定義在）：高等數(shù)學(xué)主要的研究對(duì)象是初等函數(shù)1. 初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的關(guān)系與分解（1） 初等函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的關(guān)系復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)是并列的概念是復(fù)合函數(shù)，可以是初等函數(shù)，也可以不是初等函數(shù)；是初等函數(shù)，可以是復(fù)合函數(shù)，也可以不是復(fù)合函數(shù)一個(gè)函數(shù)，可屬于多種函數(shù)分類（2） 函數(shù)的分解函數(shù)的分解形式依分解要求不同而不同一般地，高等數(shù)學(xué)中要求掌握兩類函數(shù)的分解 復(fù)合函數(shù)的分解：把一個(gè)復(fù)合函數(shù)（一層或多層）分拆成幾個(gè)函數(shù)，稱為復(fù)合函數(shù)的分解 初等函數(shù)的分解：把一個(gè)初等函數(shù)分拆成幾個(gè)函數(shù)，稱為初等函數(shù)的分解或 y=sin u，u=，t=x3，v=sin w，

9、w=，l=x2，s=sin x（許康P61）【注意問(wèn)題】 對(duì)于由兩個(gè)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)，可以討論它是否為復(fù)合函數(shù)對(duì)一個(gè)復(fù)雜函數(shù)籠統(tǒng)地問(wèn)是否復(fù)合函數(shù)是沒(méi)有意義的，應(yīng)具體地問(wèn)這個(gè)復(fù)雜函數(shù)的哪一層是否復(fù)合關(guān)系復(fù)合關(guān)系只是針對(duì)所論層的內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)兩個(gè)函數(shù)之間的相互關(guān)系，而不涉及該層以外的函數(shù)是否復(fù)合函數(shù)如函數(shù)y=可化為y=f(u)=， u=g(x)=x+，按復(fù)合函數(shù)的定義，f(u)和u=g(x)可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù)；但u=x+中既有四則運(yùn)算，又有復(fù)合運(yùn)算，是初等函數(shù)，而無(wú)法說(shuō)它是不是復(fù)合函數(shù) 又如問(wèn)y=2x是否復(fù)合函數(shù)，因?yàn)閺?fù)合函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)間的復(fù)合，如果不指明問(wèn)是否某兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，如何回答呢？要是

10、指明問(wèn)y=2x是否由y=u和u=2x復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，則可以回答是兩者的復(fù)合函數(shù)（當(dāng)然這種復(fù)合無(wú)實(shí)際意義對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)不再討論其復(fù)合性）2. 三角函數(shù)（1） 基本三角函數(shù)關(guān)系 對(duì)角線兩端二函數(shù)的乘積為1（倒數(shù)關(guān)系） 周界上任一函數(shù)等于它相鄰兩函數(shù)的乘積 陰影三角形中兩上頂角函數(shù)的平方和等于下角函數(shù)的平方（2） 任意三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（可記為：奇變偶不變，正負(fù)看象限）sin(90+)=cos，sin(180+)=-sin， sin(270+)=-cossin(90-)=cos，sin(180-)=sin， sin(270-)=-cos（3） 兩角和的三角函數(shù)sin(x±y)=sinxc

11、osy±cosxsiny， cos(x±y)=cosxcosysinxsinytan(x±y)=， cot(x±y)=（4） 倍角的三角函數(shù)sin2x=2sinxcosx， cos2x=cos2x-sin2x=1-2sin2x=2cos2x-1tan2x=， cot2x=（5） 三角函數(shù)的和、差化積公式sin x+sin y=2sincos， sin x-sin y=2cossincos x+cos y=2coscos，cos x-cos y=-2sinsintan x±tan y=， cot x±cot y=±記憶方法:正奇偶奇相加；正偶奇奇相減；正偶偶偶相加；負(fù)奇奇偶相減sin x±cos x=