高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何考題附答案

1、 高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何考題13如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由解析：(1)由于M、N分別是A1B1和B1C1的中點(diǎn)，可證明MNAC，因此AM與CN不是異面直線(2)由空間圖形可感知D1B和CC1為異面直線的可能性較大，判斷的方法可用反證法探究拓展：解決這類開放型問題常用的方法有直接法(即由條件入手，經(jīng)過推理、演算、變形等)，如第(1)問，還有假設(shè)法，特例法，有時證明兩直線異面用直線法較難說明問題，這時可用反證法，即假設(shè)兩直線共面，由這個假設(shè)出發(fā)，來推證錯誤

2、，從而否定假設(shè)，則兩直線是異面的解：(1)不是異面直線理由如下：M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，MNA1C1.又A1AD1D，而D1D綊C1C，A1A綊C1C，四邊形A1ACC1為平行四邊形A1AAC，得到MNAC，A、M、N、C在同一個平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線(2)是異面直線理由如下：假設(shè)D1B與CC1在同一個平面CC1D1內(nèi)，則B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，這與在正方體中BC平面CC1D1相矛盾，假設(shè)不成立，故D1B與CC1是異面直線14如下圖所示，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M為AB的中點(diǎn)，N為BB1的中點(diǎn)，O為面BCC1B1的中

3、心(1)過O作一直線與AN交于P，與CM交于Q(只寫作法，不必證明)；(2)求PQ的長(不必證明)解析：(1)由ONAD知，AD與ON確定一個平面.又O、C、M三點(diǎn)確定一個平面(如下圖所示)三個平面，和ABCD兩兩相交，有三條交線OP、CM、DA，其中交線DA與交線CM不平行且共面DA與CM必相交，記交點(diǎn)為Q.OQ是與的交線連結(jié)OQ與AN交于P，與CM交于Q，故OPQ即為所作的直線(2)解三角形APQ可得PQ.15如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCB1Ba，ABC90，D、E分別為BB1、AC1的中點(diǎn)(1)求異面直線BB1與AC1所成的角的正切值；(2)證明：DE為異面直線BB1與

4、AC1的公垂線；(3)求異面直線BB1與AC1的距離解析：(1)由于直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BB1，所以A1AC1就是異面直線BB1與AC1所成的角又ABBCB1Ba，ABC90，所以A1C1a，tanA1AC1，即異面直線BB1與AC1所成的角的正切值為.(2)證明：解法一：如圖，在矩形ACC1A1中，過點(diǎn)E作AA1的平行線MM1分別交AC、A1C1于點(diǎn)M、M1，連結(jié)BM，B1M1，則BB1綊MM1.又D、E分別是BB1、MM1的中點(diǎn)，可得DE綊BM.在直三棱柱ABCA1B1C1中，由條件ABBC得BMAC，所以BM平面ACC1A1，故DE平面ACC1A1，所以DEAC1，DEB

5、B1，即DE為異面直線BB1與AC1的公垂線解法二：如圖，延長C1D、CB交于點(diǎn)F，連結(jié)AF，由條件易證D是C1F的中點(diǎn)，B是CF的中點(diǎn)，又E是AC1的中點(diǎn)，所以DEAF.在ACF中，由ABBCBF知AFAC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，所以AFAA1，故AF平面ACC1A1，故DE平面ACC1A1，所以DEAC1，DEBB1，即DE為異面直線BB1與AC1的公垂線(3)由(2)知線段DE的長就是異面直線BB1與AC1的距離，由于ABBCa，ABC90，所以DEa.反思?xì)w納：兩條異面直線的公垂線是指與兩條異面直線既垂直又相交的直線，兩條異面直線的公垂線是惟一的，兩條異面直

6、線的公垂線夾在兩條異面直線之間的線段的長度就是兩條異面直線的距離證明一直線是某兩條異面直線的公垂線，可以分別證明這條直線與兩條異面直線垂直本題的思路是證明這條直線與一個平面垂直，而這一平面與兩條異面直線的位置關(guān)系是一條直線在平面內(nèi)，另一條直線與這個平面平行16如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O，M分別是BD1，AA1的中點(diǎn)(1)求證：MO是異面直線AA1和BD1的公垂線；(2)求異面直線AA1與BD1所成的角的余弦值；(3)若正方體的棱長為a，求異面直線AA1與BD1的距離解析：(1)證明：O是BD1的中點(diǎn)，O是正方體的中心，OAOA1，又M為AA1的中點(diǎn)，即OM是線段AA1的垂

7、直平分線，故OMAA1.連結(jié)MD1、BM，則可得MBMD1.同理由點(diǎn)O為BD1的中點(diǎn)知MOBD1，即MO是異面直線AA1和BD1的公垂線(2)由于AA1BB1，所以B1BD1就是異面直線AA1和BD1所成的角在RtBB1D1中，設(shè)BB11，則BD1，所以cosB1BD1，故異面直線AA1與BD1所成的角的余弦值等于.(3)由(1)知，所求距離即為線段MO的長，由于OAAC1a，AM，且OMAM，所以O(shè)Ma.13如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E、F，且B1EC1F，求證：EFABCD.證明：解法一：分別過E、F作EMAB于M，F(xiàn)NBC于N，連結(jié)M

8、N.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC，EMBB1，F(xiàn)NBB1，EMFN.又B1EC1F，EMFN，故四邊形MNFE是平行四邊形，EFMN，又MN在平面ABCD中，所以EF平面ABCD.解法二：過E作EGAB交BB1于G，連結(jié)GF，則，B1EC1F，B1AC1B，F(xiàn)GB1C1BC.又EGFGG，ABBCB，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD.14如下圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PDDC.過BD作與PA平行的平面，交側(cè)棱PC于點(diǎn)E，又作DFPB，交PB于點(diǎn)F.(1)求證：點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)；(2)求證：PB平面EFD.證明：

9、(1)連結(jié)AC，交BD于O，則O為AC的中點(diǎn)，連結(jié)EO.PA平面BDE，平面PAC平面BDEOE，PAOE.點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)；(2)PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDC，PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，DEPC，又由PD平面ABCD，得PDBC.底面ABCD是正方形，CDBC，BC平面PDC.而DE平面PDC.BCDE.由和推得DE平面PBC.而PB平面PBC，DEPB，又DFPB且DEDFD，所以PB平面EFD.15如圖，l1、l2是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段點(diǎn)A、B在l1上，C在l2上，AMMBMN.(1)求證ACNB；(2)若ACB60，求NB與平面

10、ABC所成角的余弦值證明：(1)如圖由已知l2MN，l2l1，MNl1M，可得l2平面ABN.由已知MNl1，AMMBMN，可知ANNB且ANNB.又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影，ACNB.(2)RtCNARtCNB，ACBC，又已知ACB60，因此ABC為正三角形RtANBRtCNB，NCNANB，因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心連結(jié)BH，NBH為NB與平面ABC所成的角在RtNHB中，cosNBH.16如圖，在四面體ABCD中，CBCD，ADBD，點(diǎn)E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)求證：(1)直線EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.命題意圖：本小題主要考查直線與平面

11、、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力證明：(1)在ABD中，E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，所以EFAD.又AD平面ACD，EF平面ACD，直線EF平面ACD.(2)在ABD中，ADBD，EFAD，EFBD.在BCD中，CDCB，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，CFBD.EF平面EFC，CF平面EFC，EF與CF交于點(diǎn)F，BD平面EFC.又BD平面BCD，平面EFC平面BCD.13如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，PA平面ABCD，且PA2AB.(1)求證：平面PAC平面PBD；(2)求二面角BPCD的余弦值解析：(1)證明：PA平面ABCD，PABD.ABCD為正方

12、形，ACBD.BD平面PAC，又BD在平面BPD內(nèi)，平面PAC平面BPD.(2)在平面BCP內(nèi)作BNPC，垂足為N，連結(jié)DN，RtPBCRtPDC，由BNPC得DNPC；BND為二面角BPCD的平面角，在BND中，BNDNa，BDa，cosBND.14如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中點(diǎn)(1)求證：E、B、F、D1四點(diǎn)共面；(2)求證：平面A1GH平面BED1F.證明：(1)連結(jié)FG.AEB1G1，BGA1E2，BG綊A1E，A1G綊BE.C1F綊B1G，四邊形C1FGB1是平行四邊形FG綊

13、C1B1綊D1A1，四邊形A1GFD1是平行四邊形A1G綊D1F，D1F綊EB，故E、B、F、D1四點(diǎn)共面(2)H是B1C1的中點(diǎn)，B1H.又B1G1，.又，且FCBGB1H90，B1HGCBF，B1GHCFBFBG，HGFB.又由(1)知A1GBE，且HGA1GG，F(xiàn)BBEB，平面A1GH平面BED1F.15在三棱錐PABC中，PA面ABC，ABC為正三角形，D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，設(shè)ABPA2.(1)求證：平面PBE平面PAC；(2)如何在BC上找一點(diǎn)F，使AD平面PEF，請說明理由；(3)對于(2)中的點(diǎn)F，求三棱錐BPEF的體積解析：(1)證明：PA面ABC，BE面ABC，PAB

14、E.ABC是正三角形，E為AC的中點(diǎn)，BEAC，又PA與AC相交，BE平面PAC，平面PBE平面PAC.(2)解：取DC的中點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求E，F(xiàn)分別是AC，DC的中點(diǎn)，EFAD，又AD平面PEF，EF平面PEF，AD平面PEF.(3)解：VBPEFVPBEFSBEFPA2.16(2009天津，19)如圖所示，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M為CE的中點(diǎn)，AFABBCFEAD.(1)求異面直線BF與DE所成的角的大??；(2)求證：平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值解答：(1)解：由題設(shè)知，BFCE，所以CED(或其補(bǔ)角)為異面直線BF與

15、DE所成的角設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連結(jié)EP，PC.因?yàn)镕E綊AP，所以FA綊EP.同理，AB綊PC.又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD.而PC，AD都在平面ABCD內(nèi)，故EPPC，EPAD.由ABAD，可得PCAD.設(shè)FAa，則EPPCPDa，CDDEECa.故CED60.所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60.(2)證明：因?yàn)镈CDE且M為CE的中點(diǎn)，所以DMCE.連結(jié)MP，則MPCE.又MPDMM，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)設(shè)Q為CD的中點(diǎn)，連結(jié)PQ，EQ.因?yàn)镃EDE，所以EQCD.因?yàn)镻CPD，所以PQCD，故EQP為二面角ACDE的平面

16、角由(1)可得，EPPQ，EQa，PQa.于是在RtEPQ中，cosEQP.所以二面角ACDE的余弦值為.13(2009重慶)如圖所示，四棱錐PABCD中，ABAD，ADDC，PA底面ABCD，PAADDCAB1，M為PC的中點(diǎn)，N點(diǎn)在AB上且ANNB.(1)求證：MN平面PAD；(2)求直線MN與平面PCB所成的角解析：(1)證明：過點(diǎn)M作MECD交PD于E點(diǎn)，連結(jié)AE.ANNB，ANABDCEM.又EMDCAB，EM綊AN，AEMN為平行四邊形，MNAE，MN平面PAD.(2)解：過N點(diǎn)作NQAP交BP于點(diǎn)Q，NFCB于點(diǎn)F.連結(jié)QF，過N點(diǎn)作NHQF于H，連結(jié)MH，易知QN面ABCD，Q

17、NBC，而NFBC，BC面QNF，BCNH，而NHQF，NH平面PBC，NMH為直線MN與平面PCB所成的角通過計(jì)算可得MNAE，QN，NF，NH，sinNMH，NMH60，直線MN與平面PCB所成的角為60.14(2009廣西柳州三模)如圖所示，已知直平行六面體ABCDA1B1C1D1中，ADBD，ADBDa，E是CC1的中點(diǎn)，A1DBE.(1)求證：A1D平面BDE；(2)求二面角BDEC的大小解析：(1)證明：在直平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，AA1BD.又BDAD，BD平面ADD1A1，即BDA1D.又A1DBE且BEBDB，A1D平面BDE.(2)解：如圖

18、，連B1C，則B1CBE，易證RtBCERtB1BC，又E為CC1中點(diǎn)，BC2BB.BB1BCa.取CD中點(diǎn)M，連結(jié)BM，則BM平面CC1D1C，作MNDE于N，連NB，由三垂線定理知：BNDE，則BNM是二面角BDEC的平面角在RtBDC中，BMa，RtCED中，易求得MNa，RtBMN中，tanBNM，則二面角BDEC的大小為arctan.15如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)(1)求直線B1C與DE所成的角的余弦值；(2)求證：平面EB1D平面B1CD；(3)求二面角EB1CD的余弦值解析：(1)連結(jié)A1D，則由A1DB1C知，B1C與DE所成的角即為A1D與DE

19、所成的角連結(jié)A1E，由正方體ABCDA1B1C1D1，可設(shè)其棱長為a，則A1Da，A1EDEa，cosA1DE.直線B1C與DE所成角的余弦值是.(2)證明取B1C的中點(diǎn)F，B1D的中點(diǎn)G，連結(jié)BF，EG，GF.CD平面BCC1B1，且BF平面BCC1B1，DCBF.又BFB1C，CDB1CC，BF平面B1CD.又GF綊CD，BE綊CD，GF綊BE，四邊形BFGE是平行四邊形，BFGE，GE平面B1CD.GE平面EB1D，平面EB1D平面B1CD.(3)連結(jié)EF.CDB1C，GFCD，GFB1C.又GE平面B1CD，EFB1C，EFG是二面角EB1CD的平面角設(shè)正方體的棱長為a，則在EFG中，

20、GFa，EFa，cosEFG，二面角EB1CD的余弦值為.16(2009全國，18)如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE平面BCC1.(1)求證：ABAC；(2)設(shè)二面角ABDC為60，求B1C與平面BCD所成的角的大小解析：(1)證明：取BC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF綊B1B，從而EF綊DA.連結(jié)AF，則ADEF為平行四邊形，從而AFDE.又DE平面BCC1，故AF平面BCC1，從而AFBC，即AF為BC的垂直平分線，所以ABAC.(2)解：作AGBD，垂足為G，連結(jié)CG.由三垂線定理知CGBD，故AGC為二面角ABDC的平面角由題設(shè)知，AG

21、C60.設(shè)AC2，則AG.又AB2，BC2，故AF.由ABADAGBD得2AD，解得AD，故ADAF.又ADAF，所以四邊形ADEF為正方形因?yàn)锽CAF，BCAD，AFADA，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF.連結(jié)AE、DF，設(shè)AEDFH，則EHDF，EH平面BCD.連結(jié)CH，則ECH為B1C與平面BCD所成的角因ADEF為正方形，AD，故EH1，又ECB1C2，所以ECH30，即B1C與平面BCD所成的角為30.13在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4，E、F分別為棱AB、BC的中點(diǎn)(1)求證：平面B1EF平面BDD1B1；(2)求點(diǎn)D1到平面B1EF的距

22、離d.分析：(1)可先證EF平面BDD1B1.(2)用幾何法或等積法求距離時，可由B1D1BD，將點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)移：D1點(diǎn)到平面B1EF的距離是B點(diǎn)到它的距離的4倍，先求B點(diǎn)到平面B1EF的距離即可解答：(1)證明：EF平面BDD1B1平面B1EF平面BDD1B1.(2)解：解法一：連結(jié)EF交BD于G點(diǎn)B1D14BG，且B1D1BG，D1點(diǎn)到平面B1EF的距離是B點(diǎn)到它的距離的4倍利用等積法可求由題意可知，EFAC2，B1G.SB1EFEFB1G2，SBEFBEBF1.VBB1EFVB1BEF，設(shè)B到面B1EF的距離為h1，則h114，h1.點(diǎn)D1到平面B1EF的距離為h4h1.解法二：如圖，在正方

23、形BDD1B1的邊BD上取一點(diǎn)G，使BGBD，連結(jié)B1G，過點(diǎn)D1作D1HB1G于H，則D1H即為所求距離可求得D1H(直接法)14如圖直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱CC12，BAC90，ABAC，M是棱BC的中點(diǎn)，N是CC1中點(diǎn)求：(1)二面角B1ANM的大??；(2)C1到平面AMN的距離解析：(1)BAC90，ABAC，M是棱BC的中點(diǎn)，AMBC，BC2，AM1.AM平面BCC1B1.平面AMN平面BCC1B1.作B1HMN于H，HRAN于R，連結(jié)B1R，B1H平面AMN.又由三垂線定理知，B1RAN.B1RH是二面角B1ANM的平面角由已知得AN，MN，B1MB1N，則B1H，又Rt

24、AMNRtHRN，RH.B1R，cosB1RH.二面角B1ANM的大小為arccos.(2)N是CC1中點(diǎn)，C1到平面AMN的距離等于C到平面AMN的距離設(shè)C到平面AMN的距離為h，由VCAMNVNAMC得MNhAMMC.h.15(2009北京海淀一模)如圖所示，四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，且ABCD，BAD90，PAADDC2，AB4.(1)求證：BCPC；(2)求PB與平面PAC所成的角的正弦值；(3)求點(diǎn)A到平面PBC的距離解析：(1)證明：如圖，在直角梯形ABCD中，ABCD，BAD90，ADDC2，ADC90，且AC2.取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)CE，由題

25、意可知，四邊形ABCD為正方形，AECE2.又BEAB2.CEAB，ABC為等腰直角三角形，ACBC.又PA平面ABCD，且AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影，BC平面ABCD，由三垂線定理得，BCPC.(2)由(1)可知，BCPC，BCAC，PCACC，BC平面PAC.PC是PB在平面PAC內(nèi)的射影，CPB是PB與平面PAC所成的角又CB2，PB2PA2AB220，PB2，sinCPB，即PB與平面PAC所成角的正弦值為.(3)由(2)可知，BC平面PAC，BC平面PBC，平面PBC平面PAC.過A點(diǎn)在平面PAC內(nèi)作AFPC于F，AF平面PBC，AF的長即為點(diǎn)A到平面PBC的距離在直角三角形P

26、AC中， PA2，AC2，PC2，AF.即點(diǎn)A到平面PBC的距離為.16(2009吉林長春一模)如圖所示，四棱錐PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PA2，PDA45，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)(1)求證：AF平面PCE；(2)求二面角EPDC的大小；(3)求點(diǎn)A到平面PCE的距離解析：(1)證明：如圖取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG，F(xiàn)G為PCD的中位線，F(xiàn)GCD且FGCD.又底面四邊形ABCD是正方形，E為棱AB的中點(diǎn)，AECD且AECD，AEFG且AEFG.四邊形AEGF是平行四邊形，AFEG.又EG平面PCE，AF平面PCE，AF平面PCE.(2)解：PA底面ABCD，PA

27、AD，PACD.又ADCD，PAADA，CD平面PAD.又AF平面PAD，CDAF.又PA2，PDA45，PAAD2.F是PD的中點(diǎn)，AFPD.又CDPDD，AF平面PCD.AFEG，EG平面PCD.又GFPD，連結(jié)EF，則GFE是二面角EPDC的平面角在RtEGF中，EGAF，GF1，tanGFE.二面角EPDC的大小為arctan.(3)設(shè)A到平面PCE的距離為h，由VAPCEVPACE，即PCEGhPAAECB，得h，點(diǎn)A到平面PCE的距離為.13(2009陜西，18)如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60.(1)求證：ABA1C；(2)求二面角AA1C

28、B的大小解析：(1)證明：三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，ABAA1，在ABC中，AB1，AC，ABC60，由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC.AB平面ACC1A1，又A1C平面ACC1A1，ABA1C.(2)解：如圖，作ADA1C交A1C于D點(diǎn)，連結(jié)BD，由三垂線定理知BDA1C，ADB為二面角AA1CB的平面角在RtAA1C中，AD，在RtBAD中，tanADB，ADBarctan，即二面角AA1CB的大小為arctan.14如圖，三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為a的正三角形，側(cè)面ABB1A1是菱形且垂直于底面，A1AB60，M是A1B1的中點(diǎn)(1)求證：BMAC；(

29、2)求二面角BB1C1A1的正切值；(3)求三棱錐MA1CB的體積解析：(1)證明：ABB1A1是菱形，A1AB60A1B1B是正三角形，BM平面A1B1C1.BMAC.BEB1C1，BEM為所求二面角的平面角，A1B1C1中，MEMB1sin60a，RtBMB1中，MBMB1tan60a，tanBEM2，所求二面角的正切值是2.(3)VMA1CBVB1A1CBVAA1CBVA1ABCa2aa3.15(2009廣東汕頭一模)如圖所示，已知BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E、F分別是AC、AD上的動點(diǎn)，且(01)(1)求證：不論為何值，總有EF平面ABC；(2)若，

30、求三棱錐ABEF的體積解析：(1)證明：AB平面BCD，ABCD.又在BCD中，BCD90，BCCD.又ABBCB，CD平面ABC.又在ACD中，E、F分別是AC、AD上的動點(diǎn)，且(01)，不論為何值，都有EFCD，EF平面ABC.(2)在BCD中，BCD90，BCCD1，BD.又AB平面BCD，ABBC，ABBD.又在RtABD中，ADB60，ABBDtan60，由(1)知EF平面ABC，VABEFVFABESABEEFSABCEF1.故三棱錐ABEF的體積是.16在四棱錐PABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是面積為2的菱形，ADC為菱形的銳角(1)求證：

31、PACD；(2)求二面角PABD的大?。?3)求棱錐PABCD的側(cè)面積；解析：(1)證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)E，由PECD，得PE平面ABCD，連結(jié)AC、AE.ADCDsinADC2，ADCD2，sinADC，即ADC60，ADC為正三角形，CDAE.CDPA(三垂線定理)(2)解：ABCD，ABPA，ABAE，PAE為二面角PABD的平面角在RtPEA中，PEAE，PAE45.即二面角PABD的大小為45.(3)分別計(jì)算各側(cè)面的面積：PDDA2，PA，cosPDA，sinPDA.SPCD，SPABABPA2，SPADSPBCPDDAsinPDA.SPABCD側(cè).13把地球當(dāng)作半徑為R的球

32、，地球上A、B兩地都在北緯45，A、B兩點(diǎn)的球面距離是R，A點(diǎn)在東經(jīng)20，求B點(diǎn)的位置解析：如圖，求B點(diǎn)的位置即求B點(diǎn)的經(jīng)度，設(shè)B點(diǎn)在東經(jīng)，A、B兩點(diǎn)的球面距離是R.AOB，因此三角形AOB是等邊三角形，ABR，又AO1B20(經(jīng)度差)問題轉(zhuǎn)化為在AO1B中借助AO1BO1AOcos45R，求出AO1B90，則110，同理：B點(diǎn)也可在西經(jīng)70，即B點(diǎn)在北緯45東經(jīng)110或西經(jīng)70.14在球心同側(cè)有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49cm2和400cm2，求球的表面積和體積解析：如圖，兩平行截面被球大圓所在平面截得的交線分別為AO1、BO2，則AO1BO2.若O1、O2分別為兩截面圓的

33、圓心，則由等腰三角形性質(zhì)易知OO1AO1，OO2BO2，設(shè)球半徑為R，O2B249，O2B7cm，同理O1A20cm.設(shè)OO1xcm，則OO2(x9)cm.在RtOO1A中，R2x2202，在RtOO2B中，R2(x9)272，x220272(x9)2，解得x15cm.R25cm，S球2500cm2，V球R3cm3.15設(shè)A、B、C是半徑為1的球面上的三點(diǎn)，B、C兩點(diǎn)間的球面距離為，點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為，O為球心，求：(1)AOB、BOC的大??；(2)球心O到截面ABC的距離解析：(1)如圖，因?yàn)榍騉的半徑為1，B、C兩點(diǎn)間的球面距離為，點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為，所以BOC

34、，AOBAOC，(2)因?yàn)锽C1，ACAB，所以由余弦定理得cosBAC，sinBAC，設(shè)截面圓的圓心為O1，連結(jié)AO1，則截面圓的半徑rAO1，由正弦定理得r，所以O(shè)O1.16如圖四棱錐ABCDE中，AD底面BCDE，ACBC，AEBE.(1)求證：A、B、C、D、E五點(diǎn)共球；(2)若CBE90，CE，AD1，求B、D兩點(diǎn)的球面距離解析：(1)證明：取AB的中點(diǎn)P，連結(jié)PE，PC，PD，由題設(shè)條件知AEB、ADB、ABC都是直角三角形故PEPDPCABPAPB.所以A、B、C、D、E五點(diǎn)在同一球面上(2)解：由題意知四邊形BCDE為矩形，所以BDCE，在RtADB中，AB2，AD1，DPB1

35、20，D、B的球面距離為.17(本小題滿分10分)如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SA底面ABCD，E是SC上一點(diǎn)(1)求證：平面EBD平面SAC；(2)假設(shè)SA4，AB2，求點(diǎn)A到平面SBD的距離；解析：(1)正方形ABCD，BDAC，又SA平面ABCD，SABD，則BD平面SAC，又BD平面BED，平面BED平面SAC.(2)設(shè)ACBDO，由三垂線定理得BDSO.AOACAB2，SA4，則SO3，SBSDBDSO236.設(shè)A到面BSD的距離為h，則VSABDVABSD，即SABDSASBSDh，解得h，即點(diǎn)A到平面SBD的距離為.18(本小題滿分12分)如圖，正四棱柱ABCDA1B1

36、C1D1中，AA12AB4，點(diǎn)E在C1C上且C1E3EC.(1)證明A1C平面BED；(2)求二面角A1DEB的大小解析：依題設(shè)知AB2，CE1，(1)證明：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)F，則BDAC.由三垂線定理知，BDA1C.在平面A1CA內(nèi)，連結(jié)EF交A1C于點(diǎn)G，由于2，故RtA1ACRtFCE，AA1CCFE，CFE與FCA1互余于是A1CEF.A1C與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD、EF都垂直所以A1C平面BED.(2)作GHDE，垂足為H，連結(jié)A1H.由三垂線定理知A1HDE，故A1HG是二面角A1DEB的平面角EF，CG .EG.，GH .又A1C2，A1GA1CCG，tanA1HG5.所

37、以二面角A1DEB的大小為arctan5.19(本小題滿分12分)如圖，四棱錐SABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCSBSC2CD2，側(cè)面SBC底面ABCD.(1)由SA的中點(diǎn)E作底面的垂線EH，試確定垂足H的位置；(2)求二面角EBCA的大小解析：(1)作SOBC于O，則SO平面SBC，又面SBC底面ABCD，面SBC面ABCDBC，SO底面ABCD又SO平面SAO，面SAO底面ABCD，作EHAO，EH底面ABCD即H為垂足，由知，EHSO，又E為SA的中點(diǎn)，H是AO的中點(diǎn)(2)過H作HFBC于F，連結(jié)EF，由(1)知EH平面ABCD，EHBC，又EHHFH，BC平面EFH

38、，BCEF，HFE為面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角在等邊三角形SBC中，SOBC，O為BC中點(diǎn)，又BC2.SO，EHSO，又HFAB1，在RtEHF中，tanHFE，HFEarctan.即二面角EBCA的大小為arctan.20(本小題滿分12分)(2010唐山市高三摸底考試)如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA12，N是A1D的中點(diǎn)，MBB1，異面直線MN與A1A所成的角為90.(1)求證：點(diǎn)M是BB1的中點(diǎn)；(2)求直線MN與平面ADD1A1所成角的大??；(3)求二面角AMNA1的大小解析：(1)取AA1的中點(diǎn)P，連結(jié)PM，PN.N是A1D的中點(diǎn)，AA1PN，又AA1MN，MNPNN，AA1面PMN.PM面PMN，AA1PM，PMAB，點(diǎn)M是BB1的中點(diǎn)(2)由(1)知PNM即為MN與平面ADD1A1所成的角在RtPMN中，易