高三一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案62——用樣本估計總體

1、§11.2用樣本估計總體1頻率分布直方圖(1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種，一種是用_，另一種是用_(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示_，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用_表示，各小長方形的面積總和等于_(3)連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖隨著_的增加，作圖時所分的_增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為_，它能夠更加精細(xì)的反映出_(4)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以_ _，而且_，給數(shù)據(jù)的_和_都帶來方便2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中

2、，出現(xiàn)次數(shù)_的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在_位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即_在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該_(2)樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差s ，其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是_，是_是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的_通常用樣本方差估計總體方差，當(dāng)_時，樣本方差很接近總體方差難點正本疑點清源1作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差；(2)確定組距和組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖頻率分布直方圖能很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分

3、布的形狀2對標(biāo)準(zhǔn)差與方差的理解標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差1一個容量為20的樣本，已知某組的頻率為0.25，則該組的頻數(shù)為_2已知數(shù)據(jù)a，a，b，c，d，b，c，c，且a<b<c<d，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為_，中位數(shù)為_，平均數(shù)為_3(2011·江蘇)某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據(jù)的方差

4、s2_.4一個容量為20的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：10,20),2；20,30),3；30,40)，x；40,50),5；50,60),4；60,70),2；則x_；根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在10,50)的概率約為_5若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()8979316402A91.5和91.5B91.5和92C91和91.5 D92和92題型一頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用例1某中學(xué)高一女生共有450人，為了了解高一女生的身高情況，隨機(jī)抽取部分高一女生測量身高，所得數(shù)據(jù)整理后列出頻率分布表如下：組別頻數(shù)頻率145.5149.580

5、.16149.5153.560.12153.5157.5140.28157.5161.5100.20161.5165.580.16165.5169.5mn合計MN(1)求出表中字母m、n、M、N所對應(yīng)的數(shù)值；(2)在給出的直角坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖；(3)估計該校高一女生身高在149.5165.5 cm范圍內(nèi)有多少人？探究提高用頻率分布直方圖解決相關(guān)問題時，應(yīng)正確理解圖表中各個量的意義，識圖掌握信息是解決該類問題的關(guān)鍵頻率分布直方圖有以下幾個要點：(1)縱軸表示頻率/組距；(2)頻率分布直方圖中各長方形高的比也就是其頻率之比；(3)直方圖中每一個矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這個區(qū)間上的頻率，所

6、有的小矩形的面積之和等于1，即頻率之和為1. 從全校參加科技知識競賽的學(xué)生試卷中抽取一個樣本，考察競賽的成績分布將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小組的小長方形的高的比是13642，最右邊一組的頻數(shù)是6. 請結(jié)合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問題：(1)樣本的容量是多少？(2)列出頻率分布表；(3)成績落在哪個范圍內(nèi)的人數(shù)最多？并求該小組的頻數(shù)、頻率；(4)估計這次競賽中，成績不低于60分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的百分比題型二莖葉圖的應(yīng)用例2某班甲、乙兩學(xué)生的高考備考成績?nèi)缦拢杭祝?12554528549536556534541522538乙：5155585215435325

7、59536548527531(1)用莖葉圖表示兩學(xué)生的成績；(2)分別求兩學(xué)生成績的中位數(shù)和平均數(shù)探究提高(1)莖葉圖的優(yōu)點是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況(2)莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù) 的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計總體情況 某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個優(yōu)良品種B進(jìn)行對照試驗兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,4

8、43, 445,445,451,454品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)作出數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點？(3)通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計結(jié)論題型三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征例3甲乙二人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價探究提高(1)平均數(shù)與

9、方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大小(2)平均數(shù)、方差的公式推廣 若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均數(shù)是ma. 數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為s2.as2(xxx)n2；b數(shù)據(jù)x1a，x2a，xna的方差也為s2；c數(shù)據(jù)ax1，ax2，axn的方差為a2s2.甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平

10、均數(shù)；(2)分別計算兩組數(shù)據(jù)的方差；(3)根據(jù)計算結(jié)果，估計一下兩名戰(zhàn)士的射擊水平誰更好一些13.統(tǒng)計圖表中概念不清、識圖不準(zhǔn)致誤試題：(5分)如圖所示是某公司(共有員工300人)2011年員工年薪情況的頻率分布直方圖，由此可知，員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的共有_人學(xué)生答案展示180審題視角(1)計算1.4萬元1.6萬元之間的頻率(2)由頻率和總?cè)藬?shù)求年薪在1.4萬元1.6萬元之間的人數(shù)正確答案72批閱筆記解本題容易出現(xiàn)的錯誤是審題不細(xì)，對所給圖形觀察不細(xì)心，認(rèn)為員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的頻率為1(0.020.080.10)×20.60，從而得到員工中年薪在1.

11、4萬元1.6萬元之間的共有300×0.60180(人)的錯誤答案.方法與技巧1用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布，難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用在計數(shù)和計算時一定要準(zhǔn)確，在繪制小矩形時，寬窄要一致通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計2若取值x1，x2，xn的頻率分別為p1，p2，pn，則其平均值為x1p1x2p2xnpn；若x1，x2，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則ax1b，ax2b，axnb的平均數(shù)為ab，方差為a2s2.失誤與防范1不要把直方圖錯以為條形圖，兩者的區(qū)別在于條形圖是離散隨機(jī)變量，

12、縱坐標(biāo)刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖是連續(xù)隨機(jī)變量，縱坐標(biāo)刻度為頻率/組距，這是密度連續(xù)隨機(jī)變量在某一點上是沒有頻率的2幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點與不足：(1)頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不太方便(2)頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到在分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式但從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了(3)頻率分布折線圖的優(yōu)點是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢，如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線(4)用莖葉圖的優(yōu)點是原

13、有信息不會被抹掉，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便了課時規(guī)范訓(xùn)練 (時間：60分鐘)A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1如右圖是某電視臺綜藝節(jié)目舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，七位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A84,4.84 B84,1.6C85,4 D85,1.62為了了解高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，抽取了某班60名學(xué)生，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出其頻率分布直方圖(如圖)，已知從左到右各長方形高的比為235631，則該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在(80,100)之間的學(xué)生人數(shù)是()A32 B27 C24 D333為了

14、了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖所示由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為b，則a，b的值分別為()A0.27,78 B0.27,83C2.7,78 D2.7,83二、填空題4(2010·北京)從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)由圖中數(shù)據(jù)可知a_.若要從身高在120,130)，130,140)，140,150三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在140

15、,150內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為_5在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個小長方形，這4個小長方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列an，已知a22a1，且樣本容量為300，則小長方形面積最大的一組的頻數(shù)為_6某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示，在某時段內(nèi)，有1 000輛汽車通過該站，現(xiàn)在隨機(jī)抽取其中的200輛汽車進(jìn)行車速分析，分析的結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖，則估計在這一時段內(nèi)通過該站的汽車中車速不小于90 km/h的約有_輛(注：分析時車速均取整數(shù))三、解答題7某市統(tǒng)計局就某地居民的月收入調(diào)查了10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖(每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在1

16、 000,1 500)(1)求居民收入在3 000,3 500)的頻率； (2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10 000人中按分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在2 500，3 000)的這段應(yīng)抽取多少人？B組專項能力提升題組一、選擇題1甲、乙兩名同學(xué)在5次數(shù)學(xué)考試中，成績統(tǒng)計用莖葉圖表示如圖所示，若甲、乙兩人的平均成績分別用甲、乙表示，則下列結(jié)論正確的是 ()A甲>乙，且甲比乙成績穩(wěn)定B甲>乙，且乙比甲成績穩(wěn)定C甲<乙，且甲比乙成績穩(wěn)定D甲<乙，且乙比甲成績穩(wěn)定2某工廠對一批產(chǎn)

17、品進(jìn)行了抽樣檢測，如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是96,106，樣本數(shù)據(jù)分組為96,98)，98,100)，100,102)，102,104)，104,106，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是 ()A90 B75 C60 D453一個樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b，且a、b是方程x25x40的兩根，則這個樣本的方差是()A3 B4 C5 D6二、填空題4某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1,2,3,4,5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表：學(xué)生1號2號3號

18、4號5號甲班67787乙班67679則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為s2_.5某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|xy|的值為_6已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是_、_.三、解答題7某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位：t)的分組及各組的頻數(shù)如下：0,0.5),4；0.5,1),8；1,1.5),15；1.5,2),22；2,2.5),25；2.5,3),14；3,3.5),6；3.5,4

19、),4；4,4.5),2.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖，并根據(jù)直方圖估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(3)當(dāng)?shù)卣贫巳司掠盟繛?t的標(biāo)準(zhǔn)，若超出標(biāo)準(zhǔn)加倍收費，當(dāng)?shù)卣f，85%以上的居民不超過這個標(biāo)準(zhǔn)，這個解釋對嗎？為什么？答案要點梳理1(1)樣本的頻率分布估計總體的分布樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(2)各小長方形的面積1(3)樣本容量 組數(shù)總體密度曲線總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比(4)保留所有信息可以隨時記錄記錄表示2(1)最多最中間(x1x2xn)相等(2)樣本容量平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差 平方樣本容量接近總體容量基礎(chǔ)自測152.c 33.24.40.75.A題

20、型分類·深度剖析例1解(1)由題意M50，落在區(qū)間165.5169.5內(nèi)數(shù)據(jù)頻數(shù)m50(8614108)4，頻率為n0.08，總頻率N1.00.(2)頻率分布直方圖如下圖：(3)該所學(xué)校高一女生身高在149.5165.5 cm之間的比例為0.120.280.200.160.76，則該校高一女生在此范圍內(nèi)的人數(shù)為450×0.76342(人)變式訓(xùn)練1解(1)由于各組的組距相等，所以各組的頻率與各小長方形的高成正比且各組頻率的和等于1，那么各組的頻率分別為，.設(shè)該樣本容量為n，則，所以樣本容量為n48.(2)由以上得頻率分布表如下：成績頻數(shù)頻率50.5,60.5)360.5,7

21、0.5)970.5,80.5)1880.5,90.5)1290.5,100.5)6合計481(3)成績落在70.5,80.5)之間的人數(shù)最多，該組的頻數(shù)和頻率分別是18和.(4)不低于60分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的百分比約為×100%93.75%.例2解(1)兩學(xué)生成績的莖葉圖如圖所示(2)將甲、乙兩學(xué)生的成績從小到大排列為：甲：512522528534536538541549554556乙：515521527531532536543548558559從以上排列可知甲學(xué)生成績的中位數(shù)為537， 乙學(xué)生成績的中位數(shù)為534. 甲學(xué)生成績的平均數(shù)為500537，乙學(xué)生成績的平均數(shù)為500 537

22、.變式訓(xùn)練2解(1)如下圖(2)由于每個品種的數(shù)據(jù)都只有25個，樣本不大，畫莖葉圖很方便；此時莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒有任何信息損失，而且還可以隨時記錄新的數(shù)據(jù)(3)通過觀察莖葉圖可以看出：品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)(或均值)比品種B高；品種A的畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差例3解(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分甲13，乙13，s(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由s>s可知乙的成績較穩(wěn)定從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高變式訓(xùn)練3解(1)甲(8678