高數(shù)函數(shù)與極限

1、授課時(shí)間： 20 年9月 日 使用班級(jí)： 授課時(shí)間： 20 年9月 日 使用班級(jí)： 授課章節(jié)名稱：第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)第1節(jié) 函數(shù)（二）、第2節(jié) 極限教學(xué)目的：1.理解復(fù)合函數(shù)的定義及復(fù)合過(guò)程，分段函數(shù)的定義及表示方法，極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念；2.熟練掌握和時(shí)f(x)的極限存在的充要條件；3.理解無(wú)窮大、無(wú)窮小的概念；4.掌握無(wú)窮大的判定方法和無(wú)窮小的概念及性質(zhì)，會(huì)用無(wú)窮小量的性質(zhì)求教學(xué)重點(diǎn)：1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的概念，求極限的方法；2. 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的概念及性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)：1.函數(shù)極限的定義；2.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用。教學(xué)方法：講授，啟發(fā)式、講練

2、結(jié)合教學(xué)手段：傳統(tǒng)講授。作業(yè)：層次1：書(shū)16頁(yè)1、2（1）（2）、4、6層次2：書(shū)16頁(yè)5、7教案實(shí)施效果追記：（手書(shū)）第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)第1節(jié) 函數(shù)（二）、第2節(jié) 極限復(fù)習(xí)及課題引入（時(shí)間：5分鐘）：1、作業(yè)題處理；2、復(fù)習(xí)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及基本初等函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。講授新內(nèi)容一、函數(shù)的概念（二）（時(shí)間：15分鐘）1、復(fù)合函數(shù)：【引例】（公司員工問(wèn)題）某公司員工的工資占公司利潤(rùn)的若干比例，而公司的利潤(rùn)又取決于所銷售的商品的數(shù)量，因此，該公司員工的工資由所銷售商品的數(shù)量決定。定義7設(shè),其中,且函數(shù)的值域包含在函數(shù)的定義域內(nèi),則稱為由與復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),其中稱為中間變量.例如，可復(fù)合成.

3、注意：、并不是任意兩個(gè)函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).如，和就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。因?yàn)閷?duì)函數(shù)而言，必須要求變量，而，所以對(duì)任何的值，都得不到確定的對(duì)應(yīng)值。、利用復(fù)合函數(shù)不僅能將若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合成一個(gè)函數(shù)，還可以把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，這對(duì)于今后掌握微積分的運(yùn)算時(shí)很重要的。例4、將下列復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解.(1); (2).解 (1)是由,復(fù)合而成的.(2)是由,復(fù)合而成的.2、初等函數(shù)：定義8：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成并用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).例如：，等都是初等函數(shù)。3、分段函數(shù)：定義9：在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子表示的函數(shù)，

4、稱為分段函數(shù).注:(1)分段函數(shù)仍舊是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集. (2)分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).除例如：符號(hào)函數(shù)： 就是一個(gè)分段函數(shù)，其定義域?yàn)?。?、設(shè)，求及函數(shù)的定義域。解：，函數(shù)的定義域?yàn)?。二、極限概念：（時(shí)間：10分鐘）【引例】：中國(guó)古代哲學(xué)家莊周在莊子天下篇中引述惠施的話：“一尺之錘，日取一半，萬(wàn)世不竭?！蔽觯哼@句話的意思是指一尺的木棒，第一天取它的一半，即尺，；第二天再取剩下的一半，即尺；第三天再取第二天剩下的一半，即尺；這樣一天天地去下去，而木棒是永遠(yuǎn)也取不完的。盡管木棒永遠(yuǎn)也取不完，可到了一定的時(shí)候，還能看得見(jiàn)嗎？看不見(jiàn)意味著什么？不就

5、是快沒(méi)了嗎？終極的時(shí)候，就近乎沒(méi)有了。它的終極狀態(tài)就趨于零?！緲O限概念引出】事實(shí)上，假設(shè)木棒為一個(gè)單位長(zhǎng)，用表示第天截取之后所剩下的長(zhǎng)度，可得，這樣構(gòu)成一列有次序的數(shù)。設(shè)想無(wú)限增大（記為），在這個(gè)過(guò)程中，無(wú)限接近于一個(gè)確定的數(shù)值（零），這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面這列有次序的數(shù)（所謂數(shù)列），當(dāng)時(shí)的極限。復(fù)習(xí)(高中知識(shí))：數(shù)列的概念、通項(xiàng)概念數(shù)列就是按照一定順序排列成的一列數(shù)，一般記為，簡(jiǎn)記為，其中稱為數(shù)列的通項(xiàng)。例如，數(shù)列1,2,3,4,5，的通項(xiàng)是，可以記為；數(shù)列的通項(xiàng)是，可以記為；數(shù)列,的通項(xiàng)是，可以記為。數(shù)列也可看成自變量為正整數(shù)的函數(shù)：，其定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量依次取1,2,3

6、,，一切正整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。2、（極限概念）定義10：（教學(xué)方法：板書(shū)）對(duì)于數(shù)列,若當(dāng)無(wú)限增大時(shí),通項(xiàng)無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù),則常數(shù)稱為數(shù)列的極限,此時(shí)也稱數(shù)列收斂于,記為或若數(shù)列的極限不存在,則稱數(shù)列發(fā)散.注意：數(shù)列極限是個(gè)動(dòng)態(tài)概念，是變量無(wú)線運(yùn)動(dòng)漸進(jìn)變化的過(guò)程，是一個(gè)變量（項(xiàng)數(shù)為）無(wú)線運(yùn)動(dòng)的同時(shí)另一個(gè)變量（對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)）無(wú)限接近于某一個(gè)確定常數(shù)的過(guò)程，這個(gè)常數(shù)（極限）是這個(gè)無(wú)線運(yùn)動(dòng)變化的最終趨勢(shì)。（根據(jù)函數(shù)關(guān)系的定義，引出數(shù)列是特殊的函數(shù)這個(gè)概念）例1、（畫(huà)數(shù)軸數(shù)形結(jié)合思想）（1）；（2）；（3）；解：當(dāng)時(shí)，數(shù)列（1）的通項(xiàng)越來(lái)越接近于常數(shù)1；而數(shù)列（2）的通項(xiàng)越來(lái)越接近于

7、常數(shù)0，數(shù)列（3）的通項(xiàng)在-1與1之間交替出現(xiàn)而不趨于任何確定的常數(shù)，所以，（1）；（2）；（3）不存在。（析：從數(shù)軸上標(biāo)出一些點(diǎn)，來(lái)說(shuō)明數(shù)列無(wú)限運(yùn)動(dòng)變化的最終趨勢(shì)）三、函數(shù)的極限（時(shí)間：20分鐘）數(shù)列是一種特殊形式的函數(shù)，把數(shù)列的極限推廣可得到函數(shù)的極限。根據(jù)自變量的變化過(guò)程，分兩種情況討論。1、時(shí)函數(shù)的極限（教學(xué)方法：講解）（7分鐘）【引例】（設(shè)備折舊問(wèn)題）某高校為進(jìn)行以工作過(guò)程為導(dǎo)向的課程教學(xué)，購(gòu)置一批數(shù)控機(jī)床為教學(xué)設(shè)備，投資額是100萬(wàn)元，每年的折舊費(fèi)為這批數(shù)控機(jī)床賬面價(jià)格（即以前各年折舊費(fèi)用提取后余下的價(jià)格），那么這批數(shù)控機(jī)床的賬面價(jià)格（單位：萬(wàn)元）第一年為100，第二年為100*，

8、第三年為100*，第四年為100*，,第年為100*，那么，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，該批數(shù)控機(jī)床的賬面價(jià)格如何變化？顯然，從它的變化趨勢(shì)可以看出，隨著年數(shù)的無(wú)限增大時(shí)，賬面價(jià)格無(wú)限接近于0.引例反映了一個(gè)特點(diǎn)：當(dāng)自變量逐漸增大時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值逐漸接近于一個(gè)確定的常數(shù)。為此給出下面定義。定義11：函數(shù) 在 內(nèi)有定義，若 無(wú)限增大時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值 無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱函數(shù) 以A為極限。記為=A或A（ ）.若當(dāng) （或 ）時(shí)，函數(shù)無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，記為=A或=A.例如， （畫(huà)出圖形解釋）不難證明，函數(shù) 在 時(shí)的極限與在，時(shí)的極限有以下關(guān)系。定理1： 例2、（書(shū)16頁(yè)3）討論 是否存在。（根

9、據(jù)函數(shù)圖像觀察）2、時(shí)函數(shù)的極限（13分鐘）（1）鄰域概念：設(shè)且,則開(kāi)區(qū)間稱為點(diǎn)的鄰域,記為，即.點(diǎn)稱為這鄰域的中心，稱為這鄰域的半徑.有時(shí)用到的領(lǐng)域需要把領(lǐng)域的中心去掉。點(diǎn)的領(lǐng)域去掉中心后，稱為點(diǎn)的去心鄰域，記為，即為了方便，有時(shí)把開(kāi)區(qū)間稱為的左領(lǐng)域，把開(kāi)區(qū)間稱為的右鄰域。（2）舉例說(shuō)明： 時(shí)，函數(shù)無(wú)限接近于多少？（書(shū)13頁(yè)圖像）觀察：當(dāng)：時(shí)， ，無(wú)限接近2當(dāng)：時(shí)， ，無(wú)限接近2f(x)在x=1有定義，g(x)在x=1處無(wú)定義定義12：如果當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A, 則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,記作 或 (當(dāng)時(shí)).此時(shí)也稱存在。如果當(dāng)時(shí), 函數(shù)不趨近于任何一個(gè)確定的常數(shù),則稱不存在。

10、注意：1.函數(shù)當(dāng) x x時(shí)的極限是否存在，與在點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān).（如上例）2.若函數(shù)極限存在，則極限值必唯一。 （唯一性）1、 單側(cè)極限：（10分鐘）在討論當(dāng) 時(shí)函數(shù) 的極限問(wèn)題中，對(duì)的過(guò)程，若限制或，便出現(xiàn)了單側(cè)極限的概念。定義13：設(shè)在 的某左（或右） 鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 從的左（或右）側(cè)無(wú)限接近于時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限接近于某一確定的常數(shù)A，則稱A為 時(shí)函數(shù) 的左（或右）極限，記為=A（或=A）.函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為函數(shù)的單側(cè)極限。顯然，下面結(jié)論成立。定理2：例3 設(shè) ，求 并討論解：因?yàn)椋?，又因?yàn)橛啥ɡ?可知，不存在。（畫(huà)出圖像書(shū)14頁(yè)圖1-6）練習(xí)：判斷函數(shù) 在點(diǎn)是否存在極限

11、？（講授方法：數(shù)形結(jié)合，作圖板演）四、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量（時(shí)間：32分鐘）1、無(wú)窮小量的定義：【洗滌效果】在用洗衣機(jī)清洗衣物時(shí)，清洗次數(shù)越多，衣物上殘留的污漬就越少。當(dāng)洗滌次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，衣物上的污漬趨于零。在對(duì)許多事物進(jìn)行研究時(shí)，常遇到事物數(shù)量的變化趨勢(shì)為零。為此，給出如下定義。定義14：在自變量的某一變化過(guò)程中，極限為0的量稱為該變化過(guò)程的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮??；例如：當(dāng)時(shí)，是， (0)，1-cosx無(wú)窮小；當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮?。划?dāng)時(shí)，是無(wú)窮小。注意：1、無(wú)窮小量不是很小的數(shù),它是一個(gè)極限的概念。2、數(shù)零是唯一可作為無(wú)窮小的常數(shù)。3、無(wú)窮小是個(gè)變量。2、無(wú)窮小量的性質(zhì)：性質(zhì)1、有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)

12、和是無(wú)窮小量。例如，當(dāng)x0時(shí)， 是無(wú)窮小量；而無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小，如。性質(zhì)2、無(wú)窮小量與有界量之積是無(wú)窮小量。例如，當(dāng)x0時(shí)， 是無(wú)窮小量；當(dāng) 時(shí)， 是無(wú)窮小量。推輪1、任一常數(shù)與無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。例如，當(dāng)x0時(shí)， 是無(wú)窮小量。推論2、有限個(gè)無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。（注：兩個(gè)無(wú)窮小之商未必是無(wú)窮?。?、無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系：定理3 函數(shù)的充分必要條件是（其中）注意 定理3中，下面沒(méi)有標(biāo)明自變量變化過(guò)程的記號(hào)“l(fā)im”是指自變量的變化過(guò)程可以是，中的任何一種。例如：，則，其中。又如，因?yàn)?，而，所以?、 無(wú)窮大量的定義：【本利核算】某人又本金A元，銀行存款年利率為,不考慮

13、個(gè)人所得稅，那么，此人第一年末的本利和為，第二年，本利和為，,第年末的本利和為，存款時(shí)間越長(zhǎng)，本利和也無(wú)限增長(zhǎng)。定義15：若（或）,則稱為當(dāng)（或 ）時(shí)的無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮大。例如，=，所以當(dāng) 時(shí), 為無(wú)窮大；因?yàn)椋?是當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮大. 注意：1.無(wú)窮大量不是一個(gè)很大的數(shù),它是極限的概念; 2.無(wú)窮大量的實(shí)質(zhì)是極限不存在,為了表示記作 或 .5、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系：定理4：在自變量的同一變化過(guò)程中，（1） 如果函數(shù) 是無(wú)窮小，且 ，則 是無(wú)窮大；（2） 如果函數(shù) 是無(wú)窮大，則 是無(wú)窮小。注意：（1）說(shuō)一個(gè)函數(shù)時(shí)無(wú)窮小（無(wú)窮大）時(shí)，必須知名其自變量的變化趨勢(shì)。（2）便于描述無(wú)窮大的變化趨勢(shì)，我們把“是（或）時(shí)的無(wú)窮大”記為（或）。如當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮大，記作。課堂練習(xí)：書(shū)16頁(yè)，6小結(jié)（時(shí)間：3分鐘）：1、本次課講授了函數(shù)中，復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)以及分段函數(shù)的知識(shí)，函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相