超越方程與導(dǎo)數(shù)

1、利用導(dǎo)數(shù)、數(shù)形結(jié)合討論二類方程根的問題導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它是研究函數(shù)、方程、不等式等的重要工具。在探求諸如，+2方程的根的問題時(shí)，我們利用導(dǎo)數(shù)這一工具和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想就可以很好的解決。此類題的一般解題步驟是：1、構(gòu)造函數(shù)，并求其定義域。2、求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)。3、畫出函數(shù)草圖。4、數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)情況求解。下面利用導(dǎo)數(shù)討論這二類方程根的問題。一、有關(guān)三次方程根的問題：對的根，在特殊情況下，我們可以直接猜出一根，然后轉(zhuǎn)化為，再展開，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出。再對求根得解。如；但大多數(shù)三次方程的根不易猜出，這時(shí)我們就可以利用導(dǎo)數(shù)，數(shù)形結(jié)合討論這一類方

2、程根的情況。例1、方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是 （ ） 、3 、2 、1 、0分析：此題是一個(gè)三次方程，不易猜根。可先構(gòu)造函數(shù)，再通過求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫出其草圖，數(shù)形結(jié)合分析求解。解：令= 則= = 當(dāng)或時(shí) 0 為增函數(shù) 當(dāng)時(shí) 為減函數(shù) =013 故的極大值在軸的下方，如圖1，即的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，原方程只有一個(gè)實(shí)根。選。（圖1）例2、已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，若恰有一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：此題給出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的范圍?？赏ㄟ^對函數(shù)求導(dǎo)得出其單調(diào)區(qū)間，它應(yīng)包含題中給出的單調(diào)區(qū)間，初步得出的范圍。又據(jù)恰有一解，即函數(shù)值對應(yīng)惟一值。可先由單調(diào)性畫出草圖，然后數(shù)形結(jié)合分析求

3、解。解：函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)由得， ， 得由題意 0 即 又在和上遞增，在上遞減。如圖2（圖2） 在的值域?yàn)?即 據(jù)圖2可知，若恰有一解，只需 得 結(jié)合 二、有關(guān)超越方程根的問題：這時(shí)更不易猜根求解，但構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)后，畫出草圖，數(shù)形結(jié)合，找到圖象與軸的交點(diǎn)，則可化難為易。很快得解。例3、證明方程+2有惟一解。分析：這一方程形式比較復(fù)雜，觀察易知是其一根，但不能說明它惟一。我們利用導(dǎo)數(shù)，解題步驟基本不變，不同之處是要首先考慮函數(shù)的定義域，在定義域的范圍內(nèi)求解。證明：移項(xiàng)得：=0 令 y 01x 當(dāng)即時(shí) ，為增函數(shù)（圖3） 當(dāng)即時(shí)，為減函數(shù)。 如圖3，此時(shí)圖象與軸相切。與軸只有惟一交點(diǎn)

4、故方程+2有惟一解。例4、若關(guān)于的方程在上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：這一方程已知根的情況，反過來要探求參變量的范圍。仍可先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，然后畫出草圖數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖象與軸的交點(diǎn)情況，挖掘出隱含條件即可得解。解：方程可化為 令 則 由得，得012 在上遞增，在上遞減。（圖4） 要使關(guān)于的方程在上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，只需的圖象與軸在和上各有一個(gè)交點(diǎn)。如圖4 所以有： 即解之得：通過上面的例題分析，可以看出，對于三次方程、超越方程的根的問題（或是能轉(zhuǎn)化為這二類方程根的問題），我們就可以先構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具，在定義域內(nèi)求出其單調(diào)區(qū)間，依題意作出草圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，確定函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)情況，挖掘隱含條件求解。導(dǎo)數(shù)是工具、圖形是核心，找根是目標(biāo)。練習(xí)1、（本小題滿分14分）已知函數(shù) （I）求f(x)在0，1上的極值； （II）若對任意成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （III）若關(guān)于x的方程在0，1上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：（I），令（舍去）單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減. 3分上的極大值 5分 （II）由得， 7分設(shè)，依題意知上恒成立， 上單增，要使不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng) 9分 （