銀行不良貸款問題的數(shù)學模型

1、基于回歸分析模型的對銀行不良貸款的預測摘要本文基于商業(yè)銀行不良貸款余額進一步增加，不良貸款率攀升的背景而提出的；要解決的問題是為商業(yè)銀行預測不良貸款額變化趨勢，并找出控制不良貸款的方法?；诮ㄔO銀行現(xiàn)狀，對問題展開分析并通過網(wǎng)絡等渠道查找相關的數(shù)據(jù)，對影響銀行不良貸款余額的顯著因素進行歸納。同時采用多元線性規(guī)劃和多項式回歸相結(jié)合的方法建立數(shù)學模型，就不良貸款余額與各種因素的關系展開分析。對于第一問，對“總資產(chǎn)”、“資本充足率”、“貨代比”、“存款總額”、“貸款總額”、“利息收入”等六個影響因素及不良貸款率，用回歸分析的方法建立模型。先用通過SPSS軟件分析其相關程度并排除無關變量，再用MATL

2、AB軟件，計算出的相關系數(shù)，并進行多元線性回歸求得不良貸款額的回歸方程，結(jié)合“貸款總額”從而對銀行未來對不良貸款進行預測。不良貸款率影響因素如圖4.1所示：不良貸款率總資產(chǎn)資本充足率存貸比存款總額貸款總額利息收入圖1 不良貸款率與各因素的關系對于第二問，對“業(yè)績增速”、“凈息差”與“不良貸款”，采用多元線性回歸和多元多項式回歸的方法建立數(shù)學模型。先用通過SPSS軟件分析其相關程度，并通過MATLAB軟件繪制散點圖。計算出的相關系數(shù)，并進行多元多項式回歸，并把多元多項式回歸轉(zhuǎn)化為多元線性回歸，求得不良貸款額率的增長的回歸方程，得到了“業(yè)績增速”、“凈息差”與“不良貸款”之間的關系。對于第三問，基

3、于上面兩個模型，用控制變量的方法、以及微分的思想方法，以“直”代“曲”，化繁為簡，對不良貸款的變化進行預測，并對其進行定量分析。關鍵字：商業(yè)銀行 預測 不良貸款 回歸分析 相關系數(shù) 殘差分析 定量分析 一 問題重述1.1 背景知識商業(yè)銀行主要業(yè)務之一就是對項目建設、固定資產(chǎn)投資等進行貸款。目前較為突出的的問題是雖然我國銀行貸款額平穩(wěn)增長，但是商業(yè)銀行普遍存在的比例較高的呆、壞帳和逾期貸款等不良貸款問題，使不良貸款率過高，給銀行貸款業(yè)務的發(fā)展帶來較大壓力。1.2 現(xiàn)狀分析截至2014年4月29日晚間，工農(nóng)中建四大行的一季報出齊。雖然四家銀行的業(yè)績增速、凈息差變化不盡相同，但是卻暴露出了同一個問題

4、不良貸款余額進一步增加，不良貸款率幾乎都在攀升。這也是幾乎所有上市銀行面臨的窘境。在資產(chǎn)質(zhì)量方面，從一季報可以看出，隨著經(jīng)濟結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)型推進，去產(chǎn)能化和去杠桿化等各種因素對包括四大行在內(nèi)的商業(yè)銀行的資產(chǎn)質(zhì)量構(gòu)成影響。雖然信貸質(zhì)量總體保持穩(wěn)定，但四家銀行的不良貸款余額都在進一步增加。而不良貸款率僅農(nóng)行與去年年末持平，其余三家均進一步上升。1.3 需解決的問題1.利用網(wǎng)絡等渠道收集有關數(shù)據(jù)資料，建立銀行不良貸款的預測模型，并分析模型的誤差和可信度。2.銀行的業(yè)績增速、凈息差變化與不良貸款的增長之間是否存在聯(lián)系，試進行實證分析。3.不良貸款是多方面因素造成的，試通過相關的數(shù)據(jù)作定量分析，幫銀行找出控制不

5、良貸款的途徑和辦法。二 模型假設1. 假設不良貸款的變化趨勢趨于穩(wěn)定，研究數(shù)據(jù)以外的其他因素影響不發(fā)生偶然的變化；2. 網(wǎng)絡等渠道收集的各類信息真實可靠貼近實際，能反映不良貸款的數(shù)據(jù)；3. 調(diào)查數(shù)據(jù)年間貨幣匯率和銀行的利率沒有重大的變化；4. 假設銀行對不良貸款預測的彈性需求趨于線性；5. 本論文不考慮各銀行之間的競爭關系。三 符號說明符號表示意義不良貸款額不良貸款額率回歸系數(shù)總資產(chǎn)資本充足率存貸比存款總額貸款總額利息收入凈利息差業(yè)績增速殘差平方和不良貸款額率的增長四 問題分析不良貸款，不良貸款亦指非正常貸款或有問題貸款，是指借款人未能按原定的貸款協(xié)議按時償還商業(yè)銀行的貸款本息，或者已有跡象表

6、明借款人不可能按原定的貸款協(xié)議按時償還商業(yè)銀行的貸款本息而形成的貸款。然而不良貸款的形成客觀上與銀行業(yè)務的種種方面息息相關。其中銀行的“總資產(chǎn)”、“資本充足率”、“存貸比”、“存款總額”、“貸款總額”、“利息收入”等六個方面影響甚重。就問題一分析，大量的數(shù)據(jù)與材料表明，造成不良貸款的原因離不開6個關鍵性的因素：“總資產(chǎn)”、“資本充足率”、“存貸比”、“存款總額”、“貸款總額”、“利息收入”。通過對上述6個變量的數(shù)據(jù)整合，采取多元線性回歸分析預測的方法建立合適的模型。對于問題二，通過業(yè)績增速、凈息差變化與不良貸款率的增長之間的數(shù)據(jù)關系，通過繪制直觀的散點圖并作數(shù)據(jù)擬合粗略的得到分別對應的關系。然

7、后嘗試通過建立多元的線性回歸模型及多項式回歸模型，然后把兩種模型做對比，以直至找到更合理的，并且相關系數(shù)大的模型以找到不良貸款與業(yè)績增速和凈息差之間的關系，并檢驗其殘差平方和。對于第三問，通過前兩問的分析求解，我們已經(jīng)得到了對不良貸款額的估計。從所得到的多元函數(shù)關系，就可以利用控制這些變量，以達到控制不良貸款的目的，此外，不良貸款是多方面造成的，我們還可以從貸款者的角度分析不良貸款的成因，利用這些信息，幫助銀行有效控制不良貸款。五 模型的建立與求解5.0 數(shù)據(jù)處理由于原數(shù)據(jù)中“總資產(chǎn)”“ 存款總額”“貸款總額”“利息收入”數(shù)值較大及“資本充足率”“存貸比”數(shù)值較小，造成有效數(shù)字位數(shù)不能統(tǒng)一，為

8、了消除各變量數(shù)值大小差異的影響，故將數(shù)據(jù)標準化。對上述幾個指標中，以“億”作為單位的數(shù)據(jù)將其縮小一百倍，用“百分比”為單位的將其放大一百倍，數(shù)據(jù)處理后方便計算，該處理并不對模型造成影響。在控制變量的過程中，為了對各個變量的影響作定量分析，把近年各指標的平均數(shù)作為模型變量的穩(wěn)定值。 基于問題一模型建立根據(jù)散點圖分析結(jié)果以及各指標的計算公式，可以認為“總資產(chǎn)”、“資本充足率”、“存貸比”、“存款總額”、“貸款總額”、“利息收入”6個因素與“不良貸款額率”有一定的線性關系。建立了上述六個指標與“不良貸款額率”之間的關系，即可用各個指標求出“不良貸款額率”的估計值，然后通過該“不良貸款額率”估計值與“

9、貸款總額”即可預測不良貸款的情況。于是就問題一的模型，先對其進行多元線性回歸分析。多元線性回歸的參數(shù)估計在要求誤差平方和（）為最小的前提下，用最小二乘法求解參數(shù)。建立多元線性回歸分析模型為：將收集到的獨立的觀測數(shù)據(jù)記： ，可得：記：，該回歸模型可轉(zhuǎn)化為：其中為7階單位矩陣。 基于問題一參數(shù)估計和模型求解對模型中的參數(shù)仍用最小二乘法進行估計，即選取估計值，使得當，誤差平方和 達到最小。為此，得到，將代回原模型得到y(tǒng)的估計值。而這組數(shù)據(jù)的擬合值，擬合誤差稱為殘差，可作為隨機變量的估計。而稱為殘差平方和，即。用MATLAB軟件及SPSS軟件對上述模型進行分析求解，得到以下結(jié)果：用MATLAB軟件繪制

10、不良貸款率與各相關變量的散點圖圖1 不良貸款率與各相關變量的散點圖輸入數(shù)據(jù)到SPSS，找出6個數(shù)據(jù)中應排除的變量，圖2 SPSS對無關變量的分析結(jié)果圖使用MATLAB軟件對關于排除后的回歸方程進一步求解，得到：3.4601，0.2691，0.4448，0.8803，-0.7720，3.0482則該多元線性回歸方程為： 則不良貸款的估計值即為： 基于問題二的模型建立根據(jù)散點圖分析結(jié)果以及借助SPSS軟件對三組數(shù)據(jù)的分析結(jié)果，可以認為“凈利息差”、 “業(yè)績增速”與“不良貸款額率的增長”有較強的相關關系。對于其間的相關關系，暫時不能作斷定。于是就問題二的，我們試對其建立多元線性回歸模型和多元二項式回

11、歸模型，觀察兩個模型各自的相關性，若有相關關系滿足要求，則在這兩個模型中選擇相關性更強的一個作為問題二的模型。將收集到的獨立的觀測數(shù)據(jù)記： ，(1)建立多元線性回歸分析模型為：可得：記：，該回歸模型可轉(zhuǎn)化為：其中為7階單位矩陣。(2)建立多元多項式回歸分析模型為：可得：記：，該回歸模型可轉(zhuǎn)化為：其中為7階單位矩陣。 基于問題二的參數(shù)估計和模型求解對，的數(shù)據(jù)，先輸入SPSS軟件，進行相關分析，分析結(jié)果表示兩變量與Z的相關度都較高，沒有需要剔除的無關變量。對兩個模型中的參數(shù)仍用最小二乘法進行估計，即選取估計值，使得當時，誤差平方和 達到最小。為此。得到 將代回原模型得到y(tǒng)的估計值。而這組數(shù)據(jù)的擬合

12、值，擬合誤差稱為殘差，可作為隨機變量的估計。而稱為殘差平方和，即。用MATLAB軟件及SPSS軟件對上述模型進行分析求解，得到以下結(jié)果：用MATLAB軟件繪制，的散點圖：圖3 ，的散點圖借助SPSS軟件分析，與之間的相關程度，相關程度較高。使用MATLAB軟件回歸方程進一步求解：(1) 對模型進行多元線性回歸，得到：-1.4788，0.6176，-0.0212復相關系數(shù)0.4184，由此得出該模型復相關系數(shù)較小，表明要素或變量之間的線性相關密切程度較低，故將該模型舍棄。 (2) 將多元多項式回歸模型轉(zhuǎn)化為多元線性回歸模型，得到-36.2486，26.5886，-0.0639，-4.9100，-

13、0.0007，0.0342則該多元線性回歸方程為： 則不良貸款額率的增長的估計值即為： 基于問題三的模型建立結(jié)合上述兩個模型，可以對不良貸款進行有效的預測和控制。在函數(shù)模型的彎曲變化中，用微分的思想方法，化簡模型，以研究在較穩(wěn)定、變化范圍較小的情況下的不良貸款額的變化趨勢以及變化量。(1)結(jié)合問題一模型， “總資產(chǎn)”、“資本充足率”、“存貸比”、“存款總額”、“貸款總額”、“利息收入”，這六個變量中，回歸后只有（即存款總額）的系數(shù)為負。在保證其他變量一定和市場不發(fā)生波動的情況下，存款總額與不良貸款率呈負相關，提高存款總額，就可以降低不良貸款率，以致減少不良貸款余額?；趦烧咧g的關系，可就“存

14、款總額”對“不良貸款額”的影響作定量分析。S1.將除去外各指標的穩(wěn)定值代回回歸結(jié)果，得到各指標趨于穩(wěn)定時的線性回歸結(jié)果：；S2.代入的穩(wěn)定值與穩(wěn)定值加一個單位的值，比較與的大小，得到它們的差；S3.得到在較穩(wěn)定情況下定量分析的對的影響，結(jié)合穩(wěn)定情況的貸款總額，總結(jié)市場波動不大的情況下“存款總額”對“不良貸款額”的影響的定量分析。(2)結(jié)合問題二的模型，“凈利息差”、 “業(yè)績增速”與“不良貸款額率的增長”之間回歸得到一個二元多項式函數(shù)，對這個函數(shù)用控制變量的思想，分別對，求偏導數(shù)，得到兩者的偏導數(shù)，即可以對“凈利息差”、 “業(yè)績增速”對“不良貸款率的增長”的在市場較穩(wěn)定的情況下的影響作定量分析。

15、S1.分別求出對，的偏導數(shù)，并分別利用，的穩(wěn)定值分析在穩(wěn)定值附近的單調(diào)性；S2.分別代入的，穩(wěn)定值，并分別研究，每增加一個單位后，對的變化情況；S3.得到在較穩(wěn)定情況下定量分析的，對的影響，總結(jié)市場波動不大的情況下，“凈利息差”、 “業(yè)績增速”對“不良貸款額率的增長”的影響，結(jié)合較穩(wěn)定情況下的“不良貸款率”與“貸款總額”，得到“凈利息差”、 “業(yè)績增速”對“不良貸款額”的影響的定量分析。 基于問題三模型的定量分析六 模型的檢驗6.1 基于問題一模型檢驗（1）0.9968 ，在多元線性回歸中是y與x復的相關系數(shù)，說明了該模型變量間的線性程度非常高，同時反映了該模型的準確性與科學性（2）0.008

16、0，該模型的殘差的方差的和，把與回歸變量做比較，說明了該模型的因變量變異的程度較小，也反映出該模型的準確性。圖4為殘差分析圖圖4 問題一多元線性回歸殘差分析圖6.2 基于問題二的模型檢驗（1） 0.8529 ，在多元線性回歸中是y與x復的相關系數(shù)，說明了該模型變量間的線性程度非常高，同時反映了該模型的準確性與科學性（2）0.0763，該模型的殘差的方差的和，把與回歸變量做比較，說明了該模型的因變量變異的程度較小，也反映出該模型的準確性。圖5為殘差分析圖圖5 問題二多元多項式回歸殘差分析圖七 模型評價、推廣與改進優(yōu)點從網(wǎng)絡等渠道得到各銀行各方面各參數(shù)較為準確和合理的數(shù)據(jù)，運用了MATLAB、SP

17、SS等軟件進行了分析和統(tǒng)計，采用了多元線性回歸和二元多項式回歸等模型對問題進行求解。本模型通過對“總資產(chǎn)”、“資本充足率”、“貨代比”、“存款總額”、“貸款總額”等各個影響不良貸款的因素進行處理和規(guī)劃，較為準確的對銀行不良貸款進行預測。從“業(yè)績增長率”、“凈息差”對不良貸款余額的關系中對銀行在處理和控制不良貸款余額時提供了相對可信的意見和參考。綜上所述，該模型一定程度上推廣性相對較強，準確率較高。缺點本模型僅僅對銀行產(chǎn)生不良貸款的重要因素進行分析和求解，選擇性的忽略了相關程度比較低的參數(shù)。該數(shù)學模型的確定建立在銀行業(yè)績發(fā)展比較穩(wěn)定的前提下，難以對來自社會、環(huán)境、政府決策等方面帶來的影響進行預測

18、和估計。另外在數(shù)據(jù)查找和統(tǒng)計方面僅僅對年度總體數(shù)據(jù)的變化進行求解，難免對各年度各季度的預測細致致志。改進方法目前為止，我們進行的都是多元線性回歸(multiple linear regression)。舉個例子，若對w i d g e t的需求是價格()、消費者收入()以及競爭產(chǎn)品價格()的函數(shù)的話，那么，我們寫出推廣的需求函數(shù)：即 這就是多元線性回歸的一個例子。這個回歸方程中有不止一個的自變量或解釋變量用以解釋應變量的行為。該模型表明：對w i d g e t需求量的條件均值是價格、消費者收入及競爭產(chǎn)品價格的線性函數(shù)。單個消費者的需求函數(shù)(即隨機的總體回歸函數(shù))為： 式(5-11)表明：由于

19、隨機誤差項的存在，個人需求量不同于群體的平均需求量。正如前面講過的，即使在多元回歸分析中，也需引進誤差項，因為我們不能把所有可能影響需求量的因素都考慮進去。注意：式和式都是參數(shù)線性的，因此，它們都是線性回歸模型。而進入模型的解釋變量本身不需要是線性的。不過在widget一例中，卻是線性的。八 參考文獻1趙靜,但琦.數(shù)學建模與數(shù)學實驗（第3版）M.北京:高等教育出版社,2008.2陳光亭,裘哲勇.數(shù)學建模M.北京:高等教育出版社,2010.3秦慧群,鐘茜.基于回歸分析模型的不良貸款的預測與關聯(lián)度分析J.時代金融,2013,06:209-210.4吳珊.基于多元回歸分析的我國某商業(yè)銀行的不良貸款研

20、究J.商,2013,10:119.附錄1 中國建設銀行相關數(shù)據(jù)披露期總資產(chǎn)(億)資本充足率%存貸比%存款總額(億)貸款總額(億)利息收入(億)不良貸款額（億）2007年年度65981.7712.5861.2753403.1631832.292848.23827.642008年年度75554.5212.1659.563759.1536835.753565814.072009年年度96233.5511.760.2480013.2346929.473394.63703.942010年年度108103.1712.6862.4790753.6955260.263777.83629.972011年年度12

21、2818.3413.6865.0599874.563251.944822.47689.452012年年度139728.2814.3266.23113430.7973098.796032.41723.682013年年度145218.2113.3470.28116907.285900.576462.53852.64披露期不良貸款額率%不良貸款額率的增長%凈利息差%業(yè)績增速%2007年年度2.6-0.693.0749.08 2008年年度2.21-0.393.134.10 2009年年度1.5-0.712.4115.29 2010年年度1.14-0.362.4926.31 2011年年度1.09-0

22、.052.725.52 2012年年度0.99-0.12.7514.13 2013年年度0.9902.5611.36 注：數(shù)據(jù)采自和訊網(wǎng)(2 問題一的程序定義數(shù)組：x1=145218.21 139728.28 122818.34 108103.17 96233.55 75554.52 65981.77;x2=13.34 14.32 13.68 12.68 11.7 12.16 12.58;x3=70.28 66.23 65.05 62.47 60.24 59.5 61.27;x4=116907.2 113430.79 99874.5 90753.69 80013.23 63759.15 534

23、03.16;x5=85900.57 73098.79 63251.94 55260.26 46929.47 36835.75 31832.29;x6=6462.53 6032.41 4822.47 3777.83 3394.63 3565 2848.23;y=0.99 0.99 1.09 1.14 1.5 2.21 2.6;Y=y'繪制散點圖MATLAB程序：subplot(2,3,1);plot(x1,Y,'*') %繪制x1與Y的散點圖hold onsubplot(2,3,2);plot(x2,Y,'*') %繪制x2與Y的散點圖hold onsubplot(2,3,3)plot(x3,Y,'*') %繪制x3與Y的散點圖hold onsubplot(2,3,4);plot(x4,Y,'*') %繪制x4與Y的散點圖hold onsubplot(2,3,5);plot(x5,Y,'*') %繪制x5與Y的散點圖hold onsubplot(2,3,6