運(yùn)籌學(xué)期末試題

1、運(yùn)籌學(xué)試題樣卷（一）題號一二三四五六七八九十總分得分一、判斷題（共計(jì)10分，每小題1分，對的打，錯(cuò)的打X）1. 無孤立點(diǎn)的圖一定是連通圖。2. 對于線性規(guī)劃的原問題和其對偶問題，若其中一個(gè)有最優(yōu)解，另一個(gè)也一定有最優(yōu)解。 3. 如果一個(gè)線性規(guī)劃問題有可行解，那么它必有最優(yōu)解。4對偶問題的對偶問題一定是原問題。5用單純形法求解標(biāo)準(zhǔn)形式（求最小值）的線性規(guī)劃問題時(shí)，與對應(yīng)的變量都可以被選作換入變量。6若線性規(guī)劃的原問題有無窮多個(gè)最優(yōu)解時(shí)，其對偶問題也有無窮多個(gè)最優(yōu)解。7. 度為0的點(diǎn)稱為懸掛點(diǎn)。8. 表上作業(yè)法實(shí)質(zhì)上就是求解運(yùn)輸問題的單純形法。 9. 一個(gè)圖G 是樹的充分必要條件是邊數(shù)最少的無孤立

2、點(diǎn)的圖。10. 任何線性規(guī)劃問題都存在且有唯一的對偶問題。 二、建立下面問題的線性規(guī)劃模型（8分）某農(nóng)場有100公頃土地及15000元資金可用于發(fā)展生產(chǎn)。農(nóng)場勞動力情況為秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如勞動力本身用不了時(shí)可外出打工，春秋季收入為25元 / 人日，秋冬季收入為20元 / 人日。該農(nóng)場種植三種作物：大豆、玉米、小麥，并飼養(yǎng)奶牛和雞。種作物時(shí)不需要專門投資，而飼養(yǎng)每頭奶牛需投資800元，每只雞投資3元。養(yǎng)奶牛時(shí)每頭需撥出1.5公頃土地種飼料，并占用人工秋冬季為100人日，春夏季為50人日，年凈收入900元 / 每頭奶牛。養(yǎng)雞時(shí)不占用土地，需人工為每只雞秋冬季0.6人日，春夏

3、季為0.3人日，年凈收入2元 / 每只雞。農(nóng)場現(xiàn)有雞舍允許最多養(yǎng)1500只雞，牛欄允許最多養(yǎng)200頭。三種作物每年需要的人工及收入情況如下表所示：大豆玉米麥子秋冬季需人日數(shù)春夏季需人日數(shù)年凈收入（元/公頃）205030003575410010404600試決定該農(nóng)場的經(jīng)營方案，使年凈收入為最大。三、已知下表為求解某目標(biāo)函數(shù)為極大化線性規(guī)劃問題的最終單純形表，表中為松弛變量，問題的約束為 _ 形式（共8分） 5/201/211/25/211/201/61/300(1)寫出原線性規(guī)劃問題；（4分）(2)寫出原問題的對偶問題；（3分）(3)直接由上表寫出對偶問題的最優(yōu)解。（1分）四、用單純形法解下列

4、線性規(guī)劃問題（16分）s. t. 3 x1 + x2 + x3 60x 1- x 2 +2 x 3 10x 1+ x 2- x 3 20x 1, x 2 , x 3 0 五、求解下面運(yùn)輸問題。 （18分） 某公司從三個(gè)產(chǎn)地A1、A2、A3 將物品運(yùn)往四個(gè)銷地B1、B2、B3、B4，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運(yùn)往各銷地每件物品的運(yùn)費(fèi)如表所示：問：應(yīng)如何調(diào)運(yùn)，可使得總運(yùn)輸費(fèi)最小?銷 地 產(chǎn) 地產(chǎn) 量1089523674768252550銷 、靈敏度分析（共8分）線性規(guī)劃max z = 10x1 + 6x2 + 4x3s.t. x1 + x2 + x3 10010x

5、1 +4 x2 + 5 x3 6002x1 +2 x2 + 6 x3 300x1 , x2 , x3 0的最優(yōu)單純形表如下：6x2200/305/615/3 1/6010x1100/311/60-2/31/600x6100040-201sj08/30-10/3 2/30(1)C1在何范圍內(nèi)變化，最優(yōu)計(jì)劃不變？(4分)(2)b1在什么范圍內(nèi)變化，最優(yōu)基不變？(4分)七、試建立一個(gè)動態(tài)規(guī)劃模型。（共8分）某工廠購進(jìn)100臺機(jī)器，準(zhǔn)備生產(chǎn) p1 , p2 兩種產(chǎn)品。若生產(chǎn)產(chǎn)品 p1 ，每臺機(jī)器每年可收入45萬元，損壞率為65%；若生產(chǎn)產(chǎn)品 p2 ，每臺機(jī)器 每年可收入35萬元，損壞率為35%；估計(jì)三

6、年后將有新 的機(jī)器出現(xiàn)，舊的機(jī)器將全部淘汰。試問每年應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使在三年內(nèi)收入最多？八、求解對策問題。（共10分）某種子商店希望訂購一批種子。據(jù)已往經(jīng)驗(yàn)，種子的銷售量可能為500，1000，1500或2000公斤。假定每公斤種子的訂購價(jià)為6元，銷售價(jià)為9元，剩余種子的處理價(jià)為每公斤3元。要求：（1）建立損益矩陣；（3分）（2）用悲觀法決定該商店應(yīng)訂購的種子數(shù)。（2分）（3）建立后悔矩陣，并用后悔值法決定商店應(yīng)訂購的種子數(shù)。（5分）九、求下列網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖的各時(shí)間參數(shù)并找出關(guān)鍵問題和關(guān)鍵路徑。（8分）6812345756379342783工序代號工序時(shí)間最早開工時(shí)間最早完工時(shí)間最晚開工時(shí)間最晚完

7、工時(shí)間機(jī)動時(shí)間1-281-371-462-432-553-423-634-534-674-745-796-78十、用標(biāo)號法求V1 到 V6 的最短路。（6分）3V4V5V3V1V2V6465664384運(yùn)籌學(xué)試題樣卷（二）題號一二三四五六七八九十總分得分一、判斷題（對的打，錯(cuò)的打X. 共計(jì)10分，答在下面的表格中）1、單純形法計(jì)算中，選取最大正檢驗(yàn)數(shù)對應(yīng)的變量作為換入變量，可使目標(biāo)函數(shù)值得到最快的減少。2、單純形法計(jì)算中，如不按最小非負(fù)比值原則選出換出變量，則在下一個(gè)解中至少有一個(gè)基變量的值是負(fù)的。 3、對于一個(gè)動態(tài)規(guī)劃問題，應(yīng)用順推法和逆推法可能會得到不同的最優(yōu)解。 4、應(yīng)用對偶單純形法計(jì)算

8、時(shí)，若單純形表中某一基變量，且所在行的所有元素都大于或等于零，則其對偶問題具有無界解。5、用位勢法計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)時(shí)，每一行（或列）的位勢的值是唯一的，所以每一個(gè)空格的檢驗(yàn)數(shù)是唯一的。6、動態(tài)規(guī)劃的最短路問題也可以用圖論中求最短路問題的方法求解。7、圖論中的圖是為了研究問題中有哪些對象及對象之間的關(guān)系，它與圖的幾何形狀無關(guān)。8、 動態(tài)規(guī)劃只是用來解決和時(shí)間有關(guān)的問題。 9、在畫網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖時(shí)，允許有多個(gè)起點(diǎn)和多個(gè)終點(diǎn)。10、因?yàn)檫\(yùn)輸問題是一種特殊的線性規(guī)劃模型，因而求其解也可能出現(xiàn)下列四種情況：有唯一最優(yōu)解；有無窮多個(gè)最優(yōu)解；無界解；無可行解。10二、試建立此問題的數(shù)學(xué)模型。 （ 8分 ）某工廠、三種

9、產(chǎn)品在下一年個(gè)季度的合同預(yù)定數(shù)如下表所示，該三種產(chǎn)品第一季度初無庫存，要求在在第四季度末每種產(chǎn)品的庫存為150件。已知該廠每季度生產(chǎn)工時(shí)為15000小時(shí)，生產(chǎn)產(chǎn)品、每件需3，4，3小時(shí)。因更換工藝裝備，產(chǎn)品在第二季度無法生產(chǎn)。規(guī)定當(dāng)產(chǎn)品不能按期交貨時(shí)，產(chǎn)品、每件每遲交一個(gè)季度賠償20元，產(chǎn)品賠償15元，又生產(chǎn)出來的產(chǎn)品不在本季度交貨的，每件每季度的庫存費(fèi)為5元。問應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使總的賠償加庫存費(fèi)用最小。產(chǎn) 品季 度1234150010002000120015001500120015001500200015002500三、用單純形法求解線性規(guī)劃問題 （ 16分 ）Max Z = 1500 x1

10、 + 2500 x2s.t. 3x1 + 2 x2 652 x1 + x2 403x2 75x1, x2 0四、寫出下面線性規(guī)劃的對偶問題 ( 8分 )；五 、求解下面運(yùn)輸問題。 （ 18分 ） 某公司從三個(gè)產(chǎn)地A1、A2、A3 將物品運(yùn)往四個(gè)銷地B1、B2、B3、B4，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運(yùn)往各銷地每件物品的運(yùn)費(fèi)如表所示銷 地產(chǎn) 地產(chǎn) 量311310719284741059銷 量365620問：應(yīng)如何調(diào)運(yùn)，可使得總運(yùn)輸費(fèi)最小?六、靈敏度分析（ 8分 ）線性規(guī)劃 的最終單純形表如下：41500451/301/31/3530111/52/5sj08/3/32/3（1） 的系數(shù)C1在

11、什么范圍變化，上述最優(yōu)解不變？（4分）（2）b2在什么范圍變化，最優(yōu)基不變？（4分）七、建動態(tài)規(guī)劃模型。（8分）某公司擁有資金 10 萬元，若投資于項(xiàng)目 i (i1，2，3) 的投資額為 xi 時(shí)，其收益分別為 g1(x1)=4x1 , g2(x2)=9x2 , g3(x3)=2x32 ,問應(yīng)如何分配投資數(shù)額才能使總收益最大? 八、解決對策問題。（10分）根據(jù)已往的資料，一家超級商場每天所需面包數(shù)（當(dāng)天市場需求量）可能是下列當(dāng)中的某一個(gè)：100，150，200，250，300，但其概率分布不知道。如果一個(gè)面包當(dāng)天賣不掉，則可在當(dāng)天結(jié)束時(shí)每個(gè)0.5元處理掉。新鮮面包每個(gè)售價(jià)1.2元，進(jìn)價(jià)0.9元

12、，假設(shè)進(jìn)貨量限制在需求量中的某一個(gè)，要求（1）建立面包進(jìn)貨問題的損益矩陣；（3分）（2）用樂觀法確定進(jìn)貨量。（2分）（3）建立后悔矩陣，并用后悔值法確定進(jìn)貨量。（5分）九、用雙標(biāo)號法求下列圖中到的最短路線及其長度。（ 6分 ）4323483331221十、下圖是商業(yè)中心建設(shè)項(xiàng)目的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖，請用標(biāo)號法計(jì)算出表中的各個(gè)參數(shù)，最后指出關(guān)鍵問題，并畫出關(guān)鍵線路。 （8分，直接答在下面）ABCDGHEFJI314591068720108248141061262工序時(shí)間開工時(shí)間完工時(shí)間機(jī)動時(shí)間最早最晚最早最晚A （20）B （10）C （8）D （24）E （8）F （14）G （10）H （6）I （

13、12）J （6）運(yùn)籌學(xué)樣卷（一）答案一、 判斷題。共計(jì)10分，每小題1分10XXXX二、建線性規(guī)劃模型。共計(jì)8分（酌情扣分）解：用分別表示大豆、玉米、麥子的種植公頃數(shù)；分別表示奶牛和雞的飼養(yǎng)數(shù)；分別表示秋冬季和春夏季的勞動力（人日）數(shù)，則有三、對偶問題。共計(jì)8分解：（）原線性規(guī)劃問題：；4分（）原問題的對偶規(guī)劃問題為：； 3分（）對偶規(guī)劃問題的最優(yōu)解為：T 。1分四、單純形表求解線性規(guī)劃。共計(jì)16分解：引入松弛變量x4、 x5、 x6，標(biāo)準(zhǔn)化得，s. t. 3 x1 + x2 + x3+ x4 = 60x 1- x 2 +2 x 3 + x5 = 10x 1+ x 2- x 3 + x6 =

14、0x 1, x 2 , x 3， x4、 x5、 x6，03分建初始單純形表，進(jìn)行迭代運(yùn)算： 9分CBXbb2-11000x1x2x3x4x5x60x460311100200x5101-1201010*0x62011-100120s102*-110000x43004-51-307.52x1101-12010-0x61002-30-115*s22001*-30-200x4100011-1-22x115100.500.50.5-1x2501-1.50-0.50.5s32500-1.50-1.5-0.5由最優(yōu)單純形表可知，原線性規(guī)劃的最優(yōu)解為： ( 15 , 5 , 0 )T 2分最優(yōu)值為： z*=

15、25。2分五、求解運(yùn)輸問題。共計(jì)18分解：（1）最小元素法：（也可以用其他方法，酌情給分）設(shè)xij為由Ai運(yùn)往Bj的運(yùn)量（i=1,2,3; j=1,2,3,4）,列表如下：銷 地產(chǎn) 地產(chǎn) 量1231520302555252550銷 量152030351003分所以，基本的初始可行解為：x14 =25； x22=20 ； x24 =5 ；X31 =15； x33 =30； x34=5 其余的xij=0。 3分（2）求最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案：1會求檢驗(yàn)數(shù)，檢驗(yàn)解的最優(yōu)性：s11=2；s12=2；s13=3；s21=1；s23=5；s32= - 13分2會求調(diào)整量進(jìn)行調(diào)整：=5 2分銷 地產(chǎn) 地產(chǎn) 量1231

16、5155302510252550銷 量152030351003分3再次檢驗(yàn) 2分4能夠?qū)懗稣_結(jié)論解為：x14=25 ； x22 =15 ； x24 =10 x31 =15， x32 =5 x33=30其余的xij=0。 1分最少運(yùn)費(fèi)為： 535 1分。六、靈敏度分析。共計(jì)8分（1）（4分）（2）（4分）七、建動態(tài)規(guī)劃模型。共計(jì)8分解：(1)設(shè)階段變量k表示年度，因此，階段總數(shù)n=3。(2)狀態(tài)變量sk表示第k年度初擁有的完好機(jī)床臺數(shù)， 同時(shí)也是第 k1 年度末時(shí)的完好機(jī)床數(shù)量。(3)決策變量uk，表示第k年度中分配于生產(chǎn)產(chǎn)品 p1 的機(jī)器臺數(shù)。于是sk uk便為該年度中分配于生產(chǎn)產(chǎn)品 p1的

17、機(jī)器臺數(shù)（4） 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為（5）允許決策集合,在第 k 段為（6）目標(biāo)函數(shù)。設(shè)gk(sk,uk)為第k年度的產(chǎn)量，則gk(sk,uk) = 45uk + 35(skuk) , 因此，目標(biāo)函數(shù)為（7）條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)遞推方程。令fk(sk)表示由第k年的狀態(tài)sk出發(fā)，采取最優(yōu)分配方案到第3年度結(jié)束這段時(shí)間的產(chǎn)品產(chǎn)量，根據(jù)最優(yōu)化原理有以下遞推關(guān)系：（8）.邊界條件為八、解決對策問題。共10分（1）益損矩陣如下表所示：3分銷 售訂 購S1500S21000S31500S42000A1 500A2 1000A3 1500A4 200015000150030001500300015000150030

18、00450030001500300045006000（2）悲觀法：A1 ，訂購500公斤。2分（3）后悔矩陣如下表所示：3分S1S2S3S4最大后悔值A(chǔ)101500300045004500A215000150030003000A330001500015003000A445003000150004500按后悔值法商店應(yīng)取決策為A2或A3 ，即訂購1000公斤或1500公斤。2分68123457563793427830871114182626141811980九、求網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖的各時(shí)間參數(shù)。（8分）工序代號工序時(shí)間最早開工時(shí)間最早完工時(shí)間最晚開工時(shí)間最晚完工時(shí)間機(jī)動時(shí)間1-28080801-3707

19、2921-460651162-4381181102-5581391413-427991123-63710151884-531114111404-671118111804-7411152226115-791423172636-78182618260關(guān)鍵問題是：；2；6；6關(guān)鍵線路是：12467評分標(biāo)準(zhǔn)：能正確給各頂點(diǎn)標(biāo)號并填表.4分正確寫出關(guān)鍵問題. 2分正確畫出關(guān)鍵線路. 分十、用標(biāo)號法求v1 到 v6 的最短路。（6分）4V4V5V3V1V2V6628737152(0,0)(4,v1)(6,v2)（8,v1）(9,v3)(10,v2) (10,v4)(11,v2)(13,v3)(12,v5)

20、(14,v4) 最短路為：v1,v2,v3,v4,v5,v6長度為：12正確標(biāo)號：4分；正確寫出結(jié)論：2分運(yùn)籌學(xué)樣卷(二)答案二、 判斷題。（共計(jì)10分，每小題1分）10XXXXXXX二、建線性規(guī)劃模型。（8分）（酌情給分）解：設(shè)為第個(gè)季度生產(chǎn)的產(chǎn)品的數(shù)量；為第個(gè)季度末需庫存的產(chǎn)品的數(shù)量；為第個(gè)季度不能交貨的產(chǎn)品的數(shù)量；為第個(gè)季度對產(chǎn)品的預(yù)定數(shù)量，則有：三、求解線性規(guī)劃。（16分）解：引入松弛變量x3, x4, x5，標(biāo)準(zhǔn)化得，Max Z = 1500X1 + 2500X2s.t. 3 x1 + 2x2 + x3 = 652x1 + x2 + x4 = 403 x2 + x5 =75x1, x

21、2 0 3分建初始單純形表，進(jìn)行迭代運(yùn)算：9分CBXb1x2x3x4x50x3653210032.50x44021010400x575030012.5*s1015002500*0000x3153010-2/35*0x4152001-1/37.52500x225010 01/3-s2625001500*000-2500/31500x15101/30-2/90x4500-2/311/92500x22501001/3s37000000-5000-500由最優(yōu)單純形表可知原線性規(guī)劃的最優(yōu)解為： ( 5, 25 , 0, 5 , 0 )T 2分最優(yōu)值為： z*=70000。2分

22、四、解：原問題的對偶規(guī)劃問題為：（共8分）Max f=7y1+5y2+3y3五、求解運(yùn)輸問題。（18分）解：（1）最小元素法：設(shè)xij為由Ai運(yùn)往Bj的運(yùn)量（i=1,2,3; j=1,2,3,4）,列表如下： 銷 地產(chǎn) 地產(chǎn) 量123364133749銷 量3656203分所以，基本的初始可行解為：x13=4 ； x14 =3 ；x21 =3 x23 =21x32 =6 x34=3其余的xij=0。 3分（2）求最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案：1會求檢驗(yàn)數(shù)，檢驗(yàn)解的最優(yōu)性：3分2會求調(diào)整量進(jìn)行調(diào)整： 2分銷 地產(chǎn) 地產(chǎn) 量123365213749銷 量3656203分3再次檢驗(yàn) 2分4能夠?qū)懗稣_結(jié)論解為：x13=5 ； x14 =2 ； x21 =3 x24 =1， x32 =6 x34=3其余的xij=0。 1分最少運(yùn)費(fèi) 1分六、靈敏度分析。（8分）（1）（4分）（2）（4分）七、建動態(tài)規(guī)劃模型。（8分）1分階段：設(shè)階段變量 k 表示依次對第 k 個(gè)項(xiàng)目投資，因此，階段總數(shù) n = 3。( k = 1 , 2 , 3 )2. 狀態(tài)變量：用 sk 表示已經(jīng)對第 1 至第 k-1 個(gè)項(xiàng)目投資后的剩余資金；即第 k 段初擁有的可以分配給第 k 到第3個(gè)項(xiàng)目的資金額 （單位：萬元） 。3. 決策變量：用 xk 表示對第 k 個(gè)項(xiàng)目投資 的資金數(shù)量（單位：