金融工程二叉樹定價方法

1、安徽工程大學AnHui polytechnic university 金融工程實驗報告實驗題目 二叉樹定價方法 專業(yè)班級： 數(shù)學與應用數(shù)學（132班） 姓名： 丁子凡 學號： 3130801201 二叉樹定價方法實驗報告1. 1 實驗概述   本實驗首先介紹了二叉樹方法的來源和主要理論基礎，然后給出期權的二叉樹定價方法的基本過程和MATLAB7. 0實現(xiàn)的過程。1. 2 實驗目的  (1)了解二叉樹的定價機理; (2)掌握用MATLAB7. 0生成股票價格的二叉樹格子方法;&

2、#160;(3)掌握歐式期權和美式期權的二叉樹定價方法。1. 3 實驗工具  MATLAB 7. 0。1. 4 理論要點  構造二叉樹圖(Binomial Tree)是期權定價方法中最為常見的一種。這個樹圖表示了在期權有效期內(nèi)股票價格可能遵循的路徑。二叉樹定價方法與風險中性定價理論是緊密聯(lián)系的。Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了構造離散的風險中性概率可以給期權定價，在此基礎上他們給出了二叉樹定價方法。（1

3、）一個簡單的例子       假設當前(3月份)股票的價格So =50元，月利率是25%。 4月份股票價格有兩種可能:S高=100元，S低=25元。有一份看漲期權合約，合約約定在4月份可以以50元價格買進一股股票?，F(xiàn)在考慮一個投資組合，進行幾項操作:以價格C賣出3份看漲期權合約;以50元購入2股股票;以25%的月利率借人40元現(xiàn)金，借期為一個月。 根據(jù)上述組合，我們可以得到以下到期收益分布表，如表1. 1所示。表1.1 投資組合的到期收益分布表  三月份 

4、                 四月份 S低=25元          S高=100元  賣出3份看漲期權合約    3C           0    &#

5、160;            -150 買人兩股股票              -100          50            &

6、#160;    200 借人現(xiàn)金                    40           -50               &#

7、160;-50 總計                           0               0       

8、0;          0 由一價定律3C-100+40=0，可得C= 20元，即為期權的價格。這個例子說明，可以用一個相當簡單的方法為期權定價，唯一需要做的是假設對投資者而言不存在套利機會。我們可以通過某種方式構造一個股票和期權的組合，使得在4月份該組合的價值是確定的。于是我們可以說該組合無風險，它的收益率一定等于無風險收益率。二叉樹方法正是基于上述思想構造了二項分布下的風險中性概率。（2）二叉樹模型  考慮一個不支付紅利的股票期權價格估值。我們把期權的有效期分為

9、很多很小的時間間隔 t。假設在每一個時間段內(nèi)股票價格從開始的價格S以概率p上升到Su,以概率1-p下降到Sd，其中，u>1,O<d<l。也就是說在任何一個時期，股票都有兩個可能的價值，如圖1. 1所示。                 Su4圖1. 1股票價值變化的可能性         &

10、#160;        圖1. 2 二叉樹模型例如，我們假定將期權的有效期分成4個時期，在任何一個時期，股票都有兩種可能的價值，即每個時間段都假定是一個兩狀態(tài)過程。當N=4時，我們有以下結點圖1. 2。在風險中性概率Q下，P= 且有，其中fu和fd是在t期后的期權可能的價格分布，分別為期權價格高點和低點。令u=1/d，根據(jù)股票回報率的方差s，我們有 和Ds若每個股票價格路徑的樣本點個數(shù)為N+1，那么歐式看漲期權的到期收益的樣本路徑為： ，j=0,1.N向后遞歸可得：相應歐式看跌期權的到期收益表

11、示: ，j=0,1.N美式看漲期權的到期收益與歐式看漲期權是一致的，因此我們下面僅考慮美式看跌期權的格子(Lattice):  ，j=0,1.N向后遞歸可得: 其中 i=N-1，N-2，0；j=0,1,i1. 5 實驗過程   我們首先給出歐式期權的二叉樹定價的MATLAB代碼，然后給出美式期權的二叉樹定價的代碼。1. 5. 1 歐式看漲期權（1）歐式看漲期權的二叉樹定價 下面的函數(shù)LatticeEurCall( )給出了利用二叉樹的方法給歐式看漲期權定價：%歐式看漲期權的二叉樹定價價:

12、0;%LatticeEurCall.m function price, lattice=LattceEurCall(SO,E,r,T,sigma, N) %S0:股票現(xiàn)價,E：執(zhí)行價格,r：利率,T:期權的有效期限,sigma：波動率，N：結點數(shù) deltaT=T/N；   %日期步長 u=exp(sigma*sqrt(deltaT); d=1/u; p=(exp(r*deltaT)/(u-d);    %鳳險中性概率 lat

13、tice=zeros(N+ 1, N+1) for j=0,N   lattice(N+1,j+1)=max(0,S0*(uj)*(d(N-j)-E); end for i=N-1:-1:0   for j=0:i      lattice(i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)*(p* lattice(i+2,j+2)+(1-p)* lattice(i+2,j+1);

14、   end end price= lattice(1,1);假設存在有效期為1年的歐式看漲期權，股票初始價格為50，利率為0. 03，波動率為0. 2，執(zhí)行價格為40，且令結點數(shù)N為10，在命令窗口中輸人: price, lattice=LatticeEurCall(50,40，0. 03，1，0. 2，10) 就可以得到一個以下三角矩陣表示二叉樹的格子以及歐式看漲期權的價格11. 614 5，如圖1. 3所示。 圖1.3 三角矩陣表

15、示的二叉樹格子 （2）歐式看漲期權的二叉樹的收斂性質 Gox, Ross & Rubinstein (1979)證明了二叉樹收斂于Black-Scholes期權定價公式。 取當前時刻為t一t，在給定參數(shù)p, u和d的條件下將二叉樹公式:  在(S, t)處進行泰勒展開，可以得到: 當t0時，二叉樹模型收斂于Black-Scholes偏微分方程。下面給出一個二叉樹收斂的直觀結果，給出代碼CompLatticeBls. m。%二叉樹期權定價的收斂性質 %Comp

16、LatticeBls. m S0=50; E=50;     %執(zhí)行價格 r=0.1;     %年利率 sigma=0.4; %波動率 T=5/12；  %有效期限為5個月 N=50； BlasC=blsprice(S0,E,r,T,sigma); LatticeC=zeros)1,N); for i=1:N   Lattic

17、eC(i)=LatticeEurCall(S0,E,r,T,sigma,i); end plot(1:N,ones(1,N)*BlsC); hold on; plot(1:N,LatticeC); xlabel('N') ylabel('二叉樹價格'） 運行CompLatticeBls.m，可以得到圖1. 4；圖1.4 二叉樹的收斂性質從圖1. 4可以看出，隨著區(qū)間長度的縮小，二叉樹定價收斂于B一S公式確定的價格。1. 5. 2 歐式

18、看跌期權   與歐式看漲期權類似，我們只需將歐式看漲期權的代碼稍做改動即可。%歐式看跌期權的二叉樹定價 %LatticeEurPut.m functionprice,lattice=LatticeEurPut(S0,E,r,T,sigma,N) %S0：股票現(xiàn)價，E：執(zhí)行價格，r：年率，T：期權的有效期限，sigma：波動率，N：結點數(shù) deltaT=T/N；  %日期步長 u=exp(sigma*sqrt(deltaT); d=1/u; p=(exp(r*deltaT)-d

19、)/(u-d); Lattice=zeros(N+1,N+1）； for j= 0:N    lattice(N+1,j+1)=max(0,E-S0*(uj)*(d(N-j); end for i=N-1:-1:0   for j =0:i        lattice (i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)*   &

20、#160;       (p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1);   endend price=lattice(1,1);1. 5. 3 美式看跌期權的二叉樹定價   根據(jù)美式看跌期權的遞歸公式: 其中i= N-1,N-2,0； j=0，1，i 可以編寫一下代碼：%美式看跌期權的二叉樹定價 %LatticeAmPut.m Functionpr

21、ice,lattice=LatticeAmPut(S0,E,r,T,sigma,N0 %S0股票現(xiàn)價，E：執(zhí)行價格，r：利率期權的有效期限，sigma：波動率，N：結點數(shù) deltaT=T/N;  %日期步長 u=exp(sigma*sqrt(deltaT); d=1/u; p=(exp(r*deltaT)-d)/(u-d); lattice=zeros(N+1,N+1); for j= 0;N;     Lattice(N+1,j+1)=

22、60;max(0,E-S0*uj)*(d(N-j); end for i=N-1:-1:0   for j =0:i         lattice (i+1,j+1)=max(E-S0*uj*d(i-j),exp(-r*deltaT)*           (p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,