2013高中數(shù)學(xué)精講精練新人教版第07章立體幾何初步

1、4復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉。立體幾何中蘊(yùn)含著豐富的思想方法，如：將空間問題轉(zhuǎn)化成平面圖形來解決、線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化、空間位置關(guān)系的及角與距離的求解轉(zhuǎn)化成空間向量的運(yùn)算。第 1 課 空間幾何體【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1. 觀察認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；2. 能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖；3通過觀察用兩種方法（同表示形式；投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不4.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)

2、算公式?！净A(chǔ)練習(xí)】1一個(gè)凸多面體有 8 個(gè)頂點(diǎn)，如果它是棱錐，那么它有 14條棱， 8個(gè)面； 如果它是棱柱，那么它有 12條棱 6個(gè)面。2.（1）如圖，在正四面體 ABCD 中，E、F、G 分別是三角形 ADC、ABD、BCD 的中心，則EFG 在該正四面體各個(gè)面上的射影所有可能的序號(hào)是 。AF ·· EBCG ·D（2）如圖，E、F 分別為正方體的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心，則四邊形 BFD1E 在該正方體的面上的射影可能是圖的 （要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）.【范例導(dǎo)析】例 1下列命題中，假命題是 （1）（3）。（選出所有可能的）（1）有兩

3、個(gè)面互相，其余各個(gè)面都是四邊形的多面體是棱柱（2）四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形（3）有兩個(gè)面互相，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)（4）若一個(gè)幾何體的三視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體是長方體分析：準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解決概念題的關(guān)鍵。（1）中將兩個(gè)斜棱柱對接在一起就是反例。（3）中是不是棱臺(tái)還要看側(cè)棱的延長線是否交于一點(diǎn)。例 2 DA¢B¢C¢是正ABC 的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若DA¢B¢C¢的面積為3 ，那么ABC 的面積為。： 2 6 。點(diǎn)評(píng)：該題屬于斜二測畫法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立實(shí)

4、物圖元素與直觀圖元應(yīng)關(guān)系。特別底和高的對應(yīng)關(guān)系。例 3（1）畫出下列幾何體的三視圖間的對（2）某物體的三視圖如下，試該幾何體的形狀分析：三視圖是從三個(gè)不同的方向看同一物體得到的三個(gè)視圖。：（1）這兩個(gè)幾何體的三視圖分別如下：（2）該幾何體為一個(gè)正四棱錐。點(diǎn)評(píng)：畫三視圖之前，應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，選擇一個(gè)合適的主視方向。一般先畫主視圖，其次畫俯視圖，最后畫左視圖。畫的時(shí)候把輪廓線要畫出來，被遮住的輪廓線要畫線。物體上每一組成部分的三視圖都應(yīng)符合三條投射規(guī)律。主視圖反映物體的主要形狀特征， 主要體現(xiàn)物體的長和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長要相等。左視圖和 俯視圖共同反映物體

5、的寬要相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀?！痉答佈菥殹?+ 2p2p1一個(gè)圓柱的側(cè)面積展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是。2如圖，一個(gè)底面半徑為 R 的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為 r 的實(shí)心鐵球，R2 3水面高度恰好升高 r，則=r。3：水面高度升高 r，則圓柱體積增加R2·r。恰好是半徑為 r 的實(shí)心鐵球的體積，因此4R2 32 3有 r =R r。故=32。為。3r33點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問題的能力。3在ABC 中，AB=2，BC=1.5，ABC=120°（），若將ABC 繞直線 BC 旋轉(zhuǎn)3一周，則

6、所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是 p 。24空間四邊形 ABCD 中， AC = 8 ，BD = 12 ，E 、F 、G 、H 分別是 AB 、BC 、CD 、DA邊上的點(diǎn)，且 EFGH 為_ (16 , 24 ) _。四邊形，則四邊形 EFGH 的周長的取值范圍是5三棱錐 P - ABC 中， PC = x ，其余棱長均為 1。（1） 求證： PC AB ；（2） 求三棱錐 P - ABC 的體積的最大值。解：（1）取 AB 中點(diǎn) M ， DPAB 與DCAB 均為正三角形， AB PM , AB CM ， AB 平面 PCM 。 AB PCPCA(2)當(dāng) PM 平面 ABC 時(shí)，三棱錐的PM ，MB

7、此時(shí)V= 1 S× PM= 1 × 3 × 3 = 1DABCmax334286已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，它被過底面中心 O1 且于母線 AB 的平面所截，若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）為 p 的拋物線.（1） 求圓錐的母線與底面所成的角；（2） 求圓錐的全面積解: （1）設(shè)圓錐的底面半徑為 R，母線長為 l， 由題意得：pl = 2pR ,R = 1 ,即cos ACO =1l2所以母線和底面所成的角為600.(2)設(shè)截面與圓錐側(cè)面的交線為 MON，OO = 1 AB.其中 O 為截面與 AC 的交點(diǎn)，則 OO/AB 且112在截面 M

8、ON 內(nèi)，以 OO1 所在有向直線為 y 軸，O 為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系， 則 O 為拋物線的頂點(diǎn)，所以拋物線方程為 x2=2py，點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（R，R），代入方程得：R2=2p（R），得：R=2p，l=2R=4p.圓錐的全面積為pRl + pR2= 8pp2 + 4pp2= 12pp2 .說明：將立體幾何與幾何相, 頗具新意, 預(yù)示了高考命題的新.第 2 課平面的性質(zhì)與直線的位置關(guān)系【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1掌握平面的基本性質(zhì)，能夠畫出空間兩條直線的各種位置關(guān)系，能夠根據(jù)圖形想象它們之間的位置關(guān)系。2掌握兩條直線之間的與垂直的有關(guān)問題，并能進(jìn)行解決和證明相關(guān)問題。3理解反證法證明的思路，會(huì)用反證法進(jìn)行相

9、關(guān)問題的證明?！净A(chǔ)練習(xí)】1 下面是一些命題的敘述語,其中命題和敘述方法都正確的是 （3）。（1） A Îa , B Îa ， AB Îa （2） a Î a , a Î b ，a I b = a （3） A Î a, a Ì a ， AÎa （4） A Ï a, a Ì a ， A Ïa 2下列推斷中，錯(cuò)誤的是 （4） 。（1） A Î l, A Îa , B Î l, B Îa Þ l Ì a（2） A, B, C 

10、06;a , A, B, C Î b ，A,B,C 不共線Þ a , b 重合（3） A Îa , A Î b , B Îa , B Î b Þ a I b = AB（4） l Ë a , A Î l Þ A Ïa3下列命題的真假，真的打“”，打“×”（1）空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 （）（2）兩個(gè)平面若有不同的三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合（）（3）兩條直線可以確定一個(gè)平面（）（4）若四點(diǎn)不共面，那么每三個(gè)點(diǎn)一定不共線（）A1D1E D（5）兩條相交直線可以確定一個(gè)平面（）B1（

11、6）三條直線可以確定三個(gè)平面（7） 一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面（8） 兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面（××××××）BC4如右圖，點(diǎn) E 是正方體 ABCD - A1B1C1D1 的棱 DD1 的中點(diǎn)，則過點(diǎn) E 與直線 AB 和 B1C1AC1都相交的直線的條數(shù)是： 1條5完成下列證明，已知直線 a、b、c 不共面，它們相交于點(diǎn) P，AÎa，DÎa，BÎb，EÎc求證：BD 和AE 是異面直線證明：假設(shè)共面于g，則點(diǎn) A、E、B、D 都在平面_內(nèi)QAÎa，DÎa， &

12、#204;.QPÎa，PÎ .QPÎb，BÎb，PÎc，EÎc _ _Ìg，_Ìg，這與 BD、AE ：假設(shè) BD、AE 共面于g，則點(diǎn) A、E、B、D 都在平面 g 內(nèi)。AÎa，DÎa， a Ìg.PÎb，BÎb，PÎc，EÎc.BD、AE 是異面直線PÎa，PÎ g . b Ìg，c Ìg，這與 a、b、c 不共面【范例導(dǎo)析】例 1已知ABCD ，從平面 AC 外一點(diǎn)O 引向量OE = kOA,OF =

13、 KOB,OG = kOC,OH = kOD ，ODCAB（1）求證：四點(diǎn) E, F , G, H 共面；（2）平面 AC / 平面 EG HG分析 ：證明四點(diǎn)共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理證明，也可以轉(zhuǎn)化為直線共面的條件即幾何證法。EF解：法一：（1）四邊形 ABCD 是四邊形， AC = AB + AD ， EG = OG - OE ，= k × OC - k × OA = k(OC - OA) = k AC = k (AB + AD)= k(OB - OA + OD - OA) = OF - OE + OH - OE= EF + EH E, F , G, H

14、 共面；（2） EF = OF - OE = k(OB - OA) = k × AB ，又 EG = k × AC ， EF / AB, EG / AC所以，平面 AC / 平面 EG EF = OF - OE OE = kOA,OF = KOB,法二：（1） EF = k(OB - OA) = k AB EF / AB同理 HG / DC又 AB / DC EF / HG E, F , G, H 共面；（2）由（1）知： EF / AB ，從而可證 EF / 面ABCD同理可證 FG / 面ABCD ，所以，平面 AC / 平面 EG 點(diǎn)評(píng)：熟練掌握定理是證明的關(guān)鍵，要學(xué)

15、會(huì)靈活運(yùn)用。例 2已知空間四邊形 ABCD.(1) 求證：對角線 AC 與 BD 是異面直線;(2) 若 ACBD,E,F,G,H 分別這四條邊 AB,BC,CD,DA 的中點(diǎn),試(3)若 ABBCCDDA,作出異面直線 AC 與BD 的公垂線段. 分析：證明兩條直線異面通常采用反證法。四邊形 EFGH 的形狀;證明：(1)（反證法）假設(shè) AC 與 BD 不是異面直線，則 AC 與BD 共面， 所以 A、B、C、D 四點(diǎn)共面這與空間四邊形 ABCD 的定義所以對角線 AC 與BD 是異面直線1(2)解：E,F 分別為 AB,BC 的中點(diǎn),EF/AC,且 EF= AC.21同理 HG/AC,且

16、HG= AC.EF2且相等 HG,EFGH 是四邊形.又F,G 分別為 BC,CD 的中點(diǎn),FG/BD,EFG 是異面直線 AC 與BD 所成的角.ACBD,EFG=90o.EFGH 是矩形.(3)作法取 BD 中點(diǎn) E,AC 中點(diǎn) F,連 EF,則 EF 即為所求.點(diǎn)評(píng)：在空間四邊形中我們通常會(huì)遇到上述類似的問題，取中點(diǎn)往往是很有效的方法，特別是遇到等腰三角形的時(shí)候。例 3如圖，已知 E，F(xiàn) 分別是正方體 ABCD - A1B1C1D1 的棱 AA1 和棱CC1 上的點(diǎn)，且D1AE = C F ，求證：四邊形 EBFD 是C1F四邊形11AB1簡證：由 AE = C F 可以證得DABE D

17、C D F111 1D所以 BE = D1F又可以由正方體的性質(zhì)證明 BE / D1FCEAB所以四邊形 EBFD1 是四邊形例 4：如圖，已知平面a , b ，且a（）求證： AB 平面 PCD ；b = AB, PC a , PD b , C, D 是垂足（）若 PC = PD = 1,CD =2 ，試平面a 與平面 b 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：（）因?yàn)?PC a , AB Ì a ，所以 PC AB 同理 PD AB 又 PCPD = P ，故 AB 平面 PCD （）平面a 平面 b 。證明如下：設(shè) AB 與平面 PCD 的交點(diǎn)為 H ，aPBCbDA連結(jié)CH 、 DH

18、 因?yàn)?AB 平面 PCD ，所以 AB CH , AB DH ， 所以ÐCHD 是二面角C - AB - D 的平面角又 PC = PD = 1,CD =2 ，所以CD2 = PC 2 + PD2 = 2 ，即ÐCPD = 900 在平面四邊形 PCHD 中， ÐPCH = ÐPDH = ÐCPD = 900 ，所以ÐCHD = 900 故平面a 平面 b 【反饋演練】1題（對的打“”，錯(cuò)的打“×”）（1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條 （）（2） 兩線段 AB、CD 不在同一平面內(nèi)，如果 AC=BD，AD=BC，則

19、 ABCD（3） 在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對異面的對角線所成的角為 60º （4） 四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直 （）：（1）× （2）×（3）（4）×2. 定點(diǎn) P 不在ABC 所在平面內(nèi)，過 P 作平面，使ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離相等， 這樣的平面共有 4 個(gè)。3. 給出以下四個(gè)命題：（1）若空間四點(diǎn)不共面，則其中無三點(diǎn)共線；（2）若直線上有一點(diǎn)在平面外，則該直線在平面外；（3）若直線 a,b,c 中，a 與 b 共面且 b 與 c 共面，則 a 與 c共面；（4）兩兩相交的三條直線共面。其中所有正確命題的序號(hào)是 (1)(

20、2)。4如圖，已知ab = l, A Î l, B Î l, （A,B 不重合）lA過 A 在平面內(nèi)作直線 AC，過 B 在平面內(nèi)作直線 BD。求證：AC 和BD 是異面直線。證明：（反證法）若 AC 和BD 不是異面直線，D設(shè)確定平面，則由題意可知：平面和都過 AC 和 AC 外一點(diǎn) B，所以兩平面重合。同理可證平面和也重合，所以平面和也重合。這與已知條件平面和相交所以 AC 和 BD 是異面直線。第 3 課空間中的關(guān)系【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1掌握直線和平面、兩個(gè)平面的判定定理和性質(zhì)定理。2明確定義與定理的不同，定義是可逆的，既是判定也是性質(zhì)，而判定定理與性質(zhì)定理多是不可逆的。3要

21、能靈活的對“線線【基礎(chǔ)練習(xí)】”、“線面”和“面面”進(jìn)行轉(zhuǎn)化。1若a、b 為異面直線，直線 ca，則 c 與 b 的位置關(guān)系是異面或相交。CB2給出下列四個(gè)命題:垂直于同一直線的兩條直線互相. 垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相.若直線l1, l2 與同一平面所成的角相等,則l1, l2 互相.若直線l1, l2 是異面直線,則與l1, l2 都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)。3對于任意的直線 l 與平面 a,在平面 a 內(nèi)必有直線 m,使 m 與 l垂直。4. 已知 a、b、c 是三條不重合的直線，、r 是三個(gè)不重合的平面，下面六個(gè)命題：ac，bc Þ ab；ar，br

22、Þ ab；c，c Þ；r，r Þ；ac，c Þ a；ar，r Þ a其中正確題是?！痉独龑?dǎo)析】例 1如圖，在四面體 ABCD 中，截面 EFGH 是求證：AB平面 EFG證明 ：面 EFGH 是截面點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H 分別在 BC，BD，DA，AC 上四邊形EH面 ABC，GF面 ABD，由已知，EHGFEH面 ABD又EH面 BAC，面 ABC面 ABD=ABEHABAB面 EFG例 2如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，點(diǎn) N 在 BD 上，點(diǎn)M 在 B1C 上，并且 CM=DN.求證:MN平面 AA1B1B.分析：“線線轉(zhuǎn)化方式

23、?！?、“線面”、“面面”是可以互相轉(zhuǎn)化的。本題可以采用任何一種簡證：法 1：把證“線面”轉(zhuǎn)化為證“線線”。即在平面 ABB1A1 內(nèi)找一條直線與 MN，作線即可。”。連 CN 并延長交直線 BA 于點(diǎn) P，法 2：把證“線面”轉(zhuǎn)化為證“線線D1連 B1P，就是所找直線，然后再設(shè)法證明 MNB1P.C1法 3：把證“線面”轉(zhuǎn)化為證“面面”。A1過 M 作 MQ/BB1 交BC 于 B1，連 NQ,則平面 MNQ 與平面 ABB1A1，CABEB1MDNF從而證得 MN平面 ABB1A1.點(diǎn)評(píng)：證明線面或面面的時(shí)候一定要注意相互的轉(zhuǎn)化，非常靈活。【反饋演練】1對于平面a 和共面的直線m 、 n,

24、下列命題中真命題是（3）。（1）若m a , m n, 則 na（2）若ma,na,則 mn（3）若m Ì a , na ,則 mn（4）若m 、 n 與a 所成的角相等，則 mn2. 設(shè) a、b 是兩條異面直線，那么下列四個(gè)命題中的假命題是（2）。（1）經(jīng)過直線 a 有且只有一個(gè)平面于直線 b（2）經(jīng)過直線 a 有且只有一個(gè)平面垂直于直線 b（3）存在分別經(jīng)過直線 a 和b 的兩個(gè)互相的平面（4）存在分別經(jīng)過直線 a 和b 的兩個(gè)互相垂直的平面3關(guān)于直線 a、b、l 及平面 M、N，下列命題中正確的是（4）。（1）若 aM，bM，則 ab（3）若 a M，b M，且 la，lb，則

25、 lM（2）若 aM，ba，則 bM（4）若 aM，aN，則 MN4“任意的a Ì a ，均有 a / b ”是“任意b Ì b ，均有b / a ”的 充要條件。5.在正方體 AC1 中，過A1C 且于 AB 的截面是面 A1B1CD.6在長方體 ABCDA1B1C1D1 中，經(jīng)過其對角線 BD1 的平面分別與棱 AA1,CC1 相交于 E,F 兩點(diǎn)，則四邊形 EBFD!的形狀為四邊形。7. 已知為四邊形所在平面外一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：平面證明 連交于，連， 則為的中位線， Ë 平面，平面，平面8如圖，已知 P 是四邊形 ABCD 所在平面外一點(diǎn)， M 、 N

26、分別是 AB 、PC 的中點(diǎn)（1）求證：MN / 平面 PAD ；（2）若 MN = BC = 4 ，PA = 4所成的角的大小略證：（1）取 PD 的中點(diǎn)H，連接 AH，Þ NH / DC, NH = 1 DC23 ， 求異面直線 PA 與 MNPÞ NH / AM , NH = AM Þ AMNH 為四邊形CABÞ MN / AH , MN Ë PAD , AH Ì PAD Þ MN / PADM(2): 連接 AC 并取其中點(diǎn)為 O，連接 OM、ON，則 OM且等于 BC 的一半，ON且等于 PA 的一半，所以

27、8;ONM 就是異面直線 PA 與 MN 所成的角，由 MN = BC = 4 ，PA = 4 3 得，OM=2，ON= 2 3所以Ð=O3N00M，即異面直線 PA 與 MN 成300 的角9兩個(gè)全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，MAC，NFB，且 AM=FN，求證： MN平面 BCE。證法一：作 MPBC，NQBE，P、Q 為垂足，則 MPAB，NQAB。MPNQ，又 AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45°RtMCPRtNBQMP=NQ，故四邊形 MPQN 為MNPQCDPA四邊形BNQFEPQ Ì 平面 BCE，

28、MN 在平面 BCE 外，MN平面 BCE。證法二：如圖過 M 作 MHAB 于 H，則 MHBC， AMAH=ACAB連結(jié) NH，由 BF=AC，F(xiàn)N=AM，得 FN =DCAHBFAB NH/AF/BE由 MH/BC, NH/BE 得:平面 MNH/平面 BCEABNMN平面 BCE 。FE第 4 課空間中的垂直關(guān)系【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1. 掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能用它們證明和解決有關(guān)問題。2. 線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)互相轉(zhuǎn)化，善于利用轉(zhuǎn)化思想。【基礎(chǔ)練習(xí)】1. “直線l 垂直于平面a 內(nèi)的無數(shù)條直線”是“ la ”的必要條

29、件。2. 如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是或相交。3. 在正方體中，與正方體的一條對角線垂直的面對角線的條數(shù)是6。4兩個(gè)平面互相垂直，一條直線和其中一個(gè)平面系是、相交或在另一個(gè)平面內(nèi)。，則這條直線和另一個(gè)平面的位置關(guān)5在正方體 ABCD - A1B1C1D1 中，寫出過頂點(diǎn) A 的一個(gè)平面 AB1D1，使該平面與正方體的 12 條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)平面即可，不必考慮所有可能的情況)?！痉独龑?dǎo)析】例 1如圖,在四棱錐 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,側(cè)棱 PD底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC的中點(diǎn),作 EFPB 交 P

30、B 于點(diǎn) F.（1）證明 PA/平面 EDB；（2）證明 PB平面 EFD.：本小題考查直線與平面能力.,直線與平面垂直基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理論證證明：（1）連結(jié) AC,AC 交 BD 于 O,連結(jié) EO.底面 ABCD 是正方形,點(diǎn) O 是 AC 的中點(diǎn)在DPAC 中,EO 是中位線,PA / EO而 EO Ì 平面 EDB 且 PA Ë 平面 EDB,所以,PA / 平面 EDB（2）PD底面 ABCD 且 DC Ì 底面 ABCD, PD DCPD=DC,可知DPDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜邊 PC 的中線,PEFDC DE PC .同樣

31、由 PD底面 ABCD,得 PDBC.底面 ABCD 是正方形,有 DCBC,BC平面 PDC.而 DE Ì 平面 PDC, BC DE .AB由和推得 DE 平面 PBC.而 PB Ì 平面 PBC, DE PB又 EF PB 且 DE I EF = E ,所以 PB平面 EFD.例 2如圖，ABC 為正三角形，EC 平面 ABC ，BD CE ，CE CA2 BD ，M 是 EA 的中點(diǎn)，求證：（1）DE DA ；（2）平面 BDM 平面 ECA ；（3）平面 DEA 平面 ECA。分析：（1）證明 DE DA ，可以通過圖形分割，證明DEF DBA。（2）證明面面垂直

32、的關(guān)鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由（1）知 DM EA ，取 AC中點(diǎn) N ，連結(jié) MN 、NB ，易得四邊形 MNBD 是矩形。從而證明 DM 平面 ECA。證明：（1）如圖，取 EC 中點(diǎn) F ，連結(jié) DF。EC平面 ABC ，BD CE ，得 DB 平面 ABC 。DBAB ，EC BC。1BDCE ，BD CE FC ，2則四邊形 FCBD 是矩形，DF EC。又 BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以 DE DA。（2）取 AC 中點(diǎn) N ，連結(jié) MN 、NB ，12M 是 EA 的中點(diǎn)，MNEC。12由 BDEC ，且 BD 平面 ABC ，可得四邊形 MN

33、BD 是矩形，于是 DM MN。DA ，M 是 EA 的中點(diǎn)， DM EA 又 EA I MN M ，平面 ECA ，而 DM Ì 平面 BDM ，則平面 ECA 平面 BDM。DEDM（3）DM 平面 ECA ，DM Ì 平面 DEA ， 平面 DEA 平面 ECA。點(diǎn)評(píng)：面面垂直的問題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問題解決。例 3如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC BC 1， 2 ，DACB90°，AA1是 A1B1中點(diǎn)（1） 求證 C1D 平面 A1B ；（2）當(dāng)點(diǎn) F 在 BB1 上什么位置時(shí)，會(huì)使得 AB1 平面 C1DF？并證明你的結(jié)論。分析：

34、（1）由于 C1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B ，只要證明 C1D 垂直交線 A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得 C1D 平面 A1B。（2）由（1）得 C1D AB1，只要過 D作 AB1的垂線，它與 BB1 的交點(diǎn)即為所求的 F 點(diǎn)位置。證明：（1）如圖， ABCA1B1C1 是直三棱柱，A1C1 B1C1 1，且A1C1B190°。又 D是 A1B1的中點(diǎn)，C1D A1B1 .AA1 平面 A1B1C1 ，C1D Ì 平面 A1B1C1 ，AA1 C1D，C1D 平面 AA1B1B。（2）解：作 DE AB1 交 AB1 于 E ，延長 DE 交

35、BB1 于 F ，連結(jié) C1F ，則 AB1 平面 C1DF ，點(diǎn) F 即為所求。C1D 平面 AA1BB ，AB1 Ì 平面 AA1B1B，I C1DC1D AB1 又 AB1DF ，DFD ，AB1 平面 C1DF。點(diǎn)評(píng)：本題（1）的證明中，證得 C1D A1B1 后，由 ABCA1B1C1 是直三棱柱知平面 C1A1B1平面 AA1B1B ，立得 C1D 平面 AA1B1B。（2）是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分析問題?！痉答佈菥殹?. 下列命題中錯(cuò)誤的是 （3） 。（1） 若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這一平面內(nèi)所有直線（2） 若一平面經(jīng)過另一平面的垂線，則

36、兩個(gè)平面互相垂直（3） 若一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則此直線垂直于這一平面（4） 若平面內(nèi)的一條直線和這一平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直2設(shè) x, y, z 是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若x z ，且 y z,則x / y ”為真命題的是（填所有正確條件的代號(hào)）x 為直線，y，z 為平面x，y 為直線，z 為平面x，y，z 為直線x，y，z 為平面x，y 為平面，z 為直線3. 在三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形最多可以有 4 個(gè)。4. 若 AB 的中點(diǎn) M 到平面a 的距離為4 cm ，點(diǎn) A 到平面a 的距離為6 cm ，則點(diǎn) B 到平

37、面a的距離為_2 或 14cm 。5命題 A：底面為正三角形，且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。命題 A 的等價(jià)命題 B 可以是：底面為正三角形，且的三棱錐是正三棱錐。：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所相等）6. 、是兩個(gè)不同的平面，m、n 是平面及之外的兩條不同直線.給出四個(gè)論斷：mn n m以其中三個(gè)論斷作為條件， 余下一個(gè)論斷作為結(jié)論， 寫出你認(rèn)為正確的 一個(gè)命題：。：m，n， Þmn 或 mn，m，n Þ7. 在直角梯形 ABCD 中，A=D=90°，ABCD，SD平面 ABCD，AB=AD=a，S D= 2a ，在線段 SA 上取一點(diǎn) E（不含端點(diǎn)

38、）使 EC=AC，截面 CDE 與SB 交于點(diǎn) F。（1）求證：四邊形 EFCD 為直角梯形；CD（2）設(shè) SB 的中點(diǎn)為 M，當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r(shí)，能使DMC 為直角三角形？請給出證明.AB解：（1） CDAB，AB Ì 平面 SAB CD平面 SAB面 EFCD面 SAB=EF，CDEFÐD = 900 ,CD AD,S又SD 面 ABCD SD CD CD 平面 SAD， CD ED 又 EF < AB < CD EFCD 為直角梯形FMECD(2)當(dāng)= 2 時(shí)， DDMC 為直角三角形.ABCQ AB = a,CD = 2a, BD = AB 2 + AD 2

39、 = 2a, ÐBDC = 450 BC = 2a, BC BD , SD 平面 ABCD , SD BC, BC 平面SBD .在DSBD中， SD = DB, M 為 SB 中點(diǎn)， MD SB . MD 平面SBC, MC Ì 平面 SBC, MD MC DDMC 為直角三角形。DAB基本不等式不等式一元二次不等式二元一次不等式組【方法點(diǎn)撥】不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理及其變形在不等式的證明和解決有關(guān)不等式的實(shí)際問題中發(fā)揮著重要的作用.解不等式是研究方程和函數(shù)的重要工具，不等式的概念和

40、性質(zhì)涉及到求最大（?。┲?，比較大小，求參數(shù)的取值范圍等，不等式的解法包括解不等式和求參數(shù)，不等式的綜合題主要是不等式與集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、幾何、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的綜合，綜合性強(qiáng)，難度較大，是高考命題的熱點(diǎn)，也是高考復(fù)習(xí)的難點(diǎn).1.掌握用基本不等式求解最值問題，能用基本不等式證明簡單的不等式，利用基本不等式求最值時(shí)一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件。2.一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的和相互轉(zhuǎn)化。3.線性問題有著豐富的實(shí)際背景，且作為最優(yōu)化方法之一又與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)，對于這部分內(nèi)容應(yīng)能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，能解

41、決簡單的線性問題。同時(shí)注意結(jié)合的思想性中的運(yùn)用。第 1 課基本不等式【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1. 能用基本不等式證明其他的不等式，能用基本不等式求解簡單的最值問題。2. 能用基本不等式解決綜合形較強(qiáng)的問題?！净A(chǔ)練習(xí)】a2 + b21.“a>b>0”是“ab<”的充分而不必要條件(填寫充分而不必要條件、必要而不充分2條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件)2. a2 + b2 = 1,b2 + c2 = 2, c2 + a2 = 2,則ab + bc + ca 的最小值為 1 -321163.已知 x, y Î R+ ，且 x + 4 y = 1 ，則 x × y

42、的最大值為4.已知lg x + lg y = 1 ，則 5 + 2 的最小值是 2xy【范例導(dǎo)析】例 1.已知 x < 5 ，求函數(shù) y = 4x - 2 +1的最大值.4x - 54分析：由于4x - 5 < 0 ，所以首先要調(diào)整符號(hào).解： x < 5 5 - 4x > 04æö + 3 -2+3=114x - 51= - 5 - 4x +y=4x-2+ç5 - 4x ÷è1ø當(dāng)且僅當(dāng)5 - 4x = 1.，即 x=1 時(shí)，上式成立，故當(dāng) x=1 時(shí)， ymax5 - 4xab例 2.（1）已知 a，b 為正

43、常數(shù)，x、y 為正實(shí)數(shù)，且 += 1 ，求 x+y 的最小值。xy（2） 已知 x > 0，y > 0 ，且 x + 2 y + xy = 30 ，求 xy 的最大值分析：問題（1）可以采用常數(shù)代換的方法也可以進(jìn)行變量代換從而轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)再利用基本不等式求解；問題（2）既可以直接利用基本不等式將題目中的等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 xy 的不等式，也可以采用變量代換轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)再求解.abbxay解:(1) 法一： 直接利用基本不等式： x+ y = (x+ y)(+) = a+b+xyyxì ay = bxìïx = a+ abïxya+b+ 2 a

44、b 當(dāng)且僅當(dāng)í aíïî，即時(shí)等號(hào)成立abbïïî xy = b+= 1y法二：abay由 += 1 得 x= xyy - bay + y = a( y - b ) + ab + y x + y =y - by - b+ ( y - b ) + a + babab= a + y =y - by - bay>0 得 y-b>0 x+y 2 ab +a+b x>0，y>0，a>0 由y - bìab= y - bìï y = b+ abï y - b當(dāng)且僅當(dāng)&

45、#237; aíïî，即時(shí)，等號(hào)成立abbïïî xx = a+= 1y（2）法一：由 x + 2 y + xy = 30 ，可得， y = 30 - x (0 < x < 30) 2 + xx)22 ( 34x)2-(+6+4+-=éù64=34 - êë(x + 2) + x + 2 úû2 + x2 + x64+ 2注意到 x)2+(= 16 可得， xy £ 18 64當(dāng)且僅當(dāng) x + 2 =最大值為 18，即 x = 6 時(shí)等號(hào)成立，代入 x

46、+ 2 y + xy = 30 中得 y = 3 ，故 xy 的x + 2法二：Q x, y Î R+ ， x + 2 y ³ 2 2xy = 2 2 ×xy ，代入 x + 2 y + xy = 30 中得： 22 ×xy + xy £ 30解此不等式得0 £ xy £ 18 下面解法見解法一，下略點(diǎn)撥：求條件最值的問題，基本思想是借助條件化二元函數(shù)為一元函數(shù)，代入法是最基本的方法，也可考慮通過變形直接利用基本不等式解決.【反饋練習(xí)】1. 設(shè) a1,且 m = loga (a +1), n = log (a -1), p

47、= log (2a) ,則 m, n, p 的大小關(guān)系為 mp2aan 2. 已知下列四個(gè)結(jié)論：若 a, b Î R, 則 b + a ³ 2ab若 x Î R- , 則 x +其中正確的是b × a a b若 x, y Î R + ,則lg x + lg y ³ 2 lg x lg y ；= 2 ；若 x Î R- , 則-=×2³2+。2222= -4 ；3.已知不等式(x + y)(1 + a ) ³ 9 對任意正實(shí)數(shù) x, y 恒成立，則正實(shí)數(shù) a 的最小值為 6xyx 2+ y 24.

48、（1）已知： x > y > 0 ，且： xy = 1 ，求證：³ 2 2 ，并且求等號(hào)成立的條件x - y（2）設(shè)實(shí)數(shù) x，y 滿足 y+x2=0，0<a<1，求證： log (ax+ay ) log 2 + 1 。aa8解： （1）分析：由已知條件 x，y Î R + ，可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有x - y ， 無法利用 x + y ³ 2 xy ， 故猜想先將所求證的式子進(jìn)行變形， 看能否出現(xiàn)1(x - y) +型，再行論證(x - y)證明：Q x > y > 0, x - y > 0.又Q xy

49、= 1,+ y 2(x - y)2 + 2xyx 222= (x - y) +³ 2 (x - y) ×= 2 2. 等號(hào)成立x - yx - yx - y(x - y)2當(dāng)且僅當(dāng)(x - y) =時(shí)(x - y)2 = 2 , x - y =2,+ y 2 = 4.x2(x - y)6 +2 ,6 -2Q xy =1, (x + y)2 = 6, x + y =6. 由以上得 x =y =226 +2 ,6 -2即當(dāng) x =y =時(shí)等號(hào)成立22說明：本題是基本題型的變形題在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式， 這容易形成思維定式本題中是利用條件將所求證的式子化

50、成分式后再使用均值不等式要注意靈活運(yùn)用均值不等式x-x 22- 11 2 1(x- ) +228 ，a x+y（2）+ a y 2a x= 2a= 2a- 1 (x - 1 ) 2 + 1 ，0<a<112288- 1 (x- 1 )2 + 111 2a+ a y 2a 8a x228 2a 81 log a (a x + a y ) log a (2a 8 ) = log a 2 +18第 2 課一元二次不等式【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.會(huì)二次不等式，了二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程之間的和轉(zhuǎn)化。2.能運(yùn)用一元二次不等式解決綜合性較強(qiáng)的問題.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.解不等式：13（2） x2 + x +

51、> 0（1） -3x2 + 4x + 4 > 022（4） - 4 < - 1 x 2 - x - 3 < -2（3） (2 - x - 222解：（1）原不等式化為3x2 - 4x - 4 < 0 ，為- 2 < x < 23（2）原不等式化為 x2 + 2x + 3 > 0 ，為 R（3）原不等式化為 x2 + x +1 < 0 ，為ì1（4）由2 < 1 x2 + x + 3 < 4, 得ï 2í122ïïî 2ìïx >2 -1或x &

52、lt; - 2 -1得,í-6 -1 < x <6 -1ïî x Î(- 6 -1, - 2 -1)( 2 -1, 6 -1)二次不等式要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)、對應(yīng)方程D 的點(diǎn)撥：大小的比較.、以及對應(yīng)方程兩根2, -1)(1,é-2 ù2. 函數(shù) y =log 1 ( x2 - 1) 的定義域?yàn)?ëû3.二次函數(shù) y=ax2+bx+c(xR)的部分對應(yīng)值如下表：則不等式 ax2+bx+c>0 的是(-¥,-2) U (3,+¥)4.若不等式 x 2 + bx + c > 0 的【范例導(dǎo)析】-<>1，3則 b= -2_或是c=_ -3.a(x -1)例.解關(guān)于的不等式> 1(a ¹ 1)x - 2分析：本題可以轉(zhuǎn)化為含參的一元二次不等式，要注意分類討論.(a -1)x - (a - 2)解:原不等式等價(jià)于> 0 a ¹ 1 等價(jià)于：x - 2)æ - a - 2 ö(a -1 &#