第6章多元函數(shù)微分學(xué)

1、第六章 多元函數(shù)微分學(xué)§1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性一基本內(nèi)容1.平面點(diǎn)集(1) 鄰域：設(shè) A(x , y ) Î R2 ，平面點(diǎn)集(x, y)(x - x )2 + ( y - y< d 2 與)20000(x, y)< d 分別稱(chēng)為點(diǎn) A 的d 圓鄰域和 A 的 d 方鄰域，記為< d ,x - x0y - y0U ( A,d ) .類(lèi)似地可定義U 0 ( A,d ) .(2) 給定平面點(diǎn)集 E ，則 R2 中的點(diǎn) P 與 E 之間的關(guān)系有：0() P0 為 E 的內(nèi)點(diǎn)，即$d > 0 ，使U (P0 ,d ) Í E () P0 為 E

2、 的外點(diǎn)，即$d > 0 ，使U (P0 ,d ) Ç E = f () P0 為 E 的界點(diǎn)，即"d > 0 ，U (P0 ,d ) 內(nèi)既含 E 中的點(diǎn),又含不是 E 中的點(diǎn)() P 為 E 的聚點(diǎn)，即"d > 0 ，U (P ,d ) 內(nèi)總含有 E 中的點(diǎn)000() P0 為 E 的孤立點(diǎn)，即$d > 0 ，U (P0 ,d ) Ç E = P0 (3)幾類(lèi)特殊點(diǎn)集() 開(kāi)集：設(shè) E Í R 2 ，若 E 中的每一點(diǎn)均是 E 的內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng) E 為開(kāi)集：設(shè) E Í R 2 ， E 的所有聚點(diǎn)組成的集為 E 的

3、導(dǎo)集，記為 E ¢ ，若()E¢ Í E ，則稱(chēng) E 為它等價(jià)于， E 的補(bǔ)集 Ec 為開(kāi)集() 開(kāi)域：設(shè) E Í R 2 ，若非空開(kāi)集 E 中的任意兩點(diǎn)均可用完全含于 E 的有限折線(xiàn)連接起來(lái)，則稱(chēng) E 為開(kāi)域()：開(kāi)域連同它的整個(gè)邊界所成的點(diǎn)集() 區(qū)域：開(kāi)域連同它的部分或整個(gè)邊界所成的點(diǎn)集統(tǒng)稱(chēng)為區(qū)域() 有界集：設(shè) E Í R 2 ，若$r > 0 ，使 E Í U (O, r) ，則稱(chēng) E 為有界集，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)(4) () 點(diǎn)集 E 的直徑：設(shè) E Í R 2 ，稱(chēng)d(E) = sup r(P , P )

4、為 E 的直徑易12P1 ,P2ÎE得： E 為有界集的充分必要條件是d (E) < +¥ () 點(diǎn)集 E 與 E 之間的距離：設(shè) E ，E Í R 2 ，稱(chēng) r (E , E ) =infr (P , P )12121212P1ÎE1 ,P2ÎE2為 E1 與 E2 之間的距離R2 的完備性2.P Í R面點(diǎn)列， P Î R2 ，如果"e > 0 ， $N ，當(dāng)n > N 時(shí)，有2定義 設(shè)n0r(P0 , Pn ) < e ，則稱(chēng)點(diǎn)列Pn 收斂于 P0 ，記作，lim Pn = P0Pn

5、® P0 (n ® ¥)或n®¥易得 Pn (xn , yn ) ® P0 (x0 , y0 )(n ® ¥) 的充要條件是 xn ® x0 ， yn ® y0 (n ® ¥) .定理 1（準(zhǔn)則）點(diǎn)列Pn 收斂的充要條件是： "e > 0 ， $N ，當(dāng)n > N 時(shí)，< e "p Î N ，有 Pn+ p - Pn定理 2 （套定理）設(shè)Dn 為 R 中的一個(gè)2() Dn Ê Dn+1 ,"n Î

6、N ；() d (Dn ) ® 0,(n ® ¥) ，列，且滿(mǎn)足：則存在唯一的點(diǎn) P0 Î Dn , n = 1,2,L注：套定理中的Dn 與有限覆蓋定理中的 D 均可推廣到的情形定理 3 （聚點(diǎn)定理）設(shè) E Í R 2 為有界無(wú)窮點(diǎn)集，則 E 至少有一個(gè)聚點(diǎn)P Í R 必存在收斂子列P 定理 4 （致密性定理）有界無(wú)限點(diǎn)列2nn k定理 5 （有限覆蓋定理）設(shè) D Í R 2 為一有界，Da 為一開(kāi)域族，它覆蓋 D ，則可從Da 中選出有限個(gè)開(kāi)域D1 , D2 ,L, Dn ，它們也能覆蓋 D 3. 多元函數(shù)的極限(1)

7、基本概念定義 1 設(shè) D Í Rn ，且 D ¹ f ， f 為一對(duì)應(yīng)法則，如果對(duì) D 中的每一點(diǎn) P ，在 f的作用下有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù) z 與之相對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)f確定了一個(gè)定義在 D 上的n 元函數(shù).記作：f ： D ® R,P ® z,z = f (P), P Î D 或此時(shí)稱(chēng) D 為 f 的定義域， f (D) 為 f 的值域特別地，若 P = P(n ) ，則n元函數(shù)可記為 z = f (n ) ，當(dāng)n = 2 時(shí)，常記為 z = f (x, y) 定義 2 設(shè) f 為定義在 D Í R 2 上的二元函數(shù), P 為 D 的一個(gè)聚點(diǎn)

8、, A Î R ,如果0"e > 0 ，$d > 0 ，當(dāng) P ÎU (P ,d ) Ç Df ( p) - A< e ，則稱(chēng) f在 D 上當(dāng) P ® P0時(shí)，有00時(shí)以 A 為極限，記作：lim f (P) = A P®P0PÎD特別地,當(dāng) P, P Î R2 ，且 P, P 的坐標(biāo)分別為(x, y) , (x , y ) 時(shí),也記作0000limf (x, y) = A .( x, y )®( x0 , y0 )( x, y )ÎD為定義在 D Í R 2 上的二

9、元函數(shù), P定義 3設(shè) f為 D 的一個(gè)聚點(diǎn), 如果0"M > 0 ，$d > 0 ，當(dāng) P ÎU (P ,d ) Ç D 時(shí)，有0f (P) > M在 D 上當(dāng) P ® P，則稱(chēng)f00極限+ ¥ ，記作：lim f (P) = +¥ 時(shí)有P®P0PÎD類(lèi)似地，可定義 lim f (P) = -¥ 及 lim f (P) = ¥ P®P0P®P0PÎDPÎD定義 4 設(shè) Ex , Ey Î R ， x0 , y0 分別是 Ex

10、與 Ey 的聚點(diǎn)，二元函數(shù) f 在集合D = Ex ´ Ey 上有定義，若"y Î Ey , y ¹ y0 ，極限 lim f (x, y) 存在，記為j ( y) ，且x® x0 xÎExlim j( y) = L ，則稱(chēng) L 為二元函數(shù) f (x, y) 先對(duì) x(® x0 ) 后對(duì) y(® y0 ) 的累次極限，y® y0 yÎEy并記作：L = lim lim f (x, y) y® y0 x®x0 yÎEy xÎEx類(lèi)似地可定義先對(duì) y 后對(duì) x

11、 的累次極限(2) 歸結(jié)原則定理lim f (P) = A 的充分必要條件是， "E Í D ，只要 P0 為 E 的聚點(diǎn)就有P®P0PÎDlim f (P) = A P®P0PÎE推論 1 lim f (P) 存在的充要條件是： "Pn Í D ， Pn ¹ P0 , Pn ® P0 (n ® ¥) ，P®P0PÎDlim f (Pn ) 都存在n®¥設(shè) E1 Í D ，P0 為 E1 的聚點(diǎn)若 lim f (P) 不存在，

12、則 lim f (P) 不存在推論 2P®P0P®P0PÎEPÎD設(shè) E1 , E2 Í D ， P0 為 E1 , E2 的聚點(diǎn)若 lim f (P) ¹ lim f (P) ，則推論 3P®P0 PÎE1P®P0 PÎE2lim f (P) 不存在P®P0PÎD(3) 重極限與累次極限的關(guān)系limf (x, y) 存在,且"y ¹ y0 ,若 f (x, y) 在點(diǎn)(x0 , y0 ) 處的二重極限定理( x, y )®( x0 , y0 )

13、lim f (x, y) = j( y) 存在，則累次極限 lim lim f (x, y) 也存在，且x® x0y® y0 x® x0lim lim f (x, y) =y® y0 x® x0lim( x, y )®( x0 , y0 )f (x, y) 推論 若兩個(gè)累次極限均存在，但不相等，則二重極限必不存在4.二元函數(shù)的連續(xù)性(1) 定義：設(shè) f 為定義在點(diǎn)集 D Í R 2 上的二元函數(shù)，P Î D ，若"e > 0, $d > 0 ，0"P ÎU (P0 ,d )

14、 Ç D ，有f (P) - f (P0 )< e ，則稱(chēng)f關(guān)于集合 D 在 P0 連續(xù)若f在 D上任何點(diǎn)關(guān)于 D 連續(xù)，則稱(chēng) f 為 D 上的連續(xù)函數(shù)(2)有界上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理(有界性) 設(shè) f (P) 在有界D 上連續(xù)，則 f (D) 有界定理(取最值性) 設(shè) f (P) 在有界D 上連續(xù)，則 f (P) 在 D 上可取到最大，最小值定理(一致連續(xù)性) 若函數(shù)在 f (P) 在有界D 上連續(xù)，則 f (P) 在 D 上一致連續(xù)定理 (介值性)設(shè) f (P) 在區(qū)域 D 上連續(xù)，P1 , P2 Î D ，且 f (P1 ) f (P2 ) ，則任一滿(mǎn)足 f (P

15、1 ) m f (P2 ) 的實(shí)數(shù) m ，必存在 P0 Î D ,使 f (P0 ) = m .二.難點(diǎn)與重要結(jié)果設(shè) P Î R2 , E Í R 2 , E ¹ f ，若 r (P, E) = 0 ,則 P Î E 或者 P 為 E 的一個(gè)聚點(diǎn).1.設(shè) E Í R 2 ,則¶E 必是2.3.部4.二重極限的局部性質(zhì)與一元函數(shù)極限的局部性質(zhì)完全類(lèi)似，如局部有界性、局性、四則運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)合性質(zhì)及迫斂性等二重極限與累次極限是兩個(gè)本質(zhì)上完全不同的概念，因而兩者在存在性方面毫不相關(guān).我們有(1) 兩個(gè)累次極限存在且相等，但二重極限不

16、存在xy例如， f (x, y) =在(0,0) 點(diǎn)處+ y 2x 2(2) 重極限存在，但兩個(gè)累次極限均不存在ìx sin 1 + y sin 1 ,xy ¹ 0ï例如， f (x, y) =yx在(0,0) 處íïî0,xy = 0(3) 重極限存在，兩個(gè)累次極限中一個(gè)存在，另一個(gè)不存在ì1y ¹ 0在(0,0) 處y = 0ïx sin y ,例如， f (x, y) =íïî0,(4) 重極限與累次極限均不存在ì1 + 1 ,xy ¹ 0ï

17、; x例如， f (x, y) =y在(0,0) 處íïî0,xy = 0(5) 若兩個(gè)累次極限均存在，但不相等，則二重極限不存在5. 重極限的存在性討論要比一元函數(shù)極限的存在性討論復(fù)雜得多，其主要是由定義域的維數(shù)多一維引起的，在討論時(shí)要特別當(dāng)心例如，ì1,0 < y < x2 , - ¥ < x < +¥其它，f (x, y) = íî0,沿任一 y = kx ，有l(wèi)im f (x, y) = 0 但( x, y)®(0,0)y=kxlimf (x, y) 不存在( x, y )

18、®(0,0)6. 若 D = D1 È D2 È LÈ Dk ,且limf (x, y) = A, i = 1,2,L, k.則( x, y )®( x0 , y0 )( x, y )ÎDilimf (x, y) = A ( x, y )®( x0 , y0 )( x, y )ÎD注意：若k = +¥，則結(jié)論不真.7. 關(guān)于全面連續(xù)與按單變量連續(xù)之間的關(guān)系：(1) 若 f (x, y) 在a, b ´c, d 上連續(xù)，則 f (x, y) 對(duì)"y Îc, d 關(guān)于 x 在a,

19、 b上連續(xù)對(duì)"x Îa, b關(guān)于 y 在c, d 上連續(xù)，反之不真(2) 若 f (x, y) 在區(qū)域 D Í R 2 上關(guān)于兩個(gè)單變量連續(xù)，且滿(mǎn)足下列條件之一() f (x, y) 關(guān)于其中的一個(gè)變量單調(diào).茲(Lipschitz) 條件，即$L > 0 ,使() f (x, y) 對(duì)于其中的一個(gè)變量滿(mǎn)足"x, y1, y2 ,有f (x, y1 ) - f (x, y2 )< L y1 - y2.f (x, y) 對(duì) x 關(guān)于 y 一致連續(xù)，即"x, "e > 0, $d> 0 ，當(dāng)x1 - x2< d

20、 時(shí)，有()< e ，則 f (x, y) 在 D 上處處連續(xù).f (x1, y) - f (x2 , y)三.基本題型與方法1. 關(guān)于平面點(diǎn)集中的一些結(jié)論的證明此類(lèi)問(wèn)題的主要處理方法就是依據(jù)定義來(lái)解決例 1 設(shè) E Í R 2 ，證明： ¶E 為證明:設(shè) P0 為¶E 的任一聚點(diǎn)，則據(jù)聚點(diǎn)定義知在 P0 的任一d1 鄰域中必含有¶E 中的異于 P0 的點(diǎn) P1 ，取d 2 充分小，使U (P1 ,d 2 ) Í U(P0 ,d1) 中，由于 P1 Î ¶E ,故U (P1 ,d 2 ) 中既含有 E 中的點(diǎn)，又含有不

21、是 E 中的點(diǎn)，而U (P1 ,d 2 ) Í U(P0 ,d1) 中.故U (P0 ,d1) 中既含有 E 中的點(diǎn)，又含有不是 E 中的點(diǎn)，再由d1 的任意性及界點(diǎn)的概念知， P0 為 E 的一個(gè)界點(diǎn)，即 P0 ζE ，由的定義知, ¶E 為2. 二重極限的證明.ìx = x0 + r cosq代入，通過(guò)適當(dāng)?shù)胤糯?，去掉q此類(lèi)問(wèn)題的處理方法一種是令í y = y+ r sinqî0后解 r 得圓形鄰域的半徑， 或者通過(guò)適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化， 將表達(dá)式變形為g ( x - x ,0y - y0 )，再將x - x0y - y0與看，

22、方形鄰域的半徑.sin(x3 + y3 )= 0 .例 2 (1) 證明：limx2 + y 2( x, y)®(0,0)lim(x 2 + xy + y 2 ) = 7 .(2) 證明：( x, y )®(1,2)證明： (1) 令ìx = r cosq 代入得í y = r sinqîsin(x3 + y 3 )sin r 3 (cos3 q + sin3 q )- 0=££ 2 r ，x 2 + y 2r 2r 2= e2sin(x + y )33故"e > 0 ，取d，當(dāng) x2 + y 2 <

23、d 2 時(shí)，有< e .x 2 + y 2(2) 由于x 2 + xy + y 2 - 7=x2 -1+ xy - 2 + y 2 - 4=( y - 2) + 2(x -1) + ( y + 2)( y - 2)(，x -1 < 1,y - 2< 1 ，則 x < 2, y < 3 限制故有x2 + xy + y 2 - 7< 3 x -1 + 2 y - 2 + 2 x -1 + 5 y - 2= 5 x -1 + 7 y - 2 取d = min ì e ,1ü ，則x -1 < d ,< d ，且(x, y) 

24、5; (1,2) 時(shí)，有y - 2íýî12þ< e x2 + xy + y 2 - 73.二重極限的存在性并求值二重極限的存在性方面主要依賴(lài)歸結(jié)原則和一元函數(shù)中的各種放大在技巧，特別要熟悉一元函數(shù)中無(wú)窮小量的階的比較，其極限的求法最后也歸結(jié)為一元函數(shù)的極限的計(jì)算例 3 討論下列極限是否存在，若存在，求其極限值x2 - y 222-( x+ y )(x + y )e(1)lim(2)lim；( x, y)®(0,0) x2 + y 2( x, y )®(+¥,+¥)r 3cos3 q + sin 3 qx2

25、yx3 + y3(3)lim；(4)lim.+ yx + y( x, y)®(0,0) x422( x, y )®(0,0)x 2 - y 2為 0 次齊次式，令 y = kx, 即知極限不存在解(1) 由于x 2 + y 2(2) 由于當(dāng) x > 0, y > 0 時(shí)，有0 £ (x2 + y 2 )e-(x+y)£ x2 e- x+ y 2e- y ，而x 2 e- x= lim x 2e-x= 0 ，y 2 e- y= 0 ，limlim( x, y )®(+¥,+¥)x®+¥( x,

26、y )®(+¥,+¥)lim(x 2 + y 2 )e-(x+ y) =0故( x, y )®(+¥,+¥)x 2 y12沿路徑 y = x ，知其極限為，沿 y = 2x 則其極限為，故22(3)x 4 + y 225極限不存在.(4) 此式的雖然為3 次齊次式，分母中的最低次冪項(xiàng)為一次，但由于分母中含奇次項(xiàng)，故總可以沿適當(dāng)?shù)穆窂剑沟梅帜傅拇蝺绮坏陀诘拇蝺纾?，?y = x3 - x2 ,則分母的次冪為3 次，中起主要作用的仍是3 次冪如令 y = x4 - x2 ，則分母的次冪為4 次，而重極限不存在4. 關(guān)于連續(xù)性的證明關(guān)

27、于連續(xù)性的證明，無(wú)論是一元還是多元函數(shù)其主要工具仍然是定義.中起主要作用的仍是3 次冪，故二設(shè) f 在 R2 上分別對(duì)每個(gè)自變量 x, y 是連續(xù)的，且當(dāng) x 固定時(shí)關(guān)于 y 是單調(diào)例 4的證明 f 是 R2 上的連續(xù)函數(shù)證明： "P (x) Î R 2 ， 由于 f (x , y) 在 y 連續(xù)，故對(duì) "e > 0, $d> 0 ， 當(dāng)y00, 0001£ d1 時(shí)，有< e 即有y - y0f (x0 , y) - f (x0 , y0 )f (x0 , y0 + d1 ) - f (x0 , y0 )< e ，f (x0 ,

28、 y0 - d1 ) - f (x0 , y0 )< e 又 f (x, y0 + d1), f (x, y0 - d1) 均在 x0 連續(xù)，故 $d 2 > 0 ，當(dāng)< d 2 時(shí)，有x - x0f (x, y0 + d1) - f (x0, y0 + d1)< e ，f (x, y0 - d1 ) - f (x0 , y0 - d1 )< e x - x0< d 2 時(shí)，有故當(dāng)f (x, y0 + d1) - f (x0, y0 )< 2e ，f (x, y0 - d1 ) - f (x0 , y0 )< 2e< d 2 ，£

29、 d1 時(shí)，由于 f (x, y) 關(guān)于 y 單調(diào)，故 f (x, y) 介于x - x0y - y0故當(dāng)f (x, y0 + d1) 與 f (x, y0 - d1) 之間，即有f (x, y0 - d1 ) - f (x0 , y0 ) ,f (x, y0 + d1 ) - f (x0 , y0 )f (x, y) - f (x0 , y0 )£ max< 2e 2所以， f (x, y) 在(x0 , y0 ) 連續(xù)由(x0, y0 ) 的任意性，知 f (x, y) 在 R 上連續(xù)5. 關(guān)于有界上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用此類(lèi)問(wèn)題的題型及處理方法均可借鑒一元函數(shù)的相應(yīng)部分的內(nèi)容

30、.設(shè) f (x, y) 在 D = (x, y) x ³ 0, y ³ 0上連續(xù)，r =x2 + y 2 ，且 lim f (x, y) 存例 5r ®+¥在，則 f (x, y) 在 D 上有界.證明：由于 lim f (x, y) 存在，設(shè)為 A ,故對(duì) 1>0, $M , 當(dāng) r > M 時(shí)有<A + 1 f (x, y)r ®+¥又 f (x, y) 在 D = (x, y) x ³ 0, y ³ 0且x2 + y 2 £ M 上連續(xù)，且 D 為有界，由有11上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知，

31、 f (x, y) 在 D1 上有界， $G1 > 0 ，即"(x, y) Î D1 , 有界< G1 f (x, y)取G = max G1 , A + 1，則"(x, y) Î D, 有< G 即 f (x, y) 在 D 上有界.f (x, y)四.綜合舉例例 6 設(shè)S Í R 2 ， P (x y ) 為S 的內(nèi)點(diǎn)， P (x y ) 為S 的一個(gè)外點(diǎn)證明：直線(xiàn)00, 011, 1段 P0 P1 必與S 的邊界¶S至少有一個(gè)交點(diǎn) 證明：P0 P1 的中點(diǎn)C0 ，若C0 為S 界點(diǎn)，則問(wèn)題得證；否則， C0 必

32、為S 的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)或外點(diǎn)若C0 為S 內(nèi)點(diǎn)，則記C0 P1 為 A1 B1 ，若C0 為S 外點(diǎn)，則記 P0C0 為A1 B1 .用 A1 B1 代替 P0 P1 仿上，要么，若干次以后得線(xiàn)段 An Bn 的中點(diǎn)Cn 恰為SAn Bn 滿(mǎn)足：的界點(diǎn)，則此時(shí)問(wèn)題得證，否則得一線(xiàn)() An+1 Bn+1 Í An Bn ，n = 1,2K=® 0(n ® ¥) .（）A Bn n2n() An 為S 的內(nèi)點(diǎn), Bn 為S 的外點(diǎn).套定理知，存在唯一Q0 Î An Bn , n = 1,2K ，由區(qū)間套定理的由()()及推論知，"d >

33、 0, $N , 當(dāng)n > N 時(shí)，有 An Bn Í U (Q0 ,d ) 由()知，U (Q0 ,d ) 中既含S 中的點(diǎn) An , 又含不是S 中的點(diǎn) Bn 故Q0 為S 的界點(diǎn)< 1, y< 1 上的有界k 次齊次函數(shù)(k ³ 1) ，問(wèn)極限例 7設(shè) f (x, y) 是區(qū)域 D :xlim( f (x, y) + (x -1) ey) 是否存在，若存在求其值( x, y)®(0,0)解：由于 f (x, y) 為k 次齊次函數(shù)，故"t Î R , (t ¹ 0) 有 f (tx,ty) = t k f (x

34、, y) 因此,有 f (r cosq , r sinq ) = r k f (cosq ,sinq ) £ M ,(x, y) Î D 故有又因 f (x, y) 在 D 上有界，設(shè)f (x, y)f (r cosq , r sinq )= r kf (cosq , sinq )£ r k M ® 0 (r ® 0) 所以有l(wèi)imf (x, y) = 0 ( x, y )®(0,0)因而，lim( f (x, y) + (x -1) ey) = -1( x, y)®(0,0)討論下列極限例 8x2) x+ y ；x 2 y

35、 21xlim(1 +(1)limf (x, y) =；(2)x2 y 2 + (x - y)2( x, y )®(0,0)( x, y )®( +¥,0)x 4 y 4e x- e y(3)limf (x, y) =limf (x, y) =；(4)；(x3 + y 6 )2sin xy( x, y )®(0,0)( x, y )®(0,0)1解 (1) 當(dāng) y = x 時(shí)，極限為1.當(dāng)沿 y = x + x2 時(shí)極限為,故極限不存在.2x2xlim(1 + 1 ) x+ y =lim(1 + 1 ) x x+ y = e1 = e (2)x

36、x( x, y )®( +¥,0)( x, y )®( +¥,0)1(3) 沿 y = 0 時(shí)極限為0 沿 x = y 2 時(shí)極限為，故原極限不存在4(4) 沿 y = kx 時(shí)，有P0 P1ex - ekxex - ekx- kekxex1原式= lim= lim=limsin kx2kx2k2xx®0 y=kxx®0x®0k = 1k > 1ì 0= í¥，î從而極限不存在例9 設(shè)函數(shù) f (x, y) 分別對(duì) x, y 連續(xù)，且連續(xù)f (x, y) 對(duì) x 關(guān)于 y 一致連

37、續(xù)，則f (x, y)證明： "(x0 , y0 ) ，由于 f (x0 , y) 連續(xù)，故"e > 0,$d1 > 0 ，當(dāng)有< d1 時(shí)，y - y0f (x0 , y) - f (x0 , y0 )< e 又 f (x, y) 對(duì) x 關(guān)于 y 一致連續(xù),故對(duì)上述e > 0,$d 2 > 0 ，當(dāng)< d 2 時(shí)，x - x0"y ，有< e f (x, y) - f (x0 , y)取d = mind1,d 2 ，當(dāng)x - x0< d ,y - y0< d 時(shí)，有f (x, y) - f (x0 ,

38、 y0 )£f (x, y) - f (x0 , y)+f (x0 , y) - f (x0 , y0 )< 2e 所以 f (x, y) 在(x0 , y0 ) 連續(xù)，由(x0 , y0 ) 的任意性即得結(jié)論例 10 設(shè) D Í R 2 為開(kāi)集， (x , y ) Î D ， f (x, y) 為 D 上的函數(shù)，且滿(mǎn)足：00(1) 對(duì)每個(gè)(x, y) Î D 的 x ,有 lim f (x, y) = g(x) .y® y0D 中關(guān)于 y 一致地存在極限lim f (x, y) = h( y) .x® x0(2)證明： lim

39、 lim f (x, y) = lim lim f (x, y).x® xo y® y0y® y0 x® x0證明：由 D 為開(kāi)集，數(shù)(x0 , y0 ) Î D ，為 D 的內(nèi)點(diǎn)，所以， $r > 0 ，使G = (x, y) x - x0< rÌ D .< r, y - yo在G 中，由條件(2) 知， "e > 0, $d > 0, (d < r) ,當(dāng)0 << d 時(shí)，x - x0"y Î( y0 - r, y0 + r) ,都有< e .f

40、(x, y) - h( y)< d , 0 << d 時(shí)， "y Î( y0 - r, y0 + r) 有< 2e .從而當(dāng)0 <x1 - x0x2 - x0f (x1, y) - f (x2 , y)令 y ® y0 ，得g(x1 ) - g(x2 )£ 2e 由準(zhǔn)則知lim g(x) 存在，設(shè)為 A ,故$d1 > 0,(d1 < d ) ，當(dāng)0 <x - x0< d1 時(shí)，x® x0有g(shù)(x)- A < e 任取 x¢ÎU(x0 ,d1) ，由 lim f (

41、x¢, y) = g(x¢) ，故 $d 2 > 0,(d 2 < d1)，當(dāng) y® y0< d 2 時(shí)，有y - y0f (x¢, y) - g(x¢)< e < d 2 時(shí)，有y - y0故當(dāng)h( y) - A £h( y) - f (x¢, y) +f (x¢, y) - g(x¢) +g(x¢) - A < 3e .所以 lim h( y) = A ,即lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) .y® y0x&#

42、174; x0 y® y0y® y0 x® x0例 11 設(shè)u = f (x, y, z) 在 D = a, b ´c, d ´e, f 上連續(xù)，證明：g(x, y) = max f (x, y, z)e£ z£ f在a, b ´c, d 上連續(xù)證明： "(x0 , y0 ) Îa,b´c, d ，由u = f (x, y, z) 在 D 上連續(xù)從而一致連續(xù)，故"e > 0,$d > 0 ，當(dāng)x - x0< d ,y - y0< d ,z - z= 0

43、 < d 時(shí)，有< e f (x, y, z) - f (x0 , y0 , z)f (x0 , y0 , z) - e < f (x, y, z) < f (x0 , y0 , z) + e 即從而有max f (x0 , y0 , z) - e £ max f (x, y, z) £ max f (x0 , y0 , z) + e ，e£ z£ fe£ z£ fe£ z£ fg(x0 , y0 ) - e £ g(x, y) £ g(x0 , y0 ) + e ，即&

44、#163; e g(x, y) - g(x0 , y0 )即故 g(x, y) 在(x0 , y0 ) 連續(xù)，由(x0 , y0 ) 的任意性即有 g(x, y) 在a, b ´c, d 上連續(xù).§2 多元函數(shù)微分學(xué)一基本內(nèi)容1. 基本概念定義 1 設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 的某鄰域內(nèi)有定義，如果$ A, B Î R ，及d >0,使當(dāng) P(x, y) Î U ( P0 ,d )時(shí)，總有 f 在 P 處的全增量：Dz = f (x, y) - f (x0 , y0 ) = A Dx + BDy + o (

45、r ) ，其中D， Dy = y - y ， r =Dx2 + Dy 2 ，則稱(chēng) z = f (x, y) 在點(diǎn) P 處000可微并稱(chēng)其線(xiàn)性主部 ADx + BDy 為函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) P0 處的全微分記作dz P ，即dz P = ADx + BDy 00注：也可將上述定義中的Dz 換成如下形式f (x, y) - f (x0 , y0 ) = f (x0 + Dx, y0 + Dx) - f (x0 , y0 ) = ADx + BDy + aDx + bDy其中a , b 滿(mǎn)足：lima =limb = 0 ，不改變定義的本質(zhì)(Dx,Dy )®(0,0)(D

46、x,Dy )®(0,0)定義 2 設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 的某鄰域內(nèi)有定義，如果極限lim D x z = limf (x0 + Dx, y0 ) - f (x0 , y0 )DxDxDx®0Dx®0存在， 則稱(chēng)這個(gè)極限值為函數(shù)f在點(diǎn) (x0 , y0 ) 關(guān)于 x 的偏導(dǎo)數(shù). 記作) 或¶f或¶zf (x , y.x00¶x( x0 , y0 )¶x( x0 , y0 ) 或¶f或¶z¶y類(lèi)似地可定義， f (x , y.y00( x0 , y0

47、)( x0 , y0 )¶y®定義 3 設(shè)函數(shù)u = f (x, y, z) 在點(diǎn) P0 (x0 , y0 , z0 ) 的某鄰域內(nèi)有定義，l 為從 P0 出發(fā)的一射線(xiàn)，P(x, y, z) 為 l 的任一點(diǎn)，以 r 表示 P0 與 P 之間的距離. 若極限®D flimlf (P) - f (P0 ) =limrrr ®0+r ®0+®存在，則稱(chēng)函數(shù)u = f (x, y, z) 在 P0 處沿 l 的方向?qū)?shù)存在，并稱(chēng)此極限值¶®為 f 在 P 沿 l 的方向?qū)?shù)，記作：f或 f (P ) 或 f (x , y

48、 , z ) 0P®0®000¶l0ll定義 4 若函數(shù)u = f (x, y, z) 在點(diǎn) P0 (x0 , y0 , z0 ) 的某鄰域內(nèi)有定義，且存在對(duì)所有變量的偏導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)向量( f x (P0 ), f y (P0 ), f z (P0 ) 為函數(shù)f 在點(diǎn)P0 梯度，記作：grad f = ( f x (P0 ), f y (P0 ), f z (P0 ) 定義 5 若二元函數(shù) z = f (x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)的每一點(diǎn)處關(guān)于 x ( 或關(guān)于y) 的偏導(dǎo)數(shù)均存在，則得 z = f (x, y) 在 D 上關(guān)于 x ( 或關(guān)于 y) 的偏導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)

49、為偏導(dǎo)數(shù).對(duì)該偏導(dǎo)函數(shù)進(jìn)一步地其偏導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)為 z = f (x, y) 的二階偏導(dǎo)數(shù).類(lèi)似地，n 階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為n + 1階偏導(dǎo)數(shù)，及上的偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù).定義 6 設(shè) f (P) 在點(diǎn) P0 的某領(lǐng)域內(nèi)有定義， 如果 $d >0 ，使 "P ÎU(P0 ,d ) 恒有 f (P) £ f (P0 ) 或( f (P) ³ f (P0 ) ,則稱(chēng) f (P) 在 P0 處取得以極大（?。┲?， P0 稱(chēng)為 f 的一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn).定義 7 稱(chēng)函數(shù) y = f (n ) 在約束條件組n ) = 0,(m < n)ìj1 (&

50、#239;íLïj) = 0,(îmnn ) 在約束條件ji = 0(i = 1,2,L, n) 下的條件極下的極值稱(chēng)為函數(shù) f (值，簡(jiǎn)稱(chēng)為條件極值.2. 基本結(jié)論(1) 可微的必要條件是偏導(dǎo)數(shù)存在，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件.(2) f (P) 在 P0 處可微的充要條件是曲面 z = f (x, y) 在點(diǎn) P0 處存在不平行于 z軸的切平面(3) f (P) 在 P0 處可微，則 f (P) 在 P0 處沿任一方向的方向?qū)?shù)存在且有¶f¶l= ¶fcosa + ¶fcos b + ¶fcosg ¶

51、x¶y¶zPPPP0000其中(cosa , cos b , cos g ) 為l 的方向余弦(4) 梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，即使 f r (P0 ) 的絕對(duì)值最大的方向，由l于f (P ) = gradf (P ) × l ，r000lgradf (P0 ) × cosq , 其中q 為l 與梯度方向之間的夾角，故有上述結(jié)論成=故f r (P0 )l立(5) 求偏導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則與一元函數(shù)的求導(dǎo)法則完全相同復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則為：若函數(shù) z = f (x, y) 處可微，而 x = x(s, t), y = y(s, t) 均在點(diǎn)(s, t)

52、處可微，則復(fù)合函數(shù) z = f (x(s, t), y(s, t) 在點(diǎn)(s, t) 處可微，且有¶z = ¶z × ¶x + ¶z × ¶y ,¶z = ¶z × ¶x + ¶z × ¶y .¶s¶x ¶s¶y ¶s¶t¶x ¶t¶y ¶t(6) 對(duì)不同變量所求的高階偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為混合偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于混合偏導(dǎo)數(shù)，我們有，若f xy 與f yx 均連續(xù)，則f xy

53、=f yx .依此類(lèi)推(7) 中值定理與泰勒公式定理 1 設(shè) z = f (x, y) 在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 的某鄰域U (P0 ) 內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則對(duì)"(x, y) ÎU (P0 ) ，存在q1,q2 ,q3 ,q4 ,q Î(0,1) ，使得f (x, y) - f (x0 , y0 ) =f x (x0 + q1 (x - x0 ), y)(x - x0 ) + f y (x0 , y0 + q2 ( y - y0 )(y - y0 )0 ), y0 )(x - x0 ) + f y (x, y0 + q4 ( y - y0 )(y - y0

54、)0 ), y0 + q ( y - y0 )(x - x0 )0 ), y0 + q ( y - y0 )(y - y0 ) = f x (= f x (+ f y (定理 2 設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 的某鄰域U (P0 ) 內(nèi)有直到n + 1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)U (P0 ) 內(nèi)的任一點(diǎn)(x0 + h, y0 + k) , $q Î(0,1) ，使得f (x , y ) + (h+ k ¶ ) f (x¶¶¶ )2, y ) + 1 (h+ kf (x + h, y + k) =, y ) + Lf

55、 (x0000¶x¶y002!¶x¶y00¶¶ ) n(h+ k ¶ ) n+1 f (x + qh, y + qk) ，¶+ 1 (h+ k1f (x , y ) +n!¶x¶y00(n + 1)!¶x¶y00¶¶¶ mm0å mi m-i其中(h ¶x + k ¶y )f (x , y ) =cmif (x , y ) × h k000¶xi ¶ym-ii=0(8) 隱函數(shù), y)

56、在點(diǎn) P (x0 ,L, x0 , y0 ) 的某鄰域內(nèi)具有定理 3 若()函數(shù) F(一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；n01n（） F(x0 ,L, x0 , y0 ) = 0 ；1n（） F (x0 ,L, x0 , y 0 ) ¹ 0 ，y1n則()在 P0 的某鄰域U (P0 ) Í D 內(nèi)方程 F(n , y) = 0 唯一地確定了一個(gè)定義在Q (x0 ,L, x0 ) 內(nèi)的某鄰域U (Q ) 的n 元函數(shù) y = f () ,使得01n0nn , f (x1,L, xn ) º 0 ，F(xiàn)(y0=f (x0 ,L, x0 ) .1n() y = f (n ) 在U (Q0

57、 ) 內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Ff= -,L, f= -x Fx1nx1xnFyFy定理 4 若() F (x, y, u, v) 與G(x, y, u, v) 在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ,u0 , v0 ) 的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)函數(shù)；() F(x0 , y0 ,u0 , v0 ) = G(x0 , y0 ,u0 , v0 ) = 0 ；¶F¶u¶G¶u= ¶(F, G)¹ 0 ，() J=¶(u, v)p0P0¶F¶v¶G¶uìF (x, y, u, v) = 0則(

58、)方程組唯一的確定了一個(gè)定義在點(diǎn)Q0 (x0 , y0 ) 的某鄰域íîG(x, y, u, v) = 0ìu = u(x, y)內(nèi)的隱函數(shù)組í,使得îv = v(x, y)F (x, y, u(x, y), v(x, y) º 0 ， G(x, y, u(x, y), v(x, y) º 0 ,u0 = u(x0 , y0 ) ， v0 = v(x0 , y0 ) ；（） u = u(x, y) ， v = v(x, y) 在Q0 的鄰域內(nèi)是有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且¶u = - 1 ¶(F,G) ，

59、2;u = - 1 ¶(F,G) ，¶yJ ¶(y, v)¶xJ ¶(x, v)¶v = - 1 ¶(F,G) ，¶v = - 1 ¶(F,G) ¶xJ ¶(u, x)¶yJ ¶(u, y)推論：令 F (x, y, u, v) = u - u(x, y) ，G(x, y, u, v) = v - v(x, y) ，則得反函數(shù)存在定理及坐標(biāo)變換公式.3. 偏導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用(1) 幾何應(yīng)用()平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn)設(shè)平面曲線(xiàn)的方程由 F (x, y) = 0 給出,它在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 的某鄰域內(nèi)滿(mǎn)足隱函數(shù)存在定理的條件，則它在點(diǎn) P0 處的切線(xiàn)方程： Fx (x0 , y0 )(x - x0 ) + Fy (x0 , y0 )(y - y0 ) = 0 ，法線(xiàn)方程： Fy (x0 , y0 )(x - x0 ) - Fx (x0 , y0 )(y - y0 ) = 0 . ()空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面10 ，若空間曲線(xiàn)方程為：L ： x = x(t) ， y = y(t) ， z = z(t) ，a