2011年高考一輪課時(shí)訓(xùn)練（理）2.3數(shù)學(xué)歸納法 （通用版）

1、第三節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n1)(n2)··(nn)2n·1·3··(2n1)”，從“k到k1”左端需增乘的代數(shù)式為()A2k1B2(2k1)C. D.解析：當(dāng)n1時(shí)，式子顯然成立當(dāng)nk(kN*，且k1)時(shí)，左邊(k1)(k2)··(kk)，當(dāng)nk1時(shí)，左邊(k11)(k12)··(k1k)(k1k1)(k2)(k3)··(kk)(k1k)(k1k1)(k1)(k2)··(kk)(k1)(k2)··(kk)2(2

2、k1)答案：B2記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則f(k1)f(k) ()A. BC. D2答案：B3如果命題P(n)對(duì)nk成立，則它對(duì)nk1也成立，現(xiàn)已知P(n)對(duì)n4不成立，則下列結(jié)論正確的是()AP(n)對(duì)nN*成立BP(n)對(duì)n4且nN*成立CP(n)對(duì)n4且nN*成立DP(n)對(duì)n4且nN*不成立解析：由題意可知，P(n)對(duì)n3不成立(否則n4也成立)，同理可推得P(n)對(duì)n2，n1也不成立答案：D4用數(shù)學(xué)歸納法證明“1n(nN*，)”時(shí)，由nk(k1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A2k1 B2k1C2k D2k1解析：左邊的特點(diǎn)：分母逐漸增加1，末項(xiàng)為；由nk，末

3、項(xiàng)為，而nk1，末項(xiàng)為，故應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2k.答案：C5若把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，則從2002到2004的箭頭方向依次為()答案：D二、填空題6. 用數(shù)學(xué)歸納法證明135nnn，當(dāng)n1時(shí)，左邊應(yīng)為_答案：17. 已知a1，an1，則a2，a3，a4，a5的值分別為_，由此猜想an_.解析：a2，同理a3，a4，a5，猜想an.答案：、8(2009年廣東執(zhí)信中學(xué)月考)觀察下列式子：1<，1<，1<，則可歸納出_解析：1<，即1<，1<，即1<，歸納為：1<(nN)答案：1<(nN)三、解答題9已知yf(x)滿足f(n1)f(n)lg a

4、n1(n2，nN)且f(1)lg a，是否存在實(shí)數(shù)，使f(n)(n2n1)·lg a對(duì)任何nN*都成立，證明你的結(jié)論解析：f(n)f(n1)lg an1，令n2，則f(2)f(1)lg alg alg a0.又f(1)lg a，.f(n)lg a.現(xiàn)證明如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，顯然成立(2)假設(shè)nk(kN*，且k1)時(shí)成立，即f(k)lg a，則nk1時(shí)，f(k1)f(k)lg akf(k)klg alg alg a.則當(dāng)nk1時(shí)，等式成立綜合(1)(2)可知，存在實(shí)數(shù)、且，使f(n)(n2n1)lg a對(duì)任意nN都成立10(2009年南昌月考)設(shè)曲線ybx2cx在點(diǎn)處的切線斜率為k(

5、x)，且k(1)0.對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式xk(x)(x21)恒成立(a0)(1) 求k(1)的值；(2) 求函數(shù)k(x)的表達(dá)式；(3) 求證：.解析：(1)由xk(x)(x21)得1k(1)1，所以k(1)1.(2)k(x)yax2bxc(a0)，由k(1)1，k(1)0得 ac，b.又xk(x)(x21)恒成立，則由ax2xc0(a0)恒成立得 ac，同理由(a)x2xc0恒成立，也可得：ac.綜上ac，b，所以k(x)x2x. (3)證明：法一(分析法)：k(n).要證原不等式成立，即證>.因?yàn)?gt;，所以>，所以>.法二：(數(shù)學(xué)歸納法)由k(n).當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊，左邊>右邊，所以n1，