解析幾何存在性問題(含答案)

1、22x y i、已知橢圓Ci： F 今 i(-bb 0)的離心率為e解析幾何一一存在性問題Y6 ,過Ci的左焦點(diǎn)Fi的直線l ：x y 2 0被圓3C2：(x 3)2 (y 3)2r2(r0)截得的弦長為2J2.(I )求橢圓Ci的方程;(n )設(shè)Ci的右焦點(diǎn)為F2 ,在圓C2上是否存在點(diǎn) P ,滿足PFi2a -2 PF2，若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)b(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo))；若不存在，說明理由.解：(1)因?yàn)橹本€l的方程為l ：x y 2 0,令y0,得x2,即 Fi( 2,0)1 分. cct . . c '1622 c 2 ,又. e -號，-6 , b2，橢圓Ci的方程為Ci :

2、 6(2)存在點(diǎn)巳滿足PF122b22i .4分圓心C2(3,3)到直線l:x y 2 0的距離為d又直線 l:x y 2 0被圓 C2：x2 y2 6x 6y3m 1 0截得的弦長為2后，由垂徑定理得r .d2 (；)2J2 2 2,22故國C2的方程為C2 ： (x 3)(y 3)4 .2設(shè)圓 C2上存在點(diǎn) P(x,y),滿足PFia71PF2 即|PFj3 PF2I ,且Fi,F2的坐標(biāo)為Fi(2,0),F2(2,0),b2則.(x 2)2 y2 3 (x 2)2 y2， 5,o 9一 5 -3 一整理得(x )y ,它表不圓心在 C( ,0),半徑是鼻的圓。CC2 J(3 5)2 (3

3、 0)2 §712分,33_故有2 CC22 一，即圓C與圓C2相父，有兩個(gè)公共點(diǎn)。22圓C2上存在兩個(gè)不同點(diǎn)PFib2PF22、平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓2 x-2 aL i （a b o）的離心率為6 b3,焦點(diǎn)為F1、F2，直線l ：x y求2 o經(jīng)過焦點(diǎn)F2,并與相交于A、B兩點(diǎn).在明理由.的方程;上是否存在C、D兩點(diǎn)，滿足CD/AB ,FiC FiD若存在，求直線CD的方程；若不存在，說解:依題意F2 （2,o) , c 22分，由eb .a2 c2四,橢圓的方程為（方法一） 若存在滿足條件的直線2x6CD ,得 a 6Q 3 分3214分2. CDAB,kCDkAB1

4、,設(shè)直線CD的方程為4x5分2，16分，得x2 3(x m26mx (3m6) o,m)2o7分6m)2設(shè) C(x1 , yi), D(x2, y?),則 x13mx2 T4 (3m2 6) 963m2 6xix2 4i2m20 (*)由已知F1CFiD ,若線段CD的中點(diǎn)為E ,則FiECD ， kFEiikCDFi( 2,0),y1 y2)即 E( 23m m4 , / 'FiEm43m 2彳m4時(shí),_296 12m（方法二）假設(shè)存在C（xi ,96y1)，o,與（*）矛盾，.不存在滿足條件的直線CDi分D(x2 , y2),線段 CD 的中點(diǎn)為 E(xo , yo),2 xi由6

5、2x26x222yi22y22yoyi2y2代入、化簡得:由kFiyiy2xix2i5分兩式相減得:i /-(xi x2)(x16、i /、/x2)二(y1y2)(y12y2)o7分,i3xoyo由已知FiCFiD ,則 FiEkFiEi ,19分yoExo 2i得,yoxo 2 ,由解得xo3,yo即E( 3, 1)1分直線CD的方程為:(x2 x4), 聯(lián)立"6121得4x2 24x 42 oi分2242 4 44296o,方程（組）無解,不存在滿足條件的直線CD1分3、在平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M(1, 3)、N (5,1), 若點(diǎn) C滿足OC tOM (1

6、t)ON (t R),點(diǎn)C的軌跡與拋物線：y2 4x交于A、B兩點(diǎn).(1)求證：oA OB ；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn) P(m,0),使得過點(diǎn)P直線交拋物線于 D、E兩點(diǎn)，并以該弦 DE為直徑的圓都過 原點(diǎn)，若存在，請求出 m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由.解：(1)由 OC tOM (1 t)ON(tR)知點(diǎn)C的軌跡是M、N兩點(diǎn)所在的直線,故點(diǎn)C的軌跡方程是y 31-(3) (x 1),即 y x 44y x 422由 2(x 4) 4x x 12x 16 0y 4xx1x2 16, x1 x2 12yy (Xi 4)(x2 4) XiX24(Xi X2) 1616X1X2y1

7、y20 ,故 OA OB.：.6 分(2)法一：存在點(diǎn)P(4,0)，滿足條件。設(shè)弦所在的直線方程為： x ky 4代入y2 x得y2Yi V2y V 4k , l 16, koA koB-x-石證明如下：由題意知：弦所在的直線的斜率不為零，4ky 16 0y1y2161622yy2yiY21644OA OB ,故以AB為直徑的圓都過原點(diǎn) 10分法二：若存在這樣的點(diǎn) P滿足條件，設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2).則有 X1X2V1V2。得yy216,又 PD(x1m, V1),PE(x2m, V2),由 D、P、E 三點(diǎn)共線可得(4 m, V1) V2 (X2 mi V2) V1 (m 4)

8、(y K)0當(dāng)Y1y2時(shí)，m 4,此時(shí)P(4,0),可驗(yàn)證當(dāng)P(4,0)且y1 y2時(shí)也符合條件,所以存在點(diǎn)P(4,0)滿足條件.設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M(x, y)1 1則 x -(X1 X2), y -(Y1 y)2 22X1 X2 ky1 4ky2 4 k(yy2) 8k (4k) 8 4k8x 2k2 42k弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為：x2k4,消去k得y22x8.2 X 24、如圖(6),設(shè)點(diǎn) Fi( c,0)、F2(c,0)分別是橢圓 C:-y y 1(a 1)a uuu uuu的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且 PF1 PF2最小值為0.(1)求橢圓C的方程；(2)若動(dòng)直線li,l

9、2均與橢圓C相切，且ll/12,試探究在X軸上是否存在定點(diǎn) B,點(diǎn)B至Ijli,l2的距離之積恒為1若存在，請求出點(diǎn) B坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由.解：設(shè) P(x, y),則有 F1P (x c, y), F2P (x c,y)1 分2.222 a 1 22PF1 PF2 x y c2 x 1 c , x a, a 2 分a uuu uuu由PF1 PF2最小值為0得1 c20 c 1 a2 2, 3分2.橢圓C的方程為y21 . 4分2(2)當(dāng)直線11,12斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y kx m, y kx n5分把11的方程代入橢圓方程得(1 2k2) x24mkx2m2 202222-m

10、1 2k同理，n 1 2k 8 分22m n ,若 m n ,則1i12重合，不合題意， m n9分設(shè)在x軸上存在點(diǎn)B(t,0)，點(diǎn)B到直線l1,l2的距離之積為1,則LkJLktJ 1,即 |k2t2 m2| k2 1, 10 分, 2, 二 2;直線l1與橢圓C相切，16k2m24(12k2)(2m22)0 ,化簡得k 1 k 1把1 2k2m2代入并去絕對值整理，k2(t2 3) 2或者 k2(t2 1) 0前式顯然不恒成立；而要使得后式對任意的k R恒成立則t2 1 0 ,解得t 1 ; 12 分當(dāng)直線1i,12斜率不存在時(shí)，其方程為x J2和xJ2, 13分定點(diǎn)(1,0)到直線1i,

11、12的距離之積為(丘 1)(72 1) 1；定點(diǎn)(1,0)到直線1i,12的距離之積為(J2 1)(72 1) 1；綜上所述，滿足題意的定點(diǎn)8為(1,0)或(1,0) 14分225、已知橢圓C:1 4 1 (a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi1,0、F2 1,0 ,且經(jīng)過定點(diǎn)a bXo,yo為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，F(xiàn)2為半徑作圓.1求橢圓C的方程；2若圓 與y軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)xo的取值范圍；3是否存在定圓，使得圓 與圓 恒相切若存在，求出定圓的方程；若不存在，請說明理由.解：1由橢圓定義得 PF1 PF2 2a,分13.分4b222故橢圓C的方程為E 432圓心M (x0,

12、y0)到y(tǒng)軸距離X0 ,圓M的半徑r X %若圓M與y軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則有 r d ,即"x0 1 2 y22化簡得y 2X0 1 0.,分X0 ，Q點(diǎn)M在橢圓C上，y； 3_ 2_ 一 .一3X0 8X0 16 0,解得:3 9.x2,代入以上不等式得:44X0,分又Q 2 x0 2,2X044八即點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍是2,-). 分23存在定圓N : X 116與圓M恒相切，其中定圓N的圓心為橢圓的左焦點(diǎn) Fi,半徑為橢圓C的長軸長4.分12.由橢圓定義知,MF1 MF2 2a 4,即 MF114，圓N與圓M恒內(nèi)切.6、已知橢圓Ci的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi(2,0)

13、 ,F22, 0 ,點(diǎn)A(2, 3)在橢圓C1上，過點(diǎn)A的直線L與拋物線C2 : x24 y交于B, C兩點(diǎn)，拋物線C2在點(diǎn)B,C處的切線分別為且li與(1)求橢圓Ci的方程;(2)是否存在滿足 PF1PF2標(biāo))；若不存在，說明理由.22(1)橢圓C1的方程為土 16 12AF1 AF2的點(diǎn)P若存在，指出這樣的點(diǎn) P有幾個(gè)(不必求出點(diǎn) P的坐1.1 2-1 2(2)解法 1 ：設(shè)點(diǎn) B(X1,-X1 ) ,C(X2, -X2)，則 BC 44(X21 . 22X1,-(X2 X14)，BA (2C 12 .X1,3 - X1 ),4uur A,B,C 三點(diǎn)共線，(，BC /uurBAX2化簡彳

14、導(dǎo):4 %x2)X1X212.汾由x2，拋物線C2在點(diǎn)B處的切線li的方程為1 2 4X1x1，、 r-2(x x1)，即X11 2x x1.24同理，拋物線 C2在點(diǎn)C處的切線l2的方程為 yX21 2一 x -x2.24設(shè)點(diǎn)P(x, y),由得:X1x 1x；2x 1X2,而 X1x2,24241/、X -(X1 X2).2代入得y1一 X1X2,則 2x X1 X2 , 4y X1X2代入 4得 4x 4y12 ,即點(diǎn)P的軌跡方程為y x 3.若PF, PF2AF1AF2 ,則點(diǎn)P在橢圓C1上，而點(diǎn)P又在直線y x 3上， 像直線y x 3經(jīng)過橢圓G內(nèi)一點(diǎn)(3,0)，直線y x 3與橢圓

15、G交于兩點(diǎn). 位滿足條件 PF1PF2AF1 AF2的點(diǎn)P有兩個(gè). 分42121解法 2：設(shè)點(diǎn) B(X1, y,)，C(X2, y?) , P(x0,yo),由 x 4y,即 y xy - x.4分421 25分.拋物線C2在點(diǎn)B處的切線11的方程為y y1x1(xx1)，即yXixy1- x1 .22y1一 x1 , yx42y1 .,.點(diǎn)P(x0, yo)在切線I上, . yoWxOy1.6分x9一同理，y0 -2Lx0 y2. 綜合、得，點(diǎn)B(x1,y1),C(x2,y2)的坐標(biāo)都滿足方程 yx2 x°y.;經(jīng)過B(x1,y1),C(x2,y2)的直線是唯一的，直線L的方程為

16、y 學(xué)x° y,2點(diǎn)A(2,3)在直線L上,y0 x0 3.點(diǎn)P的軌跡方程為v x 3.若PF,PF2AFiAF2 ,則點(diǎn)P在橢圓Ci上，又在直線y x 3上，12分直線y x 3經(jīng)過橢圓G內(nèi)一點(diǎn)(3,0)，直線y x 3與橢圓G交于兩點(diǎn).14.滿足條件 PF1 PF2 AF1 AF2的點(diǎn)P有兩個(gè).解法3:顯然直線L的斜率存在，設(shè)直線L的方程為3,Hy由2x3, 一消去x2 4kx8k120.4y，設(shè) B X1, y1，Cx2, y2，則X1X24k, x1x28k12.由x2lx2，得 y 41一 x.2，拋物線c2在點(diǎn) X ,、 rB處的切線11的方程為y y1；(x x1)，即

17、1 2V】-x1 y11 2一x1，4 y 芻 x212.，.一-x2. 同理將拋物線C2在點(diǎn)4c處的切線12的方程為2x2 .- PF1x2x22PF212一 x1 ,4 解得12x2, 4xx22x1x242k, P 2k,2k 3.2kAF1222k 2k 316121化簡得，點(diǎn)7k22P在橢圓C1 :162 y1212k30.(*)由2A1224 72280,可得方程(*)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè).7、已知雙曲線C的焦點(diǎn)分別為F1( 2j2,0), F2(2j5,0)，且雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)P(4j2,2j7).(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn) A在雙曲線

18、C上，點(diǎn)B在直線X-,一 UUU 版上，且OAuuuOB 0 ,是否存在以點(diǎn)為圓心的定圓恒與直線 AB相切若存在，求出該圓的方程，若不存在,請說明理由解：(1)解法一：依題意知雙曲線 C的焦點(diǎn)在X軸，設(shè)其方程為21 1.(a0,b 0)點(diǎn)P(4隹2 J7)在雙曲線C上,.2a |PFi| |PF2|(6：2) L(2二7)2, (272)=(a”)2又 c 2H . . b2c22a 4, 所求雙曲線C的方程為解法二：依題意知雙曲線2C的焦點(diǎn)在X軸，設(shè)其方程為 占 a2X42 y b242y41.1.(a-3 分0,b 0)1分點(diǎn)P(4夜2 J7)在雙曲線C上,.32 28 (-2-21 ,a

19、2b2 代入去分母整理得：a4X2所求雙曲線C的方程為 一468a2y4又 b2 8 a21.,一 2 一 . 2 一.c ,解得a 4, b 43分(2)設(shè)點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為(Xo,yo ),當(dāng)y t時(shí)，直線AB的方程為y t即(y(o t)x (Xo 、.2)y tx02V0(T2,t),其中 4y0 t (X ,2)X 202 或 X02.若存在以點(diǎn)。為圓心的定圓與AB相切，則點(diǎn)O到直線AB的距離必為定值,設(shè)圓心O到直線AB的距離為.(y0t)2 (X0uur OAuuuOB0,tyo0,y。2%V。一 2又X02y04 , 故2X2| ,叫1y0/2X0 2(y0 )2 c22| y-2| y0_22、，2|以y0212萬|,y0此時(shí)直線AB與圓X2 2.2X2 22y4 8y2 82(y2 2)V2V0-2|2_y0 21/一 211 分y0 21y0當(dāng)y° t時(shí),X0即(t2 4)(t2此時(shí)直線AB:綜上得存在定圓2) y2yt224相切,12.一一 .42，代入雙曲線C的方程并整理得t 2t 8 0,0 ,解得t 2 ,2 .也與圓X2 y2 4也相切.2y 4與直線AB相切.-13 分14分22-8、橢圓x2 。1（a b 0）過點(diǎn)（1,M2）, Fi,F2分別為橢圓