課后習(xí)題答案(2)

1、第二章牛頓定律2-1如圖(a)所示質(zhì)量為m的物體用平行于斜面的細(xì)線聯(lián)結(jié)置于光滑 的斜面上，若斜面向左方作加速運(yùn)動，當(dāng)物體剛脫離斜面時，它的加速度的大 小為()(A) gsin 0(B) gcos 0(C) gtan 0(D) gcot 0分析與解當(dāng)物體離開斜面瞬間，斜面對物體的支持力消失為零，物體在 繩子拉力Ft (其方向仍可認(rèn)為平行于斜面)和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向 左的加速度a,如圖(b)所示,由其可解得合外力為 mgcot。，故選(D).求解的關(guān)鍵 是正確分析物體剛離開斜面瞬間的物體受力情況和狀態(tài)特征.2 -2用水平力Fn把一個物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止.蘭F遍漸增大時，物體

2、所受的靜摩擦力Ff的大小()(A)不為零，但保持不變(B)隨Fn成正比地增大(C)開始隨Fn增大，達(dá)到某一最大值后，就保持不變(D)無法確定分析與解與滑動摩擦力不同的是，靜摩擦力可在零與最大值Fn范圍內(nèi)取值.當(dāng)Fn增加時，靜摩擦力可取的最大值成正比增加，但具體大小則取決 于被作用物體的運(yùn)動狀態(tài).由題意知，物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài)，故靜摩擦力與重力大小相等，方向相反，并保持不變，故選(A).2 -3 一段路面水平的公路，轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為R,汽車輪胎與路面間的 摩擦因數(shù)為山要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑，汽車在該處的行駛速率()(A)不得小于%丁薪(B)必須等于v1gR(C)不得大于v ©R(D

3、)還應(yīng)由汽車的質(zhì)量 m決定分析與解由題意知，汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動，為保證汽車轉(zhuǎn)彎時不側(cè)向打滑，所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供，能夠提供的最大向心力應(yīng)為Fn.由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為v=科Rg因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時的實(shí)際速率不大于此值，均能保證不側(cè)向打滑.應(yīng)選 (C).2 -4 物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑，在下滑過程中，則()(A)它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心，其速率保持不變(B)它受到的軌道的作用力的大小不斷增加(C)它受到的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心(D)它受到的合外力大小不變，其速率不斷增加用胃題2 -1圖分析與解由圖可知，物體在下滑過程中受到大小和

4、方向不變的重力以及時刻指向圓軌道中心的軌道支持力 Fn作用，其合外力方向并非指向圓心 ，其 大小和方向均與物體所在位置有關(guān). 重力的切向分量(m gcos 0)使物體的速 率將會不斷增加(由機(jī)械能守恒亦可判斷，則物體作圓周運(yùn)動的向心力(又稱2法向力)將不斷增大，由軌道法向方向上的動力學(xué)方程FN mgsin 0 m R可判斷，隨。角的不斷增大過程，軌道支持力Fn也將不斷增大，由此可見應(yīng)選 (B).2 -5圖(a)示系統(tǒng)置于以a =1/4 g的加速度上升的升降機(jī)內(nèi)，A、B兩 物體質(zhì)量相同均為 m,A所在的桌面是水平的，繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì) ，若 忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦，并不計(jì)空氣阻力，則繩中

5、張力為( )(A) 58 mg (B) 12 mg (C) mg (D) 2mg分析與解本題可考慮對A、B兩物體加上慣性力后，以電梯這個非慣性參考系進(jìn)行求解.此時 A、B兩物體受力情況如圖(b)所示，圖中a為A、B兩 物體相對電梯的加速度，ma為慣性力.對A、B兩物體應(yīng)用牛頓第二定律，可解得 Ft = 5/8 mg .故選(A).討論 對于習(xí)題2 -5這種類型的物理問題，往往從非慣性參考系 （本題 為電梯）觀察到的運(yùn)動圖像較為明確，但由于牛頓定律只適用于慣性參考系，故從非慣性參考系求解力學(xué)問題時，必須對物體加上一個虛擬的慣性力.如以地面為慣性參考系求解，則兩物體的加速度aA和aB均應(yīng)對地而言，

6、本題中 aA和aB的大小與方向均不相同.其中 aA應(yīng)斜向上.對aA、aB、a和a之 間還要用到相對運(yùn)動規(guī)律，求解過程較繁.有興趣的讀者不妨自己嘗試一下.2 -6圖示一斜面，傾角為底邊AB長為l = 2.1 m,質(zhì)量為m的物體從 題2 -6圖斜面頂端由靜止開始向下滑動 ，斜面的摩擦因數(shù)為 科=.t可，當(dāng)”為 何值時，物體在斜面上下滑的時間最短 其數(shù)值為多少分析 動力學(xué)問題一般分為兩類：（1）已知物體受力求其運(yùn)動情況；（2）已知物體的運(yùn)動情況來分析其所受的力.當(dāng)然，在一個具體題目中，這兩類問題并無截然的界限，且都是以加速度作為中介，把動力學(xué)方程和運(yùn)動學(xué)規(guī)律聯(lián) 系起來.本題關(guān)鍵在列出動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)方

7、程后，解出傾角與時間的函數(shù)關(guān)系"=f(t),然后運(yùn)用對t求極值的方法即可得出數(shù)值來.解取沿斜面為坐標(biāo)軸Ox,原點(diǎn)O位于斜面頂點(diǎn)，則由牛頓第二定律有mgsin 瓜 mg Ros a ma(1)又物體在斜面上作勻變速直線運(yùn)動，故有l(wèi)1212-at -g sin a pcos a t cos a 22則t ' (2)Vgcosasinaos a為使下滑的時間最短，可令d_ 0,由式(2)有 dsin a sin apcos a cos a cos apsin a 01 c則可得tan 2 a ,49(1此時二2l0.99 sVgcosasinaos a2 -7工地上有一吊車，將甲、

8、乙兩塊混凝土預(yù)制板吊起送至高空.甲塊 質(zhì)量為m = x 10kg,乙塊質(zhì)量為m2 = x 10kg.設(shè)吊車、框架和鋼絲繩的 質(zhì)量不計(jì).試求下述兩種情況下，鋼絲繩所受的張力以及乙塊對甲塊的作用力：(1)兩物塊以10.0 m -s -2的加速度上升；(2)兩物塊以1.0 m s-2的加速 度上升.從本題的結(jié)果，你能體會到起吊重物時必須緩慢加速的道理嗎分析預(yù)制板、吊車框架、鋼絲等可視為一組物體.處理動力學(xué)問題通 常采用 隔離體”的方法，分析物體所受的各種作用力，在所選定的慣性系中列出它們各自的動力學(xué)方程.根據(jù)連接體中物體的多少可列出相應(yīng)數(shù)目的方程式.結(jié)合各物體之間的相互作用和聯(lián)系，可解決物體的運(yùn)動或

9、相互作用力.解 按題意，可分別取吊車(含甲、乙)和乙作為隔離體，畫示力圖，并取豎 直向上為Oy軸正方向(如圖所示).當(dāng)框架以加速度a上升時，有Ft -(ml + m2 )g =(mi + m2 )aFn2 - m2 g = m2 a(2)解上述方程，得Ft = (mi + m2 )(g + a)(3)Fn2 = m2 (g + a)(4)(1)當(dāng)整個裝置以加速度 a =10 m s -2上升時，由式(3)可得繩所受張力 的值為Ft = X lON乙對甲的作用力為FN2 = -FN2 =-m2 (g +a) = x lON(2)當(dāng)整個裝置以加速度a =1 m s -2上升時，得繩張力的值為Ft

10、= x iOn此時,乙對甲的作用力則為F' N2= X 103 N由上述計(jì)算可見，在起吊相同重量的物體時 ，由于起吊加速度不同，繩中 所受張力也不同，加速度大，繩中張力也大.因此，起吊重物時必須緩慢加速 ， 以確保起吊過程的安全.2 -8如圖(a)所示，已知兩物體A、B的質(zhì)量均為m = 3.0kg物體A以加速度a =1.0 m-s -2運(yùn)動，求物體B與桌面間的摩擦力.（滑輪與連接繩的質(zhì)量不計(jì)）分析該題為連接體問題中張力大小處處相等是有條件的，同樣可用隔離體法求解.分析時應(yīng)注意到繩繩之間的摩擦不計(jì)的前提下成立.同時也要注意到張力方向是不同的.，即必須在繩的質(zhì)量和伸長可忽略、滑輪與A、mA

11、 g -Ft :F't 1 -Ff=mA a=mB a'(2)F't -2Fti =0考慮到mA = mB = m,Ft =口，F(xiàn)ti =Fti ,a = 2a,可聯(lián)立解得物體與桌面的摩擦力Ffmg m 4m a 72 N2.解 分別對物體和滑輪作受力分析圖（b）1 .由牛頓定律分別對物體B及滑輪列動力學(xué)方程，有討論 動力學(xué)問題的一般解題步驟可分為：（1）分析題意，確定研究對象分析受力，選定坐標(biāo)；（2）根據(jù)物理的定理和定律列出原始方程組；（3）解方程組，得出文字結(jié)果；（4）核對量綱，再代入數(shù)據(jù)，計(jì)算出結(jié)果來.2 -9質(zhì)量為m'的長平板A以速度v在光滑平面上作直線

12、運(yùn)動 ，現(xiàn)將質(zhì) 量為m的木塊B輕輕平穩(wěn)地放在長平板上，板與木塊之間的動摩擦因數(shù)為 內(nèi) 求木塊在長平板上滑行多遠(yuǎn)才能與板取得共同速度分析 當(dāng)木塊B平穩(wěn)地輕輕放至運(yùn)動著的平板A上時，木塊的初速度可視為零，由于它與平板之間速度的差異而存在滑動摩擦力，該力將改變它們的運(yùn)動狀態(tài).根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對地面的加速度.換以平板為參考系來分析，此時,木塊以初速度-v'節(jié)平板運(yùn)動速率大小相等、方向相反）作勻減速運(yùn)動，其加速度為相對加速度，按運(yùn)動學(xué)公式即可解得.該題也可應(yīng)用第三章所講述的系統(tǒng)的動能定理來解.將平板與木塊作為系統(tǒng)，該系統(tǒng)的動能由平板原有的動能變?yōu)槟緣K和平板一起運(yùn)動的動能，而它們的共同

13、速度可根據(jù)動量定理求得.又因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功，根據(jù)系統(tǒng)的動能定理，摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動能的增量.木塊相對平板移動的距 離即可求出.解1以地面為參考系，在摩寸力Ff =科mg的作用下，根據(jù)牛頓定律分 別對木塊、平板列出動力學(xué)方程Ff =mg= maiF'f =-Ff =m'a2ai和a2分別是木塊和木板相對地面參考系的加速度.若以木板為參考系,木塊相對平板的加速度 a = ai +a2，木塊相對平板以初速度-v作勻減速 運(yùn)動直至最終停止.由運(yùn)動學(xué)規(guī)律有-v2 =2as由上述各式可得木塊相對于平板所移動的距離為2m vs 2回m m解2以木塊和平板為系統(tǒng)，它們之間一對摩擦力

14、作的總功為W = Ff (s + l) -Ff i =mgs式中l(wèi)為平板相對地面移動的距離.由于系統(tǒng)在水平方向上不受外力，當(dāng)木塊放至平板上時，根據(jù)動量守恒定 律，有m V'= (m '+ m) v"由系統(tǒng)的動能定理，有mgs 1mv2 1m mv2由上述各式可得2m v s 2回m m2 -10如圖(a)所示,在一只半徑為R的半球形碗內(nèi)，有一粒質(zhì)量為m的小鋼球，當(dāng)小球以角速度 3在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動時，它距碗底有多局(h)題2IO圖分析維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動時，必須使鋼球受到一與向心加速度相對應(yīng)的力(向心力，而該力是由碗內(nèi)壁對球的支持力Fn的分力

15、來提供的，由于支持力Fn始終垂直于碗內(nèi)壁，所以支持力的大小和方向是隨3而變的.取圖示 Oxy坐標(biāo)，列出動力學(xué)方程，即可求解鋼球距碗底的高度.解取鋼球?yàn)楦綦x體，其受力分析如圖(b)所示.在圖示坐標(biāo)中列動力學(xué) 方程2FNsin 0 man mRcosin 0(i)FnCOS 0 mg(2)且有cos 0 h(3)R由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為 h R片可見,h隨油勺變化而變化.2 -11火車轉(zhuǎn)彎時需要較大的向心力，如果兩條鐵軌都在同一水平面內(nèi)(內(nèi)軌、外軌等高，這個向心力只能由外軌提供，也就是說外軌會受到車輪對它很大的向外側(cè)壓力，這是很危險的.因此，對應(yīng)于火車的速率及轉(zhuǎn)彎處的曲 率半徑，必須使

16、外軌適當(dāng)?shù)馗叱鰞?nèi)軌，稱為外軌超高.現(xiàn)有一質(zhì)量為m的火車, 以速率v沿半彳空為R的圓弧軌道轉(zhuǎn)彎，已知路面傾角為。，試求：(1)在此條件 下，火車速率vo為多大時，才能使車輪對鐵軌內(nèi)外軌的側(cè)壓力均為零(2)如果火車的速率V為0，則車輪對鐵軌的側(cè)壓力為多少題2 - 11國分析 如題所述，外軌超高的目的欲使火車轉(zhuǎn)彎的所需向心力僅由軌道 支持力的水平分量FNsinQ提供(式中0角為路面傾角).從而不會對內(nèi)外軌產(chǎn) 生擠壓.與其對應(yīng)的是火車轉(zhuǎn)彎時必須以規(guī)定的速率vo行駛.當(dāng)火車行駛速率V內(nèi)0時,則會產(chǎn)生兩種情況：如圖所示，如v> vo時，外軌將會對車輪產(chǎn)生斜向內(nèi)的側(cè)壓力Fi ,以補(bǔ)償原向心力的不足，如

17、vvvo時，則內(nèi)軌對車輪產(chǎn)生斜向 外的側(cè)壓力F2，以抵消多余的向心力，無論哪種情況火車都將對外軌或內(nèi)軌產(chǎn) 生擠壓.由此可知，鐵路部門為什么會在每個鐵軌的轉(zhuǎn)彎處規(guī)定時速，從而確保行車安全.解(1)以火車為研究對象，建立如圖所示坐標(biāo)系.據(jù)分析，由牛頓定律有2 viFnSia 0m(1)RFN cos 0mg 0(2)解(1)(2)兩式可得火車轉(zhuǎn)彎時規(guī)定速率為Iv0 JgRtan 0(2)當(dāng)v> vo時，根據(jù)分析有2 v FNSin 0 F1cos 0 mRFNcos 0 F1sin 0 mg 0解(3)(4)兩式，可得外軌側(cè)壓力為(4)Fi2v八m cos 0Rgsin 0當(dāng)vv V0時，根

18、據(jù)分析有2VFNSin 0 F2cos 0 m RFN cos 0 F2sin 0 mg 0解(5)(6)兩式，可得內(nèi)軌側(cè)壓力為(6)m gsin 02cos0R2 -12 雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁.總質(zhì)量為m,圓筒半徑為R演員騎摩托車在直壁上以速率設(shè)演員和摩托車的v作勻速圓周螺旋分析 雜技演員(連同摩托車)的運(yùn)動可以看成一個水平面內(nèi)的勻速率圓周運(yùn)動和一個豎直向上勻速直線運(yùn)動的疊加.其旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋線軌跡展開后，相當(dāng)于如圖(b)所示的斜面.把演員的運(yùn)動速度分解為圖示的vi和v2兩個分量，顯然v1是豎直向上作勻速直線運(yùn)動的分速度，而v2則是繞圓筒壁作水平圓周運(yùn)動的分速度，其中向心

19、力由筒壁對演員的支持力FN的水平分量FN2提供，而豎直分量FN1則與重力相平衡.如圖所示，其中4角為摩托車與 筒壁所夾角.運(yùn)用牛頓定律即可求得筒壁支持力的大小和方向解設(shè)雜技演員連同摩托車整體為研究對象，據(jù)（b）（c）兩圖應(yīng)有Fni mg 0(2)2 v Fn2 m R八2水v2 VCOS0 v ；22v1 2 R h以式（3）代入式（2），得F N2FnFniFN2(4).22 2m 4 冗 R v 2c2-2R 4 冗 Rh224 tt Rmv2 -2-24 tt R h將式（1）和式（5）代入式（4）,可求出圓筒壁對雜技演員的作用力 大小為（即支承力）Fn . FN21FN222m. g4

20、,Rv224，R2 h2與壁的夾角4為arctanFN2Fniarctan'4，Rv24/R2 h2 g討論表演飛車走壁時，演員必須控制好運(yùn)動速度，行車路線以及摩托車 的方位，以確保三者之間滿足解題用到的各個力學(xué)規(guī)律.,X0 =2 -13 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動，其受力如圖所示，設(shè)t =0時,v0=5m-s-12 m,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m = 1kg試求該質(zhì)點(diǎn)7 s末的速度和位置坐標(biāo).分析首先應(yīng)由題圖求得兩個時間段的F(t)函數(shù),進(jìn)而求得相應(yīng)的加速度函數(shù)，運(yùn)用積分方法求解題目所問，積分時應(yīng)注意積分上下限的取值應(yīng)與兩 時間段相應(yīng)的時刻相對應(yīng).解由題圖得2t,35 5t,5st 5st 7s由牛頓定律可得

21、兩時間段質(zhì)點(diǎn)的加速度分別為a 2t,0 t5sa 35 5t,5s t 7s積分后得再由vdx /日一得dt積分后得時間段，由a5t3t3將t =5s代入，得V5=30 mdV/日記得VdvV0tadt05 t2xdxX0tvdt0,s -1 和 x5 = 68.7 m5 s V t < 7 s時間段，用同樣方法有vtdva2dtv5 s2.5t2 82.5ttvdt5s和 X7 = 142 mv 35tX再由dxx5X =將t = 7 s代入分別得V7= 40 m s -12 -14 一質(zhì)量為10 kg的質(zhì)點(diǎn)在力F的作用下沿x軸作直線運(yùn)動，已知F = 120t +40，式中F的單位為N

22、,t的單位的s.在t =0時，質(zhì)點(diǎn)位于x =5.0 m處,其速度V0=6.0 m s -1 .求質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的速度和位置.分析這是在變力作用下的動力學(xué)問題.由于力是時間的函數(shù)，而加速度2= dv/dt,這時，動力學(xué)方程就成為速度對時間的一階微分方程，解此微分方程可得質(zhì)點(diǎn)的速度v （t）;由速度的定義v=dx /dt,用積分的方法可求出質(zhì)點(diǎn)的 位置.解 因加速度a=dv/dt,在直線運(yùn)動中，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律有 dv 120t 40 mdt依據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的初始條件，即t0 =0時vo =6.0 m S-1,運(yùn)用分離變量法 對上式積分，得vtdv 12.0t 4.0 dtv00v= +又因v= dx

23、/d t,并由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的初始條件：to =0時xo =5.0 m,對上式分離變量后積分，有xt2dx 6.0 4.0t 6.0t dtx00x = + +2 -15 輕型飛機(jī)連同駕駛員總質(zhì)量為X 10kg.飛機(jī)以55.0 m s-1的速率在水平跑道上著陸后，駕駛員開始制動，若阻力與時間成正比，比例系數(shù) X 10 N -s -1 ,空氣對飛機(jī)升力不計(jì)，求：（1）10 s后飛機(jī)的速率；（2）飛機(jī)著陸 后10 s內(nèi)滑行的距離.分析飛機(jī)連同駕駛員在水平跑道上運(yùn)動可視為質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動.其水平方向所受制動力F為變力，且是時間的函數(shù).在求速率和距離時 ，可根據(jù)動 力學(xué)方程和運(yùn)動學(xué)規(guī)律，采用分離變量法求解.解

24、 以地面飛機(jī)滑行方向?yàn)樽鴺?biāo)正方向，由牛頓運(yùn)動定律及初始條件，有F maVdvV0dv mdtt戊I 一 dt mVoa f22m因此，飛機(jī)著陸10 s后的速率為v = 30 m-1xv0dxx0故飛機(jī)著陸后10 s內(nèi)所滑行的距離s x x0v0ta6mt3467 m高臺上由靜止跳下落入水，并略去空氣阻力.運(yùn)動員2 -16 質(zhì)量為m的跳水運(yùn)動員，從10.0 m 中.高臺距水面距離為 h.把跳水運(yùn)動員視為質(zhì)點(diǎn) 入水后垂直下沉，水對其阻力為bv2,其中b為一常量.若以水面上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)Q豎直向下為Oy軸，求：（1）運(yùn)動員在水中的速率 v與y的函數(shù)關(guān)系；（2）如b /m = 0.40m -1 ,跳水

25、運(yùn)動員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率vo的1 /10 （假定跳水運(yùn)動員在水中的浮力與所受的重力大小恰好 相等）分析 該題可以分為兩個過程，入水前是自由落體運(yùn)動，入水后，物體受 重力P、浮力F和水的阻力Ff的作用，其合力是一變力，因此，物體作變加速運(yùn) 動.雖然物體的受力分析比較簡單 ，但是，由于變力是速度的函數(shù)（在有些問題中變力是時間、位置的函數(shù)，對這類問題列出動力學(xué)方程并不復(fù)雜，但要從它計(jì)算出物體運(yùn)動的位置和速度就比較困難了.通常需要采用積分的方法去解所列出的微分方程.這也成了解題過程中的難點(diǎn).在解方程的過程中，特別需要注意到積分變量的統(tǒng)一和初始條件的確定.解(1)運(yùn)動員入水前

26、可視為自由落體運(yùn)動，故入水時的速度為Vo 2gh運(yùn)動員入水后面牛頓定律得P -Ff -F =ma 由題意 P =F、Ff = bv2,而 a =dv /dt = v (d v /dy),代 入上式后得-bv2= mv (d v /dy)考慮到初始條件yo = 0時，vo %/2gh，對上式積分，有tm , v dv一 dy0b vo vv°eby/ m.2ghe by/m(2)將已知條件b/m =0.4 m -1 ,v = 代入上式，則得m, vy ln 5.76 mbv0*2 -17 直升飛機(jī)的螺旋槳由兩個對稱的葉片組成.每一葉片的質(zhì)量m= 136 kg,長l=3.66 m.求當(dāng)它

27、的轉(zhuǎn)速 n=320 r/min 時，兩個葉片根部的張力.(設(shè)葉片是寬度一定、厚度均勻的薄片 )題217圖分析 螺旋槳旋轉(zhuǎn)時，葉片上各點(diǎn)的加速度不同，在其各部分兩側(cè)的張力也不同；由于葉片的質(zhì)量是連續(xù)分布的，在求葉片根部的張力時，可選取葉片上一小段，分析其受力，列出動力學(xué)方程，然后采用積分的方法求解.解設(shè)葉片根部為原點(diǎn)。，沿葉片背離原點(diǎn)O的方向?yàn)檎?，距原點(diǎn)O為r處的長為dr一小段葉片，其兩側(cè)對它的拉力分別為F"r)與FNr+dr).葉片轉(zhuǎn)動時，該小段葉片作圓周運(yùn)動，由牛頓定律有 m 2 ,dFTFt rFt r dr w rdr由于r =l時外側(cè)Ft =0,所以有tFt rdFT,2l

28、 m 3rdrr l22 Tmn , 22l rl2m W 22FT rl r2l上式中取r =0,即得葉片根部的張力Fto = x iOn負(fù)號表示張力方向與坐標(biāo)方向相反.2 -18 質(zhì)量為m的小球最初位于如圖（a）所示的A點(diǎn),然后沿半徑為r 的光滑圓軌道ADCB下滑.試求小球到達(dá)點(diǎn) C時的角速度和對圓軌道的作用 力.分析 該題可由牛頓第二定律求解.在取自然坐標(biāo)的情況下，沿圓弧方向的加速度就是切向加速度a t,與其相對應(yīng)的外力Ft是重力的切向分量mgsin”,而與法向加速度 an相對應(yīng)的外力是支持力Fn和重力的法向分量mg cos a.由此，可分別列出切向和法向的動力學(xué)方程Ft = mdv/d

29、t和Fn =man .由于小球在滑動過程中加速度不是恒定的，因此，需應(yīng)用積分求解，為使運(yùn)算簡便，可轉(zhuǎn)換積分變量.倡該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解小球的速度和角速度，方法比較簡便.但它不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力.解小球在運(yùn)動過程中受到重力P和圓軌道對它的支持力Fn ,取圖（b）所示的自然坐標(biāo)系曲牛頓定律得Ftmgsin adv m一dtFnFN mgcos2 mv m mR(2), ds rd a /口 口由v，得dtdt dt的始末條件，進(jìn)行積分，有rd 代入式（1）,并根據(jù)小球從點(diǎn) A運(yùn)動到點(diǎn)CVvdvvo90orgsind得v2rgcosa則小球在點(diǎn)C

30、的角速度為vGJ r,2gcos a/r2lmv八由式（2）得FN m mgcos a 3mgcos ar由此可得小球?qū)A軌道的作用力為FNFN3mgcos a負(fù)號表示F N與en反向.2 -19光滑的水平桌面上放置一半徑為 R的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi) 側(cè)作圓周運(yùn)動，其摩擦因數(shù)為山開始時物體的速率為vo，求：（1） t時刻物體的 速率；（2）當(dāng)物體速率從v。減少到12 vo時,物體所經(jīng)歷的時間及經(jīng)過的路程.把2-19國分析 運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)之間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的，因而，可先分析動力學(xué)問題.物體在作圓周運(yùn)動的過程中，促使其運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化的是圓環(huán)內(nèi)側(cè)對物體的支持力 FN和環(huán)與物體之間的摩擦

31、力 Ff ,而摩擦力大小與正 壓力Fn成正比，且Fn與Fn又是作用力與反作用力 ，這樣，就可通過它們把切向 和法向兩個加速度聯(lián)系起來了，從而可用運(yùn)動學(xué)的積分關(guān)系式求解速率和路程.解（1）設(shè)物體質(zhì)量為m,取圖中所示的自然坐標(biāo)，按牛頓定律，有2 mv Fn man -R-dvFfmatdt由分析中可知，摩擦力的大小Ff=N曲上述各式可得2,vdv(1 Rdt取初始條件t =0時v =V0，并對上式進(jìn)行積分，有tdt oR v dv一、，-2a 。vRv。R v。心(2)當(dāng)物體的速率從v。減少到1/2v。時，由上式可得所需的時間為t物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程ts °vdtsw。R v。心

32、鳥n2(12 -20 質(zhì)量為45.。kg的物體，由地面以初速6。.。m s -1豎直向上發(fā)射， 物體受到空氣的阻力為 Fr =kv,且k = N/( m s -1 ). (1)求物體發(fā)射到最大 高度所需的時間.(2)最大高度為多少分析物體在發(fā)射過程中，同時受到重力和空氣阻力的作用，其合力是速率v的一次函數(shù)，動力學(xué)方程是速率的一階微分方程，求解時，只需采用分離變量的數(shù)學(xué)方法即可.但是，在求解高度時，則必須將時間變量通過速度定義 式轉(zhuǎn)換為位置變量后求解，并注意到物體上升至最大高度時，速率應(yīng)為零.解(1)物體在空中受重力 mg和空氣阻力Fr =kv作用而減速.由牛頓 定律得, dvmg kvm-dt

33、(1)根據(jù)始末條件對上式積分，有tdtovodvvmg kv,m. t ln kkv06.11smg（2）利用業(yè) vdv的關(guān)系代入式dt dy，可得分離變量后積分討論如不考慮空氣阻力mgkvdvmv一 dyyodymvdvvomgkv詈inkvomgvo183 m，則物體向上作勻減速運(yùn)動.由公式y(tǒng) v分別算得t-s和y84 m,均比實(shí)際值略大一些. 2g2 -21物體自地球表面以速率vo豎直上拋.假定空氣對物體阻力的 值為Fr = kmv2，其中m為物體的質(zhì)量,k為常量.試求：（1）該物體能上升的 高度；（2）物體返回地面時速度的值.（設(shè)重力加速度為常量.）of Q2 -21 11分析 由于空

34、氣對物體的阻力始終與物體運(yùn)動的方向相反，因此，物體在上拋過程中所受重力 P和阻力Fr的方向相同；而下落過程中，所受重力P和 阻力Fr的方向則相反.又因阻力是變力，在解動力學(xué)方程時，需用積分的方法.解分別對物體上拋、下落時作受力分析，以地面為原點(diǎn)，豎直向上為y軸（如圖所示）.（1）物體在上拋過程中，根據(jù)牛頓定律有,2 dv vdvmg kmv m mdt dy依據(jù)初始條件對上式積分，有y0 vdvdy 20v0 g kvgkv2一 I 2gkv0物體到達(dá)最高處時，v =0,故有,1 , g kv2hymax帖02k g（2）物體下落過程中，有dy2 vdv mg kmv m對上式積分，有0 vd

35、vv。g kv2o 1/2.kvVVo 1 g2 -22質(zhì)量為m的摩托車，在恒定的牽引力F的作用下工作，它所受的阻 力與其速率的平方成正比，它能達(dá)到的最大速率是Vm ,試計(jì)算從靜止加速到 Vm/2所需的時間以及所走過的路程.分析該題依然是運(yùn)用動力學(xué)方程求解變力作用下的速度和位置的問題，求解方法與前兩題相似，只是在解題過程中必須設(shè)法求出阻力系數(shù)k.由于阻力Fr =kv2，且Fr又與，ff力F的方向相反；故當(dāng)阻力隨速度增加至與恒力大 小相等時，加速度為零，此時速度達(dá)到最大.因此,根據(jù)速度最大值可求出阻力 系數(shù)來.但在求摩托車所走路程時，需對變量作變換.解 設(shè)摩托車沿x軸正方向運(yùn)動，在牽引力F和阻力

36、Fr同時作用下，由牛 頓定律有2 dv F kv m dt當(dāng)加速度a = dv/dt =0時，摩托車的速率最大，因此可得(2)k=F/Vm22 V 2 v m由式（1）和式（2）可得dv m一dt根據(jù)始末條件對式（3）積分，有tdto1二 vm210V 2 v mdvmvm2Fln3dv mvdv又因式(3)中m dt dx，再利用始末條件對式（3）積分，有xdxoVm2 vmdv2/2嗎 ln4 0.144嗎2F 3F*2 -23飛機(jī)降落時，以vo的水平速度著落后自由滑行，滑行期間飛機(jī)受 到的空氣阻力F1=-k1 v2，升力F2= k2 v2 ,其中v為飛機(jī)的Vt行速度，兩個系數(shù)之 比k1/

37、 k2稱為飛機(jī)的升阻比.實(shí)驗(yàn)表明 ，物體在流體中運(yùn)動時，所受阻力與速 度的關(guān)系與多種因素有關(guān) ，如速度大小、流體性質(zhì)、物體形狀等.在速度較小或流體密度較小時有 F0c v,而在速度較大或流體密度較大的有F8 v2，需要精確計(jì)算時則應(yīng)由實(shí)驗(yàn)測定.本題中由于飛機(jī)速率較大，故取Fa v2作為計(jì)算依據(jù)設(shè)飛機(jī)與跑道間的滑動摩擦因數(shù)為以試求飛機(jī)從觸地到靜止所滑行的距離.以上計(jì)算實(shí)際上已成為飛機(jī)跑道長度設(shè)計(jì)的依據(jù)之一.分析 如圖所示，飛機(jī)觸地后滑行期間受到 5個力作用，其中F1為空氣阻 力，F(xiàn)2為空氣升力，F(xiàn)3為跑道作用于飛機(jī)的摩擦力，很顯然飛機(jī)是在合外力為變力的情況下作減速運(yùn)動，列出牛頓第二定律方程后，用

38、運(yùn)動學(xué)第二類問題 的相關(guān)規(guī)律解題.由于作用于飛機(jī)的合外力為速度v的函數(shù)，所求的又是飛機(jī)滑行距離X因此比較簡便方法是直接對牛頓第二定律方程中的積分變量dtdx進(jìn)行彳t換，將dt用dx代替，得到一個有關(guān)v和x的微分方程，分離變量后再作積分.解取飛機(jī)滑行方向?yàn)閤的正方向，著陸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，根據(jù) 牛頓第二定律有Fnkv2dv m一 dtFnk2v2mg 0(2)將式(2)代入式(1)，并整理得,2 dv dvmgk|（k2 vmmv dt dx分離變量并積分，有v mvdv,2 dxv0 jmgk1水2 V 0得飛機(jī)滑行距離m .1mgk|由2 v2x In （3）考慮飛機(jī)著陸瞬間有2 ki

39、水2mgFn=0和v= vo，應(yīng)有k2vo2 = mg,將其代入(3)式，可得飛機(jī)滑行距離x的另一表達(dá)式kvln2g ki區(qū)2ki比2討論 如飛機(jī)著陸速度vo= 144 km h-1 ,尸,升阻比 5 ,可算得飛機(jī) k2的滑行距離x =560 m,設(shè)計(jì)飛機(jī)跑道長度時應(yīng)參照上述計(jì)算結(jié)果.2 -24在卡車車廂底板上放一木箱，該木箱距車箱前?&擋板的距離L =2.0 m,已知剎車時卡車的加速度 a =7.0 m s -2 ,設(shè)剎車一開始木箱就開始滑 動.求該木箱撞上擋板時相對卡車的速率為多大設(shè)木箱與底板間滑動摩擦因 數(shù)尸.分析 如同習(xí)題2 -5分析中指出的那樣，可對木箱加上慣性力F0后，以車

40、廂為參考系進(jìn)行求解，如圖所示，此時木箱在水平方向受到慣性力和摩擦力 作用，圖中a為木箱相對車廂的加速度.解由牛頓第二定律和相關(guān)運(yùn)動學(xué)規(guī)律有F0-Ff = ma -科 mg= ma'(1)v' 2 =2a，L(2)聯(lián)立解(1)(2)兩式并代入題給數(shù)據(jù)，得木箱撞上車廂擋板時的速度為2v <2 a 囚 L 2.9 m s*2 -25 如圖（a）所示，電梯相對地面以加速度 a豎直向上運(yùn)動.電梯中有 一滑輪固定在電梯頂部，滑輪兩側(cè)用輕繩懸掛著質(zhì)量分別為 mi和m2的物體 A和B.設(shè)滑輪的質(zhì)量和滑輪與繩索間的摩擦均略去不計(jì).已知 mi >m2，如 以加速運(yùn)動的電梯為參考系 ，求

41、物體相對地面的加速度和繩的張力.（3 ）題2 -25圖分析 如以加速運(yùn)動的電梯為參考系 ，則為非慣性系.在非慣性系中應(yīng)用牛頓定律時必須引入慣性力.在通常受力分析的基礎(chǔ)上，加以慣性力后，即可列出牛頓運(yùn)動方程來.解 取如圖（b）所示的坐標(biāo)，以電梯為參考系，分別對物體A、B作受力分 析，其中Fi =mia,F2 = m2a分別為作用在物體 A、B上的慣性力.設(shè)ar為物 體相對電梯的加速度，根據(jù)牛頓定律有m1gm1aFT1m1ar由上述各式可得m2 gm2aFT2m2ar(2)Ft2Ft2mim2ar g am1m22m1m2FT2 FT2g am1 m2由相對加速度的矢量關(guān)系，可得物體A、B對地面的加速度值為m1 m2 g 2m2 a a1 ar a ml m22m1a m1 m2 ga2ar a mi m2a2的方向向上，ai的方向由ar和a的大小決定.當(dāng) ar va,即mig -m2g-2m2 a>0時,ai的方向