第10講函數(shù)模型及其應(yīng)用(2)

1、高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型解法歸納及反饋檢測(cè)第10講函數(shù)模型及其應(yīng)用(2)【知識(shí)要點(diǎn)】一、三種增長(zhǎng)型函數(shù)的增長(zhǎng)速度的比較xn1、指數(shù)函數(shù)y a (a 1)與帚函數(shù)y x (n 0)在區(qū)間(0,),無(wú)論n比a大多少， 盡管在x的一定范圍內(nèi)ax會(huì)小于xn,但由于y ax的增長(zhǎng)速度快于y xn的增長(zhǎng)速度，因x n而總存在一個(gè)x0，當(dāng)x x0時(shí)有ax .2、對(duì)數(shù)函數(shù)y log a x(a 1)與募函數(shù)y xn(n 0)對(duì)數(shù)函數(shù)y log a x(a 1)的增 長(zhǎng)速度，不論a與n值的大小如何總會(huì)慢于 y xn的增長(zhǎng)速度，因而在定義域內(nèi)總存在一個(gè) 實(shí)數(shù)x0,當(dāng)x x0時(shí)有xn log a x .3、由(1)(2)可

2、以看出三種增長(zhǎng)型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，且不 在同一個(gè)檔次上，因此在(0,)上，總會(huì)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0 ,當(dāng)x x0時(shí)有 ax xn loga x(a 1).二、分段函數(shù)在函數(shù)的定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，則稱這個(gè)函 數(shù)為分段函數(shù).分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).分段函數(shù)書(shū)寫(xiě)時(shí)，注意格式規(guī)范，一般在左邊的區(qū)間寫(xiě)在上面，每一段自變量的取值范圍的交集為空集五.解決實(shí)際問(wèn)題的解題過(guò)程(1)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象概括： 研究實(shí)際問(wèn)題中量與量之間的關(guān)系，確定變量之間的主、被動(dòng)關(guān)系，并用x、y分別表示問(wèn)題中的變量；(2)建立函數(shù)模型：將變量 y表示為x的函數(shù)，

3、在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一 般都是函數(shù)的解析式；(3)求解函數(shù)模型：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù) 知識(shí)求得函數(shù)模型的解，并還原為實(shí)際問(wèn)題的解這些步驟用框圖表示:三.解應(yīng)用題的一般程序(1)讀：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ)；(2)建：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.熟悉基 本數(shù)學(xué)模型，正確進(jìn)行建 ?！笔顷P(guān)鍵的一關(guān)；(3)解：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論 .一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實(shí)際意義，更 要注意巧思妙作，優(yōu)化過(guò)程；(4)答：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果.【方法講評(píng)】函數(shù)的模型1指數(shù)函數(shù)

4、模型解題步驟先建立指數(shù)函數(shù)模型，再解答 .【例1】某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬(wàn)人，如果年自然增長(zhǎng)率為 1.2%,試解答下面的問(wèn)題:(1)寫(xiě)出該城市人口總數(shù) y (萬(wàn)人)與年份 x (年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到 0.1萬(wàn)人)；(3)計(jì)算大約多少年以后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人(精確到1年)._10_15_ 16_(1.0121.127,1.0121.196,1.0121.210)【反饋檢測(cè)1】1999年10月12日 世界60億人口日”，提出了 人類對(duì)生育的選擇將決定世界未來(lái)”的主題，控制人口急劇增長(zhǎng)的緊迫任務(wù)擺在我們的面前（1）世界人口在過(guò)去 40年內(nèi)翻了一番，

5、問(wèn)每年人口平均增長(zhǎng)率是多少？（2）我國(guó)人口在1998年底達(dá)到12.48億，若將人口平均增長(zhǎng)率控制在1%以內(nèi)，我國(guó)人口在2008年底至多有多少億？以下數(shù)據(jù)供計(jì)算時(shí)使用：數(shù)N1.0101.0151.0171.3102.000對(duì)數(shù)lg N0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0數(shù)N3.0005.00012.4813.1113.78對(duì)數(shù)lg N0.477 10.699 01.096 21.117 61.139 2【反饋檢測(cè)2（1）某種儲(chǔ)蓄的月利率是 0.36%,今存入本金100元，求本金與利息的和（即本息和）y （元）與所存月數(shù)X之間的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算 5個(gè)月后的本息和

6、（不計(jì)復(fù)利）.（2）按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為 a元，每期利率為r ,設(shè)本利和為y ,存期為X,寫(xiě)出本利和y隨存期X變化的函數(shù)式.如果存入本金1 000元，每期利率2.25%,試計(jì)算5期后的本利和是多少？函數(shù)的模型2對(duì)數(shù)函數(shù)模型解題步驟先建立對(duì)數(shù)函數(shù)*II型，再解答 .【例2】燕子每年秋天都要從北方飛向南方過(guò)冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行 由叫一Q苴中”一的抨一 速度可以表不為函數(shù) V 5log2L，單位是m/s,其中Q表小燕子的耗氧量.10(1)試計(jì)算：燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單位?(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少?【反饋檢測(cè)3】長(zhǎng)春亞泰足球俱樂(lè)部

7、準(zhǔn)備為救助失學(xué)兒童在吉林省體育中心體育場(chǎng)舉行一場(chǎng)足球義賽，預(yù)at賣出門(mén)票 2.4萬(wàn)張，票價(jià)有3元、5元和8元三種，且票價(jià) 3元和5元的張數(shù)的積為0.6萬(wàn)張.設(shè)X是門(mén)票的總收入，經(jīng)預(yù)算，扣除其他各項(xiàng)開(kāi)支后，該俱樂(lè)部的純收入為函數(shù)y lg2x,則這三種門(mén)票的張數(shù)分別為 萬(wàn)張時(shí)可以為失學(xué)兒童募捐的純收入最大.第5頁(yè)函數(shù)的模型3分段函數(shù)模型解題步驟先建立分段函數(shù)模型，再解答 .【例3】 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用下圖中（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用下圖中（2）的拋物線表示.1) P ft;寫(xiě)出圖中（2）表（1）寫(xiě)出圖中（1）表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q g t ；（2）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大（注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/kg ,時(shí)間單位：天）【反饋檢測(cè)4】在一般情況下，大橋上的車流速度v （單位：千米/小時(shí)）是車流密度 x（單位：輛/千米）的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0;當(dāng)0 x 20時(shí)，車流速度為 60千米/小時(shí).研究表明：當(dāng) 20 x 20