關(guān)于二面角的平面角定位分析

1、.關(guān)于二面角的平面角定位分析 王璐【】空間角是立體幾何中一個重要概念，它是空間圖形的一個突出的量化指標，是空間圖形位置關(guān)系的詳細表達。解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于“三定：定性分析定位作圖定量計算，其中定性是定位、定量的根底，而定量那么是定位、定性的深化。在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，故對二面角的平面角的定位是關(guān)鍵。【】平面角；定性分析；定位作圖；定量計算;點;垂線段;垂平面PositioningAnalysisonthedihedralangleof【Abstract】Three-dimensionalge

2、ometryofspaceangleisanimportantconcept,whichisaprominentspacegraphicsquantitativeindicators,therelationshipbetweenspatiallocationofaconcreteembodimentofgraphics.Three-dimensionalgeometrytosolvetheproblemliesin"determiningthreethings":aqualitativeanalysislocationmappingquantitativecalculati

3、on,whichisthelocationofqualitativeandquantitativebasisandisthelocationofquantitative,qualitativeindepth.Inallthingsrelationship,thedihedralangleisoneoftheimportantconceptsinone,itcomesdowntoflattopcornerofthemetricmeasurement,ingeneral,theirplaneanglepositioningisaprerequisitestepinproblem-solving,s

4、opairsofdihedralangleTheplaneanglepositioningisthekey.【Keywords】Planeangle;Qualitativeanalysis;Locationmapping;Quantitativecalculation;Point;Verticalsection;Verticalplane1二面角的平面角的特征、是由出發(fā)的兩個半平面,O是l上任意一點，OC，且OCl；CD，且ODl。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即COD是二面角-l-的平面角。它有如以下特征：過棱上任意一點，其平面角是唯一的；其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；另外，假設(shè)在

5、OC上任取上一點A，作ABOD于B,那么由特征知AB.通過l、OA、OB、AB，之間的關(guān)系，便得到另一特征；：表達出三垂線定理或逆定理的環(huán)境背景。2二面角的平面角的特征剖析由于二面角的平面角是由一點和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點或“定線面的問題。特征說明：其平面角的定位可先在棱上取一“點，但這點必須與問題背景互相溝通，給計算提供方便。特征指出：假如二面角-l-的棱l垂直某一平面與、的交線，那么交線所成的角即為-l-的平面角，：由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面。特征顯示：假如二面角-l-的兩個半平面之一，存在垂線段AB，由作OBl于，連OA，由三垂線定理可

6、知OAl；或由作OAl于，連OB。由三垂線逆定理可知OBl。此時，AOB即為二面角-l-的平面角。由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段以上三個特征提供的思路在解決詳細問題時各具特色，其目的是分別找“點、“垂面、“垂線段。事實上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而至掌握這種關(guān)系對進步解題技能和培養(yǎng)空間想象力非常重要。3二面角的平面角的定位分析例1：是矩形ABCD邊CD的中點，且，CD=，BC=，現(xiàn)沿AE將DAE折起至DAE，使得D到B、C兩點的間隔 相等，求二面角D-BC-A的大小。解析：取AE中點P，BC中點Q那么可得PQBC，又由DB=DC，得DQBC，DQP是二面角D-BC-A的

7、平面角。經(jīng)計算得：DQP23找“點，由定義確定二面角的平面角。例：矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線AC把ABC折起，使點B在平面ADC內(nèi)的射影B恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。解析：這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問題，解決問題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后“變與“不變。在平面圖形中過作BEAC交AC于O、交AD于E，那么折疊后OB、OE與AC的垂直關(guān)系不變但OB與OE此時變成相交兩線段并確定一平面，此平面必與棱AC垂直。由特征知，面BOE與面BAC、面DAC的交線OB與OE所成的角BOE，即為所求二面角的平面角。另外，點B在面DAC上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在

8、AD上,所以E點就是B點，這樣的定位給下面的定量提供了便捷條件。經(jīng)計算：OB=AB·BCAC=3×45=125，AO=AB2AC=95，OE=AO·CDAD=2720，在RtBEO中，設(shè)BOE，那么cos=OEOB=916，0°180°，=arccos916，即所求二面角B-AC-D為arccos916，通過對例2的定性分析、定位作圖和定量計算，由特征從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，可以把構(gòu)成二面角的兩個半平面“擺平，依題目條件，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角?！捌矫鎴D形與“立體圖形相呼映，不僅便于定性、定位，更利于定量。

9、由“垂線段定位二面角的平面角。例3：二面角-a-為，PA于A，PB于B，且PAcm，PB10cm求點到a的間隔 。解析：過PA、PB作平面，分別與、交于AO、BO，由PA，a?，知PAa，又由PB，a?，知PBa，因此，a平面，AO?，BO?，aAO，aBO，AOB為二面角-a-的平面角，即AOB120°，連PO，由PO?，得aPOPO的長為P點到a的間隔 。經(jīng)計算：AO43cm，POPA2+AO2=82+432=47cm由棱的“垂面定位二面角的平面角。例：在正方體ABCD-ABCD中，棱長為2，E為BC的中點求面BDE與面BBCC所成的二面角的大小。解析：面BDE與面BBCC構(gòu)成兩

10、個二面角，由特征知，這兩個二面角的大小必定互補通過特征,我們只須由C或D作BE的垂線交BE于H，然后連結(jié)HD或HC,即得面BDE與面BBCC所成二面角的平面角CHD三垂線定理。經(jīng)計算可得：C455，在RtDC中，=DCHC=52，故所求的二面角角為arctan52或-arctan52二面角的三個特征，雖然客觀存在，互相聯(lián)絡(luò)，但在許多問題中卻很難通過直觀圖反映出來，這就需要我們培養(yǎng)良好的空間思維想象才能，正確定位。例：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，是CC1的中點，求截面AD1E與底面ABCD所成角的正切值。解析：圖中截面AD1E與底面ABCD只給出一個公共點，沒有直接反映出二面角的棱，因

11、此還需找出它與底面的另一個公共點通過補形作出棱，進而再求二面角的大小。延長DC、D1E交于F，連AF，得截面AD1E與底面ABCD相交所得棱AF，AF交BC于G，過C作CHAF于H，連EH，EC面ABCD，CHAF，EHAF三垂線定理EHC即為所求截面AD1E與底面ABCD所成二面角的平面角可設(shè)正方體棱長為a，經(jīng)計算得：ECCGa2，CFa，GF52a，CH，55atanEHCECCH=52，即所求二面角的正切值為52另：D1F在底面ABCD的射影是DA，SDFA=12DF×DA=a2，又D1A2，SD1FA=12D1A×322a=32a2，由射影面積法，所求角記為的余弦值

12、為cos=SDFASD1FA=23，那么所求二面角的正切值為52。另：還可用向量法求二面角的平面角。家庭是幼兒語言活動的重要環(huán)境，為了與家長配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作，孩子一入園就召開家長會，給家長提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動及閱讀情況及時傳遞給家長，要求孩子回家向家長朗讀兒歌，表演故事。我和家長共同配合，一道訓(xùn)練，幼兒的閱讀才能進步很快。定位是為了定量，二面角的計算是通過其平面角所在的三角形計算而得而作平面角也是由其根本定義出發(fā)，在棱上找一點，在半平面內(nèi)找一點，或在二面角內(nèi)找一點，從這點出發(fā)作棱的垂線或垂面而得。假如二面角的棱在圖中沒有出現(xiàn)，可采取補形等方法作出二面角的

13、棱。唐宋或更早之前，針對“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士，這與當(dāng)今“博士含義已經(jīng)相去甚遠。而對那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者，又稱“講師。“教授和“助教均原為學(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)“律學(xué)“醫(yī)學(xué)“武學(xué)等科目的講授者；而后者那么于西晉武帝時代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國子、博士培養(yǎng)生徒?！爸淘诠糯粌H要作入流的學(xué)問，其教書育人的職責(zé)也十清楚晰。唐代國子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教一席，也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代，只設(shè)國子監(jiān)國子學(xué)一科的“助教，其身價不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無論是“博士“講師，還是“教授“助教，其今日老師應(yīng)具有的根本概念都具有了。單靠“死記還不行,還得“活用,姑且稱之為“先死后活吧。讓學(xué)生把一周看到或聽到的新穎事記下來,摒棄那