行列式的計(jì)算探討222222

1、行列式的計(jì)算探討作者：肖琨(井岡山學(xué)院數(shù)理學(xué)院,吉安，江西，343009)指導(dǎo)老師：朱景文摘要 歸納行列式的各種計(jì)算方法,并舉例說明了它們的應(yīng)用,同時(shí)對(duì)若干特殊的例子進(jìn)行推廣.關(guān)鍵詞 行列式，拉普拉斯定理展開式，計(jì)算方法一 前言無論是高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的高深理論，還是現(xiàn)實(shí)生活里的實(shí)際問題都或多或少的與行列式有著直接或間接聯(lián)系.如：（1）線形方程組 是否有解,解的形式是什么樣的?(2) 現(xiàn)測(cè)得,某一地區(qū)水銀密度h與溫度t的關(guān)系為：h=，并由實(shí)驗(yàn)測(cè)定以下數(shù)據(jù)，t 0 10 20 30h 13.60 13.57 13.35 13.32現(xiàn)預(yù)測(cè)：t=15，40時(shí)水銀密度該怎樣預(yù)測(cè).（3）自然生態(tài)中，要預(yù)知一

2、個(gè)物種的存活期，繁衍期，該怎樣預(yù)測(cè)呢？當(dāng)然，除了以上問題外，還有許多問題都與行列式緊密相連，甚至有些問題依賴于行列式來解決，這些問題的研究歸根到底也就是行列式某些方面的研究，甚至于有些性質(zhì)完全不同，看起來毫無邊際的問題，歸納成行列式的問題后卻又似乎是相同的，這一切使得行列式成為高等代數(shù)特別是線形代數(shù)的一個(gè)重要研究對(duì)象.國(guó)際上一些知名數(shù)學(xué)家如：克蘭姆，拉普拉斯，范得蒙等都對(duì)行列式有著深入的研究.行列式的計(jì)算靈活多變，需要有較強(qiáng)的技巧.當(dāng)然，任何一個(gè)n級(jí)行列式都可以由它的定義去計(jì)算其值，但由定義可知，n級(jí)行列式的展開式有n！項(xiàng)，計(jì)算量很大，一般情況下，不用此法，但如果行列式有許多零元素，則可考慮此

3、法，值得注意的是：在應(yīng)用定義法求非零元素乘積項(xiàng)時(shí)，不一定從第一行開始，哪行非零元素最少，就從哪行開始，接下來要介紹計(jì)算行列式的最基本方法.方法1 （列）展設(shè)為n階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有（i=1，2，或（j=1，2，其中為中的元素的代數(shù)余子式.按行（列）展開法，可以將一個(gè)n階行列式化為n個(gè)n-1階行列式計(jì)算.若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將n階行列式降階直至化為許多個(gè)二階行列式，這是計(jì)算行列式的又一基本方法，但一般情況下，按行（列）含有較多零元素時(shí)，它才能發(fā)揮真正的作用.因此，應(yīng)用按行（列）展開法時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為較多的零元素，再將其按行（列）展開.例1

4、.1 計(jì)算下列n階行列式A=解 第1列中只有兩個(gè)非零元素，因此，按第1列展開，計(jì)算會(huì)簡(jiǎn)化許多.經(jīng)計(jì)算得： =例1.2 A=分析 這個(gè)行列式中沒有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化為許多個(gè)2階行列式的計(jì)算，則需要進(jìn)行n！次加減法和乘法運(yùn)算，這根本是無法完成的，更何況是n階.但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有許多零元素，則很快就可計(jì)算出結(jié)果，注意到，此行列式將從第2行至第n行元素都加到第1行，則第1行的元素有相同的值.即：消去第一行化為n-1階行列式：解A=將其按第一展開得：A=再將行列式的最后一行乘以-1依次加到前面n-2行上去，得到 =由此得到A=方法2 遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，

5、把一個(gè)n階行列式表示為相同的結(jié)構(gòu)的較低階行列式.（比如：n-1階或n-2階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式，根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階的初始行列式（比如二階或一階行列式的值），便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法.（注意）用此方法一定要看行列式是否具有較低階的結(jié)構(gòu)，如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法.例2.1 計(jì)算n階行列式 ，（bc分析 此行列式的特點(diǎn)是：主對(duì)角線上的元素全為a，上次對(duì)角線上的元素全為b，下次對(duì)角線上的元素全為c，其余元素全為零，這種行列式稱為“三對(duì)角” 行列式，從行列式的左上方往右下方看，即知具有相同的結(jié)構(gòu).因

6、此，可考慮利用遞推關(guān)系式來計(jì)算.解 為了求遞推式，按第一行展開得令a=，bc=，則因此，（1）若（2）若點(diǎn)評(píng) 雖然我們從一個(gè)行列式中可以看出有低階的相同的結(jié)構(gòu)，然后得到一遞推關(guān)系式，但我們不能盲目亂代，一定要看這個(gè)遞推關(guān)系式是否可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，如果不行的話，就要適當(dāng)?shù)負(fù)Q遞推關(guān)系式，如本題.方法3加邊法(升階法)有時(shí),為了計(jì)算行列式,特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算;這種計(jì)算行列式的方法稱為加邊法或升階法.當(dāng)然，加邊必須是保值的，而且要使得高一階行列式較易計(jì)算.要根據(jù)需要和原行列式的的特點(diǎn)選取所加的行和列，加法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為n-1個(gè)元

7、素的倍數(shù)的情況.加邊法的一般作法是 =1特殊情況取當(dāng)然，加邊法不是隨便加一行一列就可以了，那么加邊法在何時(shí)才能應(yīng)用呢？關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子.如下題.例3.1 0，計(jì)算行列式解 加邊得 =再加邊得 再將第一列乘以-1加到第3，4， 列得第3，4，列都乘以加到第一列；第3，4列都分別乘以加到第2列得到：最后按 Laplace 展開得方法4 拆行（列）法由行列式拆項(xiàng)性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個(gè)行列式之積，計(jì)算其值，再得原行列式的值，此法稱為拆行（列）法.由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的某行（列）分別以這兩個(gè)

8、數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素為原行列式的對(duì)應(yīng)的行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時(shí)候容易求得行列式的值例4.1南開大學(xué)2004年研究生入學(xué)考試題第1大題，要求下列行列式的值.設(shè)n階行列式：=1，且滿足i，j=1，2，L，n，對(duì)任意數(shù)b，求n階行列式分析 該行列式的每個(gè)元素都是由兩個(gè)數(shù)的和組成，且其中有一個(gè)數(shù)是b，顯然用拆行（列）法.解 =+b=1+b又令A(yù)=，且A，由所以又 方法5數(shù)學(xué)歸納法一般是利用不完全歸納法，尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明.因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來證明行列式等式.因此，給定一個(gè)行列式，要猜想其值，是比較困難的，所以是先給定其值

9、，然后再去證明.（數(shù)學(xué)歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不重復(fù)說了.）例 5.1設(shè)行列式求證：.證明 用數(shù)學(xué)歸納法.n=1，2時(shí)，,現(xiàn)假設(shè),結(jié)論在小于n時(shí)正確,將按第n列展開,得：即.將歸納假設(shè)代入上面的式子就可得結(jié)論.方法6行列式的乘法原理行列式的乘法原理，對(duì)任意兩個(gè)同階矩陣A，B，都有，大家都知道，對(duì)于矩陣的乘法已經(jīng)是非常麻煩了，尤其是對(duì)高階矩陣而言，其難度越明顯.若按照常規(guī)辦法先計(jì)算A*B，再計(jì)算，顯然過于麻煩，直接應(yīng)用行列式的原理，就顯得方便簡(jiǎn)潔.同樣，如果D=AB，其中A，B為同階防子陣，則，從而達(dá)到優(yōu)化計(jì)算的目的，應(yīng)用行列式的乘法原理，主要是會(huì)將一個(gè)方陣拆成兩個(gè)易計(jì)算行列式的同階方

10、陣，使矩陣的行列式計(jì)算簡(jiǎn)潔化.例6.1設(shè)；i，j=1，2，3，L，n，求.解=*由行列式的乘法原理=方法7拉普拉斯定理在利用行列式的一行（列）展開式，我們可以發(fā)現(xiàn)行列式可以按某一行（列）展開，進(jìn)行計(jì)算行列式，試想，我們可以行列式的某一個(gè)k級(jí)子式展開嗎？拉普拉斯經(jīng)過對(duì)行列式的研究終于發(fā)現(xiàn)此種方法可行，并給出嚴(yán)密的證明，為了使行列式的計(jì)算更為簡(jiǎn)潔，現(xiàn)引入拉普拉斯定理.拉普拉斯定理是在行列式D中任意取定了k（個(gè)行，由這K行元素所組成的一切k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.例7.1 求2n階行列式的值.（空缺處都是零）；解 不斷用Laplace定理（第一行及最后一行），即得此行列式的值

11、為例7.2 利用行列式的Laplace定理證明恒等式證明 顯然下列行列式的值為零：，用Laplace定理按第一，第二行展開得.方法8 利用范得蒙行列式例8.1 計(jì)算行列式：解 觀察發(fā)現(xiàn)此行列式類似于范得蒙行列式，為了得到一個(gè)范得蒙行列式，現(xiàn)添加，顯然為的系數(shù)的相反數(shù).由范得蒙行列式知：d（x）=（b-a）（c-a）（d-a）（c-b）（d-b）（d-c）（x-a）*（x-b）（x-c）（x-d），所以的系數(shù)為，故原行列式等于.例8.2設(shè)的i次多項(xiàng)式，試證：證明 首先，第一行全是，提出，第一行全變?yōu)?，令，則第二行變?yōu)椋?，在第三行中減去第一行的倍，減去第二行的倍，再提出，于是第三行變?yōu)?，依次續(xù)

12、行，可明所欲證.方法9析因法如果行列式D中有一些元素是變數(shù)x（或某個(gè)參變數(shù)）的多項(xiàng)式，那可以將行列式D當(dāng)作一個(gè)多項(xiàng)式f（x），然后對(duì)行列式施行某些變換，求出f（x）的互素的一次因式，使得f（x）與這些因式的乘積g（x）只相差一個(gè)常數(shù)因子c，根據(jù)多項(xiàng)式相等的定義，比較f（x）與g（x）的某一項(xiàng)的系數(shù)，求出c值，便可求得D=cg（x），那在什么情況下才能用呢？要看行列式中的兩行（其中含變數(shù)x），若x等于某一數(shù)時(shí)，使得兩行相同，根據(jù)行列式的性質(zhì)，可使得D=0；那么x-便是一個(gè)一次因式，再找出其他的互異數(shù)使得D=0，即得到與D階數(shù)相同的互素一次因式，那么便可用此法.例9.1計(jì)算D=解 由行列式D定義知

13、為x的4次多項(xiàng)式，又，當(dāng)時(shí)，1，2行相同，有D=0，D的根，當(dāng)時(shí)，3，4行相同，有D=0故D有4個(gè)一次因式：x+1，x-1，x+2，x-2.設(shè)D=a（x+1）（x-1）（x+2）（x-2），令x=0，則D=即：?jiǎn)栴}的推廣例9.2蘭州大學(xué)2004招收攻讀碩士生考試第四大題第（1）小題，需求如下行列式值分析 根據(jù)該行列式的特點(diǎn),當(dāng)x=,i=1,2,L,n時(shí),有但大家認(rèn)真看一下,該行列式是一個(gè)n+1次多項(xiàng)式,而這時(shí)我們只找出了n個(gè)一次因式,i=1,2,L,n,那么能否用析因法呢?我們?cè)僮屑?xì)看一下,每一行元素的和數(shù)都是一樣的,為：那么我們以第二列開始到第n+1列都加到第一列，現(xiàn)提出公因子這樣行列式的次

14、數(shù)就降低了一次，從而再考慮析因法.解 令為n次多項(xiàng)式，設(shè)所以 ,從而，因此.點(diǎn)評(píng) 該題顯然用析因法是最簡(jiǎn)便，但大家不要一味地只找使它等于0的數(shù)，而該最多只有n個(gè)數(shù)，使它等于0，而行列式又是n+1階，是一個(gè)n+1次多項(xiàng)式，從而我們想到的就是得用行列式的性質(zhì)，把行列式的次數(shù)降低一次，使得原n+1次多項(xiàng)式變?yōu)橐粋€(gè)1次多項(xiàng)式和一個(gè)n次多項(xiàng)式的 乘積，進(jìn)行便可求得其值.凡事要懂得變通，一道題不可能用一種方法就可以馬上解得.在析因法中，對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)式，當(dāng)你最多只能找出r個(gè)使其行列式為零時(shí)，就要把它化為一個(gè)n-r次多項(xiàng)式和一個(gè)r次多項(xiàng)式的乘積，但一般找出的使其行列式為零的個(gè)數(shù)與行列式的次數(shù)差太多時(shí)，不用

15、此法.方法10提取因子法.在含有文字變量（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）的行列式中，如當(dāng)某個(gè)變量取某個(gè)特定值時(shí)，行列式為零，則該行列式必含有某個(gè)特定的因子.用這種方法必含有某個(gè)特定的因子，用這種方法常?？梢郧擅畹貙⑿辛惺降闹登蟪鰜?例10.1計(jì)算解 設(shè)A=f（x），將所有行加到第一行可以提出因子x+y+z+w,第二行乘以1,第三,第四行乘以-1加到第一行可以提出因子x+y-z-w,同理可知A有因子x+z-y-w,x+w-y-z.又將A看成為x的函數(shù)是4次的,首項(xiàng)系數(shù)為1,故A=(x+y+z+w)(x+y-z-w)(x+z-y-w)(x+w-y-z).例10.2計(jì)算行列式:解 顯然當(dāng)x=0,y=0時(shí)A=0,因

16、此A含有因子xy,若將-x代x,得到的行列式仍和A相等(只要將第一,第二行對(duì)換,再將第一,第二列對(duì)換)可見,A中含有因子,同理,A含有因子而項(xiàng)的系數(shù)是1,因此A=.方法11利用方陣特征值與行列式的關(guān)系例11.1 計(jì)算如下行列式的值.解 令矩陣,則可得:=顯然的n個(gè)特征值為b,b,L,b.故，由矩陣特征值與對(duì)應(yīng)行列式的關(guān)系知：.注：也可由的定義得到.點(diǎn)評(píng) 本題行列式比較特殊，可以用到此方法，對(duì)于其他的行列式，本方法不適用，在這僅給出此方法參考.問題的推廣 例11.2中，主對(duì)角線上的元素為，那么我們使得主對(duì)角上元素為個(gè)任意數(shù)，可得下列一般的行列式分析 上面我們已經(jīng)介紹了多種方法，根據(jù)這題行列式的特

17、點(diǎn)，每行都有相同的因子，所以本題適用加邊法.（本題有多種解法，據(jù)上分析，僅以加邊法推出.）解 =與例11的答案一致.行列式的計(jì)算方法最常見的便是以上幾種，但有時(shí)也因結(jié)構(gòu)不同而有其他類型的解法.以上計(jì)算行列式的基本方法奠定了高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，同時(shí)也為數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛運(yùn)用提供了理論依據(jù)，總而言之，其具有實(shí)質(zhì)上的研究?jī)r(jià)值.參考文獻(xiàn)1姚慕生高等代數(shù)復(fù)旦大學(xué)出版社2002年4月2劉潔玉，王新長(zhǎng)，萬冰蓉，高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與解題能力訓(xùn)練，江西高校出版社，2002年6月5日3各高校歷年試題4北京大學(xué)數(shù)學(xué)系，幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編高等代數(shù)（第二版）1987年3月Some discussion of computing determinant Author Xiao kun Tutor Zhu JingWen(Institute of mathmatices and physics ,Jinggangshan Unive