行列式理論的應(yīng)用

1、行列式理論的應(yīng)用班級 數(shù)學(xué)1103 學(xué)號 20112744 姓名 張冰清內(nèi)容摘要：行列式是解決線性代數(shù)的工具，它最初的產(chǎn)生和應(yīng)用都在解線性方程組中，應(yīng)用范圍十分廣泛，成為數(shù)學(xué)、物理以及工科許多課程的重要工具.本文主要從以下三個方面對行列式的應(yīng)用進行了論述: 探討了行列式與線性方程組的關(guān)系以及在解線性方程組中的應(yīng)用; 舉例說明了行列式在初等代數(shù)中的應(yīng)用, 如在因式分解中應(yīng)用, 證明不等式以及恒等式; 最后綜述了行列式在解析幾何中的若干應(yīng)用。行列式理論是代數(shù)學(xué)的重要組成部分，計算行列式的一般方法是不存在的，不同的行列式有不同的計算法.行列式在線性方程組的歸納求解，線性相關(guān)性的判定，線性空間和線性變

2、換等中有廣泛的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞: 行列式; 矩陣; 線性方程組; 秩; 因式分解; 平面組; 點組正文部分導(dǎo)言：行列式自從被發(fā)現(xiàn)以來迅速發(fā)展壯大，各個學(xué)科都應(yīng)用其性質(zhì)解決了一些難題.時至今天因其應(yīng)用而成果斐然的實例更是多不勝數(shù)，并且在一些應(yīng)用領(lǐng)域越來越具有一些不可替代的作用.行列式的計算問題非常重要，它是行列式理論的重要組成部分.本文主要研究行列式理論的總體概況，整理了行列式的定義、性質(zhì)，并舉例說明了行列式性質(zhì)在向量空間理論、線性變換理論、多項式理論的應(yīng)用.例如線性方程組（見文1-5）、多元一次方程組的解、三維空間中多個平面組或多個點組的相關(guān)位置(見文2)、初等代數(shù)（見文9）、解析幾何（見文6-

3、8）、維空間的投影變換、線性微分方程組等, 用行列式來計算是很便利的. 進一步研究探討了行列式在線性方程組、初等代數(shù)、解析幾何三個方面的應(yīng)用.具體內(nèi)容部分1、行列式的概念及性質(zhì)1.1行列式的定義以下給出給出行列式的兩種定義方式一：對任何 階方陣，其行列式記為 ， （1）其中是數(shù)組1，2， 的全排列，表示對關(guān)于這些全排列的項(共有 項)全體求和.方法二：行列式記作（或，它是關(guān)于方陣的一種算式，滿足下列三個公理：公理1：數(shù)的行列式，等于其自身，即或，其中是數(shù)（為了不與絕對值相混淆，數(shù)的行列式一般避免寫成）；公理2：分塊三角形矩陣的行列式，等于其主對角線上各個子塊的行列式之積.即有其中與均是方陣；公

4、理3：兩個同階方陣的乘積的行列式，等于這兩個方陣各自行列式之積，即|(或() () )，其中 與是階數(shù)相同的方陣.將矩陣做行列式計算的結(jié)果，稱為的行列式，簡稱為行列式.關(guān)于矩陣的若干名稱，也相應(yīng)地用于行列式.1.2行列式計算的相關(guān)性質(zhì)性質(zhì)1.行列互換，行列式不變.即性質(zhì)1表明，行列式中行與列的地位是對稱的，所以凡是有關(guān)行的性質(zhì)，對列同樣成立.性質(zhì)2.對換行列式兩行的位置，行列式反號.性質(zhì)3.若行列式有兩行相同,則行列式等于0.性質(zhì)4.以一數(shù)乘行列式的一行,等于乘行列式，或者說一行的公因式可以提出去.即推論1.若行列式某行（列）元素都是0,則行列式等于0.由性質(zhì)4和性質(zhì)3又可得到:推論2.若一個

5、行列式的任兩行成比例,則行列式值為0.性質(zhì)5.行列式具有分行相加性.即： =+性質(zhì)6.把的一行的若干倍加到另一行,行列式值不變.2、行列式計算的應(yīng)用2.1.1解方程例1.解方程解：由行列式性質(zhì)可得，或.解一元2次方程可得，.另根據(jù)行列式的定義觀察行列式中的最高次冪是4次（切系數(shù)不為零）可原得原方程有4個根，即.2.1.2計算行列式例2.計算階行列式解：利用行列式性質(zhì)可知當時，即是方程的根.再根據(jù)行列式的定義觀察出行列式中的最高次冪是次并且系數(shù)是1,可判斷出方程的根就是，在利用中主對角線上元素之積系數(shù)為可知=.2.1.3計算范德蒙行列式例3.我們稱下面的行列式式為范德蒙行列式=將中不加區(qū)別看作，

6、那么就是一個次的方程，利用行列式的性質(zhì)可觀察出時范德蒙行列式的值為零.不妨稱是方程的根,或者說中含有的因子,利用排列原理知至少有個根也即至少有個的因子.事實上行列式中是對等的,我們根據(jù)行列式的定義略去之間,的區(qū)別,含有的最高次數(shù)(或各的各冪數(shù)之和)為,即至多有個根或至多有個因子;再利用主對角線上元素之積的系數(shù)為1可知 2.2行列式在多項式理論中的應(yīng)用例1.證明一個次多項式至多有個互異根.證明：有個互異的零點，則有，1 即這個關(guān)于的齊次線性方程組的系數(shù)行列式因此.，這個矛盾表明有個互異根.2.3在線性變換理論中的應(yīng)用例1.設(shè)數(shù)域上的維向量的線性變換有個互異的特征值則1）與可交換的的線性變換都是的

7、線性組合，這里為恒等變換；2）線性無關(guān)的充要條件為，這里，. 證明：1）設(shè)是與可交換的線性變換，且，則是的不變子空間則由以下方程組.令，則有以下方程組 . （1）因為方程組（1）的系數(shù)行列式是范德蒙行列式，且，所以方程組（1）有唯一解，故是線性組合.2）充分性因為，所以并且所以是可逆矩陣，又因為是的一組基，線性無關(guān).3）必要性設(shè)是分別屬于的特征向量，則構(gòu)成的一個基，因而有.若則是的屬于的特征向量，故結(jié)論成立.若存在，使，不妨設(shè)全不為零，而，因而有.則利用范德蒙行列式可知有一個階子式不為零，所以秩，從而，又因為線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，矛盾.從而，這里，.3、行列式在線性方程組中的一個應(yīng)用 設(shè)含有

8、個變元的個一次線性方程組為 （1） 設(shè)方程組（1）的系數(shù)矩陣的秩是, 不失一般性, 假定不等于零的階行列式是 . 行列式中的元素, 就是矩陣中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它們的原有位置排列. 我們把看作是未知數(shù), 是已知數(shù), 解方程組(1), 得 （2）式中是行列式的第列元素換以所成的行列式. 也就是.把中第列移到第一列, 得.上式右邊的行列式用表示, 行列式是矩陣中去掉第列剩余下的元素所組成. 故.代入（2）式, 得, 或.結(jié)論2: 方程組（1）中的與成比例, 式中 是從矩陣中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.4、行列式在初等代數(shù)中的幾個應(yīng)用4.1 用行列式分解因式利用行列式分解

9、因式的關(guān)鍵, 是把所給的多項式寫成行列式的形式, 并注意行列式的排列規(guī)則. 下面列舉幾個例子來說明.例4.1.1 分解因式：. 解 .4.2 用行列式證明不等式和恒等式我們知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上, 行列式不變; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么這個行列式等于零. 利用行列式的這些性質(zhì), 我們可以構(gòu)造行列式來證明等式和不等式.例4.2.1 已知, 求證.證明 令, 則.命題得證.例 已知 求證.證明 令, 則命題得證.5、行列式在解析幾何中的幾個應(yīng)用5.1 用行列式表示公式5.1.1 用行列式表示三角形面積以平面內(nèi)三點為頂點的的

10、面積S是 (3)的絕對值.證明 將平面三點擴充到三維空間, 其坐標分別為, 其中為任意常數(shù). 由此可得： , 則面積為 = .5.1.2 用行列式表示直線方程直線方程通過兩點和的直線的方程為. （4） 證明 由兩點式, 我們得直線的方程為.將上式展開并化簡, 得此式可進一步變形為此式為行列式(4)按第三行展開所得結(jié)果. 原式得證.5.1.3 應(yīng)用舉例例 若直線過平面上兩個不同的已知點, , 求直線方程.解 設(shè)直線的方程為, 不全為0, 因為點在直線上, 則必須滿足上述方程, 從而有這是一個以為未知量的齊次線性方程組, 且不全為0, 說明該齊次線性方程組有非零解. 其系數(shù)行列式等于0, 即.則所

11、求直線的方程為.同理, 若空間上有三個不同的已知點, 平面過, 則平面的方程為.同理, 若平面有三個不同的已知點, 圓過, 則圓的方程為.6、行列式在平面幾何中的一些應(yīng)用6.1 三線共點 平面內(nèi)三條互不平行的直線相交于一點的充要條件是.6.2 三點共線 平面內(nèi)三點在一直線的充要條件是.6.3 應(yīng)用舉例例 平面上給出三條不重合的直線:, 若, 則這三條直線不能組成三角形.證明 設(shè)與的交點為, 因為,將第1列乘上, 第2列乘上, 全加到第3列上去, 可得：.因為在與上, 所以, 且若與平行, 若也在上交于一點,無論何種情形, 都有不組成三角形.這說明由, 得到三條直線或兩兩平行或三線交于一點. 也

12、就是三條直線不能組成三角形.7、行列式在三維空間中的應(yīng)用7. 1 平面組 設(shè)由個平面方程構(gòu)成的方程組為 （5） 若方程組(5)中的各代以, 并用乘以(5)式兩端: 得 （6）叫做點的齊次坐標. 這平面組的相關(guān)位置與方程組的系數(shù)所組成的兩矩陣 及 的秩及有關(guān)系. 現(xiàn)在分別敘述如下： ()當, 則方程組中各系數(shù)全是0. ()當 則方程組(5)不合理, 方程組(6)有解.當, 將趨近于無窮大（假設(shè)趨近于0）. 在這種情況下, 我們說這個平面在無窮遠重合. ()當, 則在矩陣及中所有二階行列式全是0. 所以我們有以上等式表示個平面相合成一個平面. ()當 方程的系數(shù)中至少有兩組數(shù)如及滿足以下關(guān)系式上式

13、表示平面平行但不相合. 也就是平面組中個平面相合或平行, 至少有兩個平面不相合. () 則矩陣及中所有三階行列式全是0, 至少有一個二階行列式不是0. 假設(shè).我們必可求得適合下式：式中, 否則行列式將等于0. 所以.以上等式表示平面經(jīng)過直線就是個平面全經(jīng)過一條直線. （）當 并假定方程組的系數(shù)至少有一組適合以下關(guān)系：（是中的一數(shù)）以上第一個等式表示組中第平面,與直線平行. 又因第二個不等式表示第平面不經(jīng)過上述直線, 所以個平面有平行的交線.例如由方程組解得.因為行列式.而其它三個行列式不全是零故, 就是三個平面的交點在無窮遠. 三個平面中每兩個平面的交線是平行的. （）當, 并假定.在這種情況

14、下, 平面相交于一點. 又因,（）故平面經(jīng)過前面三個平面的交點, 就是個平面有一個交點, 不在無窮遠. （）當, 則矩陣中至少有一個四階行列式不等于零. 假設(shè).（是中的一數(shù)）以上不等式表示平面,不經(jīng)過前三個平面的交點.結(jié)論：本文收集并整理了行列式的兩種常見定義、基本性質(zhì)，然后重點討論了行列式在解方程組，空間幾何理論，多項式理論，線性變換理論等中的應(yīng)用. 也研究探討了行列式在線性方程組、初等代數(shù)、解析幾何三個方面的應(yīng)用.在以后的研究和討論中可以更加深入的探討行列式理論的應(yīng)用，多進行這方面的研究和發(fā)現(xiàn)。參考文獻1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)(第三版)M. 北京: 高等教育出社, 2003.2高楊芝. 行列式淺說M. 江蘇: 江蘇人民出版社, 1958. 3王萼芳, 石生明修訂. 高等代數(shù)(第三版)M. 北京: 高等教育出版社, 2003.4王品超. 高等代數(shù)新方法(下)M.